人教版九下 反比例函数

1、目录第二十六章 反比例函数26.1反比例函数26.11反比例函数26.12反比例函数的图形和性质262实际问题与反比例函数第二十七章 相似27.1图形的相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定27.2.2相似三角形的性质27.2.3相似三角形应用举例27.3位似第二十八章 锐角三角函数28.1锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形28.2.2应用举例第二十九章 视图与投影29.1投影29.2三视图第二十六章 反比例函数 反比例函数是反映现实世界数量关系的数学模型，是正比例函数和一次函数的延伸，是进一步学习函数的重要基础.主要内容包括：反比例函数的概念、图像及

2、其性质以及反比例函数在实际问题中的的应用.本章的重点：能根据已知条件确定反比例函数的表达式；能画出反比例函数的图像，并能根据图像和解析式探索并理解其性质；能用反比例函数解决某些实际问题.本章难点：灵活运用反比例函数的性质解决综合性问题，进一步认识数形结合的思想方法.反比例函数是中考的热门考点之一，每年中考都会涉及，考试题型也灵活多变，有填空题、选择题，还有解答题，主要考察反比例函数的图像和性质，反比例函数的几何意义，利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与其他知识的综合运用以及实际问题中的应用等，其中用函数知识解决实际问题的应用题在近几年各地中考试卷中经常出现，这类题目内容广泛，灵活多

3、变，能力要求较高，值得重视.本章学法：1、课程标准提出“抽象概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程”，学习概念时，要注重联系实际，加深对概念的理解与应用，淡化过分形式化的叙述.2.注意联系正比例函数的相关知识，用对比的方法学习反比例函数的图像及性质，找出两类函数之间的异同点，以防止出错，从中体会数学中的类比、化归思想的作用.3.学习反比例函数，要善于运用数形结合的思想来分析、研究实际问题，即由关系式联想到图像的位置及性质，由图形及其性质联想到比例系数k的符号.4.熟练掌握正比例函数与反比例函数的交点问题，即两函数比例系数同号时有交点，且交点关于原点对称；比例系数异号，函数图像无交点. 26

4、.1.1 反比例函数目标导航1、理解反比例函数的概念和意义，会判断一个给定的函数是否为反比例函数。2、能正确区分正比例函数和反比例函数，并根据实际问题和已知条件会用待定系数法求出反比例函数解析式。3、通过反比例函数研究，体会函数思想的应用。知识链接你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透的数学知识吗？体积为20cm3的面团做成拉面，面条的总长度y与面条粗细（横截面积）S有怎样的函数关系？你想知道其中的道理吗？那么请跟我一起进入本章的学习吧！珍宝探寻珍宝一 反比例函数的意义1、一般地，形如（k为常数，k0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。 2、反比例函数的自变量

5、x的取值范围是不等于0的一切实数，反比例函数的自变量y的取值范围是不等于0的一切实数。3、反比例函数的几种常见形式 形式：（k为常数，k0）；形式：（k为常数，k0）形式：（k为常数，k0）珍宝二 用待定系数法求反比例函数解析式1、确定解析式的方法是待定系数法，由于在反比例函数（k为常数，k0）中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应的x、y值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。2、用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：设：根据题意设出反比例函数的一般形式（k0）；代：把它的一对对应值（x，y）带入反比例函数的解析式；求：求出常数k；得：把k的值代入反比例函数解析式即得

6、。珍宝三 反比例关系与反比例函数的区别与联系如果（k为常数，k0），那么x与y这两个量成反比例关系，这里x、y可以代表单项式或多项式，例如y3与x1成反比例，则（k0），若y与x2成反比例，则（k0）。成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数（k0）中的两个变量一定成反比例关系。营养快餐快餐一 经典基础题【例1】（2012滨州）下列函数：y=2x-1；y=-；y=x2+8x-2；y=；y= ；y=中，y是x的反比例函数的有 （填序号）分析：根据反比例函数的定义，即可判定各函数的类型是否符合题意是一次函数，不是反比例函数；是反比例函数，符合题意；是二次函数，不是反比例函数；分母中x的指数是2

7、， 不是1,不是反比例函数；是反比例函数，可以写成，符合题意；当a0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数.答案：点拨：此题主要考查了反比例函数的定义，即形如（k为常数，k0）的函数称为反比例函数【例2】已知变量y与x成反比例，并且当x=3时，y=7.求：（1）y与x之间的函数解析式；（2）当x=2时y的值；（3）当y=3时x的值。分析：已知y与x成反比例,可设（k0），由已知条件确定k的值.解：（1）y与x成反比例设函数关系式为又x=3时，y=77=解得k=21y=（2）当x=2时，y=9；（3）当y=3时，3 =，x=7.点拨:由已知确定k的值后，每给出一个自变量或函数值都有唯一的函

8、数值或自变量的值与其相对应.【例3】若反比例函数与一次函数y=2x-4的图像都过点A(m,2).求：（1）点A的坐标；（2）反比例函数的解析式.分析：（1）因为点A(m,2)在一次函数y=2x-4的图像上，所以只需将点A坐标带入即可求出m的值，即点A的坐标；（2）因为点A也在的图像上，只需将所得的A点坐标代入中即可求出反比例函数的解析式.解：（1）点A(m,2) 在一次函数y=2x-4的图像上2=2m-4，解得m=3A点坐标为（3，2）（2）点A（3，2）在反比例函数上，2=，解得k=6.反比例函数的解析式为.点拨：无论一次函数还是反比例函数，图像上的点的坐标代入解析式都能够使等式成立，因此常

9、用来求点的坐标或求解析式，反比例函数只有一个待定系数，所以只需一个已知点即可求出函数解析式。【例4】已知y与x2成反比例，并且当x=3时y=4.（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）判断点A（-12，）、B（-2，9）、C（6，-6）在不在这个函数的图象上？分析：（1）已知y与x2成反比例,可设（k0），由已知条件确定k的值.（2）把A、B、C的的坐标代入（1）求出的解析式中从而可以确定该点是否在函数像上.解：（1）y与x2成反比例设函数关系式为又当x=3时y=44=解得k=36（1） 当x=-12时，y=，所以点A不在这个函数图像上；当x=-2时y=9，所以点B在这个函数图像上；当x=6时

10、，y=1-6，所以点C不在这个函数图像上.点拨：本题主要考查了用待定系数法求函数关系式，判定点是否在函数图像上，只需把点的坐标代入函数关系式即可。快餐二 中考能力题【例5】（2013安顺）若是反比例函数，则a的取值为（） A1 B-l Cl D任意实数 分析：先根据反比例函数的定义列出关于a的不等式组，解这个不等式组即可求的a的值.解：根据题意得：，解得：a=1点拨：反比例函数解析式为 （k0），也可以写成（k0）的形式，填空题或选择题中经常出现（k0）的形式的考查，注意x的指数为-1，系数k应不等于0.快餐三 易错易混题【例6】已知y=y1+y2，y1与（x-1）成正比例，y2与（x+1）成

11、反比例，当x=0时，y=-3，当x=1时，y=-1 （1）求y的表达式；（2）求当x=时y的值 错解：y1与（x-1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，设y1=k（x-1），y2=错解原因：在解有关正比例函数与反比例函数综合题时，忽略了两个比例系数不一定相等的情况而导致错误.正解：（1）y1与（x-1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，y1=k1（x-1），y2=y=y1+y2，当x=0时，y=-3，当x=1时，y=-1k2=-2，k1=1， y=x-1-（2）把x=-代入（1）中函数关系式得，y=- 点拨：本题是一道利用待定系数法确定函数解析式的问题，y1与（x-1）成正比例和y2与（x

12、+1）成反比例的两个比例系数是不同的，必须分别设，不能统一设为k.快餐四 课堂练习题 1、下列函数关系式中不是表示反比例函数的是（） A.xy=5 B. y= C. y= D.y=2、下列问题中，两个变量间的函数关系式是反比例函数的是（）A小颖每分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花 B体积为10cm3的长方体，高为hcm，底面积为Scm2C用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm，面积为Scm2D汽车油箱中共有油50升，设平均每天用油5升，x天后油箱中剩下的油量为y升 3、如果函数y=（k-2）x|k|-3是反比例函数，那么k= ，此函数解析式为 .4、已知y是x的反比例函数，且

13、x=8时，y=12（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果自变量x的取值范围是2x3，求y的取值范围5、已知函数 y=（5m-3）x2-n+（n+m），（1）当m，n为何值时是一次函数？（2）当m，n为何值时，为正比例函数？（3）当m，n为何值时，为反比例函数？课堂练习参考答案 1.D，解析：反比例函数有以下三种常见形式：、（k为常数，k0）；、（k为常数，k0）：（k为常数，k0），不符合三种形式的只有D，故选D.2.B，解析：A、根据题意可知，y与x之间的关系式为y=2x，故该选项错误；B、根据题意可知，S与h之间的关系式为S=，故该选项正确；C、根据题意可知，S与x之间的关系式为S=

14、（25-x）x，故该选项错误；D、根据题意可知，y与x之间的关系式为y=50-5x，故该选项错误， 故选B3. k=-2， .解析：由题意得解得k=-2,再把k的值代入y=（k-2）x|k|-3可得函数解析式.4.解：（1）设反比例函数的解析式是，把x=8，y=12代入得：k=96则函数的解析式是：；（2）把x=2和3分别代入解析式，得y=48和32，故y的取值范围是32y485.解： (1)当函数是一次函数时，需满足，解得：n=1，m；（2） 当函数是正比例函数时，需满足，解得：n=1，m=-1；（3）当函数是反比例函数时，需满足，解得：n=3，m=-3教材“随堂练习”参考答案课本第3页1.

15、（1）；（2）；（3）2.和xy=123中y是x的反比例函数.3.（1）设，则k=x2y=324=36，；（2）当x=1.5时，=16；（3）当y=6时，6=，解得x=.博学通古今传统文化营数对是谁发明的数对是法国著名的哲学家、物理学家、数学家、生理学家，解析几何的创始人笛卡尔发明的。有一次，笛卡尔生病了，躺在床上，看到墙角蜘蛛网上有很多的交点，这些点是横着和竖着的蜘蛛丝相交而成的。他忍不住叫起来：“有了，用两个数不就可以将点的位置确定下来嘛！”就这样笛卡尔经过认真的观察和思考把蜘蛛的位置作为开始（0，0），用数对的方式表示出了蜘蛛网上的所有交叉点。有了数对，我们就能很容易的表示出某一点的位置

16、。数对我们就能很容易的表示出某一点的位置。数对不仅能表示二维空间（长，宽），还可以表示三维空间（长，宽，高）或四维空间（长，宽，高，时间），世界上的所有点都可以用数对表示，那么数对将给我们的生活带来极大的便利。第二十六章 反比例函数小结知识梳理1、 反比例函数的概念：1、定义：一般地，形如（k为常数，k0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。注意：反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数的自变量y的取值范围是不等于0的一切实数。2、反比例函数的几种常见形式形式A：（k为常数，k0）；形式B：（k为常数，k0）形式C：（k为常数，k0） 二、

17、反比例函数的图象：（1）图象的画法：描点法 列表； 描点；连线（2）反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（3）反比例函数的图象既是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形（对称中心是坐标原点）.（4）反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。三、反比例函数性质如下表：的取值图象所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大四、反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上

18、一个点的坐标即可求出）五、用反比例函数解决实际问题的步骤：1、审审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；2、设根据常量和变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；3、列由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；4、写写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；5、解用函数解析式去解决实际问题.典型例题一、反比例函数的定义【例1】函数y(m+2)xm22m9是反比例函数，则m的值是（）A. m=4或m=-2 B. m=4 C. m=-2 D. m=-1分析：在（k0）中，k0是定义的重要组成部分，本题中不仅满足m22m9=-1，还要满足m+20.根据题意得：解

19、得：m=4答案：B点拨：此题考查了反比例函数的定义，解题容易忽视反比例函数解析式y=中k0这一条件.二、反比例函数的图像和性质【例2】（2014天水）已知函数y=的图象如图，以下结论：m0；在每个分支上y随x的增大而增大；若点A（-1，a）、点B（2，b）在图象上，则ab；若点P（x，y）在图象上，则点P1（-x，-y）也在图象上其中正确的个数是（）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个分析：利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项根据反比例函数的图象的两个分支分别位于二、四象限，可得m0，故正确；在每个分支上y随x的增大而增大，正确

20、；若点A（-1，a）、点B（2，b）在图象上，则a=-m,b=,因为m0，所以ab，故本项错误；若点P（x，y）在图象上，则点P1（-x，-y）也在图象上，正确， 答案：B点拨：本题考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握其性质，难度不大【例3】在函数(a为常数）的图象上有三点（-3，），（-1，），（2，），则函数值，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 分析：因为（-3，），（-1，），（2，）三个点不在双曲线的同一分支上，前两个点在第二象限的分支上，根据增减性，y随x的增大而增大，所以0.而第三个点在第四象限的分支上，函数值都小于0，所以0.两种

21、情况结合起来，函数值的大小即可比较.是反比例函数，且=0，双曲线在第二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大.（-3，），（-1，）在第二象限，且-3-1，0.又（2，）在第四象限，0.综上所知： .答案：D点拨：由于反比例函数图象的两个分别位于不同的象限，在比较函数值的大小时，往往忽略图象所在的象限，只根据反比例函数的增减性进行判断，导致错误.【例4】（2014湘潭）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 分析：欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的

22、面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，S1+S2=4+4-12=6答案：D点拨：本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，有一定的难度三、反比例函数在实际问题中的应用 【例5】（2013玉林）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600煅烧时温度y（）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）已知该材料

23、初始温度是32（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；（2）根据工艺要求，当材料温度低于480时，须停止操作那么锻造的操作时间有多长？ 分析：（1）首先根据题意，材料煅烧时，温度y与时间x成一次函数关系；锻造操作时，温度y与时间x成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把y=480代入y=中，进一步求解可得答案解：（1）材料锻造时，设y=（k0），由题意得600=解得k=4800，当y=800时，=800，解得x=6，点B的坐标为（6，800）材料煅烧时，设y=ax+32（a0），由题意得800=6a+32，解得a=128，材

24、料煅烧时，y与x的函数关系式为y=128x+32（0x6）锻造操作时y与x的函数关系式为y=（x6）；（2）把y=480代入y=，得x=10， 10-6=4（分）， 答：锻造的操作时间4分钟点拨：考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式四、反比例函数与一次函数的综合应用 【例6】已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（-4，n） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求OAB的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的

25、自变量x的取值范围 分析：（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出ACO和BOC的面积，然后相加即可；（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=，一次函数y=x+b，得k=14，1+b=4，解得k=4，b=3，反比例函数的解析式是y=，一次函数解析式是y=x+3；（2）如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，当x=-4时，y=-1，B（-4，-1），当y=0时，x+3=0，解得x=-3，C（-3，0），=3431=； （3）B（-4，-1），A（1，4

26、），根据图象可知：当x1或-4x0时，一次函数值大于反比例函数值点拨：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点.学生出错较多的地方时（2）和（3），应关注学生的数形结合思想. 第二十六章反比例函数单元测试(时间：90分钟 分值：100分)一、选择题：（每小题3分，共30分）1.（2014扬州）若反比例函数y=（k0）的图象经过点P（-2，3），则该函数的图象不经过的点是（）A（3，-2） B（1，-6） C（-1，6） D（-1，-6）2. （2014常州）已知反比例函数y=的图象经过点P（-1，2），则这个函数的图象位于

27、（）A第二，三象限 B第一，三象限 C第三，四象限 D第二，四象限3. 对于函数y=-，下列说法正确的是（）A它的图象关于坐标原点成中心对称B自变量x的取值范围是全体实数C它的图象不是轴对称图形Dy随x的增大而增大4. 直线y=x+1与双曲线y在同一坐标系中的大致位置是（） A. B. C. D. 5. 如果矩形的面积为6cm2，那么它的长cm与宽cm之间的函数图象大致为（ ）oyxyxoyxoyxoA B C D6.（2014宁夏）已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在函数y=的图象上，当x1x20时，下列结论正确的是（）A0y1y2 B0y2y1 Cy1y20 Dy2y107.

28、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（ ）A、不小于m3 B、小于m3 C、不小于m3 D、小于m3 8. 若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数D、不能确定9. （2014自贡）关于x的函数y=k（x+1）和（k0）在同一坐标系中的图象大致是（） A. B. C. D. 10. （2014抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x0）上的一个

29、动点，PBy轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A逐渐增大 B. 不变 C. 逐渐减小 D. 先增大再减小二、填空题（每小题4分，共36分）1.下列函数， . . ；其中是y关于x的反比例函数的有：_.2. 已知反比例函数的图象经过点A(-3，-6)，则函数解析式为_.3. 已知直线y=ax（a0）与双曲线（k0）的一个交点坐标为（-2，3），则它们的另一个交点坐标是 .4. 已知：函数是反比例函数，当x0时，y随x的增大而_.5.若直线y=kx（k0）与双曲线y的交点为（x1，y1）、（x2，y2），则2x1y2-5x2y1的值为 .6. 若梯形的下底长为x，上底

30、长为下底长的，高为y，面积为60，则y与x的函数关系式为 （不考虑x的取值范围）7. 若反比例函数y=的图象在每一个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 .8. （2014天水）如图，点A是反比例函数y=的图象上-点，过点A作ABx轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则OAC的面积为 . 9、如图所示，矩形AOBC的面积为8，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k= 三、解答题（第1题10分，第2、3题每题12分）1.、某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y（件）是日销售价x元的反比例函数，且当售价定为100元/件时

31、，每日可售出30件.（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？2.、如图，函数y=kx与y=的图象在第一象限内交于点A在求点A坐标时，小明由于看错了k，解得A（1，3）；小华由于看错了m，解得A（1，）（1）求这两个函数的关系式及点A的坐标；（2）根据（1）的结果及函数图象，若kx0，请直接写出x的取值范围3.、（2014安顺）如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）是反比例函数y（x0）与一次函数y=ax+b的交点求： （1）反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时

32、x的取值范围 第二十六章反比例函数单元测试参考答案一、选择题1.D .解析：先把P（2，3）代入反比例函数的解析式求出k=6，再把所给点的横纵坐标相乘，结果不是6的，该函数的图象就不经过此点故选D. 2.D .解析：把点P（-1，2）代入反比例函数的解析式求出k=2，所以图像位于第二、四象限.故选D.3.A .解析：反比例函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形，对称中心是坐标原点，故A正确，C项错误；自变量x的取值范围是不为0的全体实数，故B项错误；当k0时，在每个象限内y随x的增大而增大，故D项错误4.C .解析：反比例函数的比例系数是1，大于0，所以图像位于第一、三象限，一次函数中k=1大于0 ，b=1,大于0，所以直线经过一、二、三象限，故选C.5.A.解析：矩形长y与宽x的关系式为（x0），故选A.6.A .解析：可利用特殊值法，选取符合题意的x1、x2 的值，代入函数关系式计算即可.如令x1=5，x2=1，代入求得y1=1，y2=5，可得 0 y1y2 ，故选A.7.C.解析：根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.6，60）故PV=96；故当P120，可判断V,故选C. 8.B.解析：与成反比例，设解析式为（）.又与成正比