上海市徐汇、金山、嘉定区2016届高三第二学期学习能力诊断数学理试卷(含解析)

1、2015学年第二学期徐汇、金山、松江区学习能力诊断卷高三数学理科试卷 2016.4一 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1抛物线的焦点坐标是_.2若集合，则=_ 3若复数满足其中为虚数单位，则_ 4求值：=_弧度5试写出展开式中系数最大的项_ 6若函数的最小值为，最大值为，则_ 7在极坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为_8某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望_（结果用最简分数表示）9已知平面上三点A、B、C满足|=,|=，|=，则的值等于_10从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于另一个数小于（其中的概率是则_11有一个解

2、三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角所对的边分别为已知_，求角”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示试将条件补充完整12在等差数列中，首项公差若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为_13定义在上的奇函数当时， 则关于的函数的所有零点之和为_（结果用表示） 14对于给定的正整数和正数，若等差数列满足，则的最大值为_ 二 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的-（ ）（A） 充分非必要条件（B） 必要非充分条件（C） 充要条件 （D） 既非充分也非必要条件16

3、函数y=的反函数是-（ ）（A）（B）（C） （D）17如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为且若将圆锥倒置，水面高为则等于-（ ）（A） （B） （C） （D） 18设、是关于的方程的两个不相等的实数根，那么过两点、的直线与圆的位置关系是-( ) （A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）随的变化而变化三 解答题：（本大题共5题，满分74分）19（本题满分12分；第（1）小题分，第（2）小题6分）已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解.20（本题满分14分；第（1）小题分，第（2）小题分）在直三棱柱中，且异面直线与所成的角等于，设.（

4、1）求的值； （2）求三棱锥的体积21（本题满分14分；第（1）小题分，第（2）小题分）已知函数（1）若不等式的解集为，求的值；（2）在（1）的条件下，若存在使，求的取值范围22（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为证明：为定值；（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由2

5、3（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设集合由满足下列两个条件的数列构成：存在实数使对任意正整数都成立（1） 现在给出只有5项的有限数列其中；试判断数列是否为集合的元素；（2）数列的前项和为且对任意正整数点在直线上，证明：数列并写出实数的取值范围；（3）设数列且对满足条件中的实数的最小值都有求证：数列一定是单调递增数列2016年松江区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】【试题分析】抛物线的焦点坐标为，抛

6、物线中，所以焦点为，故答案为.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集.【参考答案】【试题分析】解得，所以，所以,故答案为.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】【试题分析】因为，所以，所以，故答案为.5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式.【参考答案】【试题分析】,故答案为.5.【测量目

7、标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【参考答案】【试题分析】展开式的第项为，其系数为，当其最大时，取，所以系数最大的项为，故答案为.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质;方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】【试题分析】因为，所以，所以，.7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标;图形

8、与几何/平面直线的方程/两条直线的平行关系与垂直关系.【参考答案】【试题分析】直线化为普通方程为，点对应直角坐标系中的点为,设点关于直线的对称的点为，则，解得，所以点的坐标为，化为极坐标系中的点为.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】【试题分析】根据题意，的取值为0,1,2，,，所以，故答案为.9.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积;函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【

9、参考答案】【试题分析】因为,所以,同理，可求得,所以，故答案为.(或)10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率.【参考答案】4或7【试题分析】从集合A中任取两个数的取法有种，因为取到的两个数中一个数大于k,另一个数小于k的概率是，所以事件的可能有种，即，解得或7，故答案为4或7.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【参考答案】【试题分析】由B=45，A=60，得C=75，由

10、得,即，所以，所以，若填入“”，由得A=60或120，故只能填入，故答案为.12.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.【参考答案】200【试题分析】等差数列中的连续10项为，遗漏的项为且则，化简得，所以，则连续10项的和为,故答案为200.13.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数和对数函数/指数方程和对数方程.【参考答案

11、】【试题分析】函数有零点，则函数的图像与直线有交点，它们的图像如图所示，当时，图像无交点，当时，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，令，得，当时，由得，同理，可得当时，所以函数的所有零点之和为，故答案为.第13题图apto214.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列;方程与代数/不等式/一元二次不等式(组)的解法.【参考答案】【试题分析】因为数列是等差数列，所以，所以，又因为,即,关于的二次方程有解，则，化简得,所以,所以，故答案为.二、选择题15.【测量目

12、标】逻辑思维能力/能从数学的角度有条理地思考问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；图形与几何/平面向量的坐标表示/向量平行与垂直的坐标关系；方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件.【正确选项】C【试题分析】函数，若函数为偶函数，则，所以，充分性成立；反之由可得函数是偶函数，必要性也成立，所以“函数为偶函数”是“”的充要条件，故答案为C.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数和对数函数/反函数.【正确选项】B【试题分析】当时，所以；当时，所以，故答案为B.17.【测量目标

13、】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【正确选项】D【试题分析】设圆锥底面半径为，则根据题意有，化简得，所以，故答案为D.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/简单的幂函数、二次函数的性质；图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和一般方程;图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离.【正确选项】C【试题分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，因为，所以直线的斜率为，所以直线的

14、方程为，则圆的圆心到直线的距离，令，易知其在上单调递减，在上单调递增，且，所以，又圆的半径为1，所以直线与圆相交，故答案为C.三、解答题19（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形.（2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质.（2）函数与分析/三角函数/函数的图像和性质.【参考答案】（1）， -3分由,得的单调递增区间是. -6分（2）由已知， -9分由，得， ，. -12分20.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）【测量目标】（1）空间想象

15、能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.（2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）如图建立空间直角坐标系， XHLD1第20题图则由题意得，所以.-3分设向量所成角为，则，或，由于，所以，得，解得-6分（2）连接，则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，的面积，的面积，11分又平面，所以，所以. 14分21（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）逻辑思维能

16、力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.【知识内容】（1）方程与代数/不等式/含有绝对值不等式的解法.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）即即-3分-6分（2）时，若存在使即-8分则-10分当时等号成立即-14分22（本题满分16分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确

17、地阐述自己的思想和观点.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质、圆的标准方程和几何性质.【参考答案】（1）由题意得，所以又点在椭圆上，所以解得所以椭圆的标准方程为-3分（2）由（1）知，设点则直线的方程为 直线的方程为 把点的坐标代入得 所以直线的方程为令得令得所以又点在椭圆上，所以即为定值-9分（3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，设点则圆的方程为-11分由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是设点是椭圆上任意一点，则当时，最小，

18、所以 假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则 又点在椭圆上，所以 -14分由得或当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意.综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是-16分23（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/数学归纳法.【参考答案】（1）对于数列不满足集合的条