九年级数学上册 垂径定理课件 人教新课标版

1、圆圆 的的 对对 称称 性性 圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？ 如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称你能找到多少条对称 轴？轴？ O 你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ? n圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？ 如果是如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ? 你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？ 你又是用什么方法解决这个你又是用什么方法解决这个 问题的问题的? ? 圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形圆是轴对称图形. . 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过

2、圆心的直线, ,它有无它有无 数条对称轴数条对称轴. . O 可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. . n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形. . 它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. . 用旋转的方法即可解决这个用旋转的方法即可解决这个 问题问题. . AM=BM, 垂径定理垂径定理 AB是是 O的一条弦的一条弦. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说 说你的想法和理由说你的想法和理由. n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M. O n右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是

3、什么? n小明发现图中有小明发现图中有: AB C D M n由由 CD是直径是直径 CDAB 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. 垂径定理垂径定理 如图如图,小明的理由是小明的理由是: 连接连接OA,OB,OA,OB, O AB C D M 则则OA=OB. 在在RtOAM和和RtOBM中中, OA=OB，OM=OM， RtOAM RtOBM. AM=BM. 点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称, 当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B 重合重合, AC和和BC重合重合, AD和和BD重合重合. AC =BC, AD =BD. 垂径

4、定理垂径定理三种语言三种语言 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧. 老师提示老师提示: 垂径定理是垂径定理是 圆中一个重圆中一个重 要的结论要的结论,三三 种语言要相种语言要相 互转化互转化,形成形成 整体整体,才能运才能运 用自如用自如. O AB C D M CDAB, 如图如图 CD是直径是直径, AM=BM, AC =BC, AD=BD. CDAB, 垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理 AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说 说你的想法和理由说你的想法

5、和理由. n过点过点M作直径作直径CD. O n左图是轴对称图形吗左图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么? n小明发现图中有小明发现图中有: C D n由由 CD是直径是直径 AM=BM 可推得可推得 AC=BC, AD=BD. M AB 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. 驶向胜利 的彼岸 挑战自我挑战自我填一填填一填 1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两 条弧条弧. （ ） (2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的

6、中点的直径一定垂直于弦.（ ） . (3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 驶向胜利 的彼岸 挑战自我挑战自我画一画画一画 2.已知：如图已知：如图, O 中中,弦弦ABCD,ABCD, 直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F. 图中相等的线段有图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有: . F E O M N A B C D 例例!.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的为圆心的 两个同心圆中，大圆的弦两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆交小圆 于于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有什有什 么关系

7、？为什么？么关系？为什么？ 证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD . A CD B O E 注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长. A BC D 0 E F GH 如图如图,矩形矩形ABCD,交圆交圆O于于 E,F,G,H,BE=2,EF=12,AH=5,求求GH的长的长 . 练习练习1 练

8、习练习2:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圆求圆O的半径。的半径。 10 D C E O A B 反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、 圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长a中，中， 任意知道两个量，可根据任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：定理求出第三个量： C D BA O 例例2：如图，圆：如图，圆O的弦的弦AB8 ， DC2，直径，直径CEAB于于D， 求半径求半径OC的长。的长。 D C E O A B 垂径垂径 直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F. 练习练习3:如图，如图，CD为圆为圆O的直

9、径，弦的直径，弦 AB交交CD于于E， CEB=30， DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。 E D O C A B 图中相等的线段有图中相等的线段有 : 挑战自我挑战自我画一画画一画 如图如图,M,M为为OO内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB, 使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM. O M 小小 结结 直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦= 直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径） 直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 = 、圆的轴对称性、圆的轴对称性

10、 、垂径定理及其逆定理的图式 2. 2. 圆对称性圆对称性(2)(2) 垂径定理垂径定理三种语言三种语言 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧. 老师提示老师提示: 垂径定理是垂径定理是 圆中一个重圆中一个重 要的结论要的结论,三三 种语言要相种语言要相 互转化互转化,形成形成 整体整体,才能运才能运 用自如用自如. O AB C D M CDAB, 如图如图 CD是直径是直径, AM=BM, AC =BC, AD=BD. 垂径定理的应用垂径定理的应用 例例1 1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图

11、中弧即图中弧CD,CD, 点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点, ,且且 OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径. . n解解: :连接连接OC.OC. O C D E F .)90(,mROFRm则设弯路的半径为 ,CDOE ).(300600 2 1 2 1 mCDCF 得根据勾股定理, 即, 222 OFCFOC .90300 2 22 RR .545,R得解这个方程 .545m这段弯路的半径约为 老师提示老师提示: 注意闪烁注意闪烁 的三角形的

12、三角形 的特点的特点. 赵州石拱桥赵州石拱桥 1.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥的桥 拱是圆弧形拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高 (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半求桥拱的半 径径(精确到精确到0.1m). n你是第一你是第一 个告诉同个告诉同 学们解题学们解题 方法和结方法和结 果的吗？果的吗？ 赵州石拱桥赵州石拱桥 解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm， 经过圆心经过

13、圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根 据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高. 由题设由题设 ABAB AB AB , 2 . 7, 4 .37CDAB ABAD 2 1 , 7 .184 .37 2 1 DCOCOD. 2 . 7 R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 , 222 ODADOA .)2 . 7(7 .18 222 RR即 解得解得 R27.9（m）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. O A B C R D 37.4 7

14、.2 船能过拱桥吗船能过拱桥吗 2 . 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶 高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并 高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这 座拱桥吗？座拱桥吗？ 相信自己能独立相信自己能独立 完成解答完成解答. 船能过拱桥吗船能过拱桥吗 解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm, 经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于

15、点C.根根 据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高. 由题设得由题设得 ABAB AB AB . 5 . 1 2 1 , 4 . 2, 2 . 7MNHNCDAB ABAD 2 1 , 6 . 32 . 7 2 1 DCOCOD. 4 . 2 R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 , 222 ODADOA .)4 . 2(6 . 3 222 RR即 解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 , 22 HNONOH. 6 . 35 . 19 . 3 22 OH即 . 21 . 25 . 16

16、 . 3DH 此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥. 垂径定理的应用垂径定理的应用 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示截面如图所示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最，求油的最 大深度大深度. BA O E D 600 垂径定理的逆应用垂径定理的逆应用 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示截面如图所示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最，求油的最 大深度大深度. BA O 600 650 D C 挑战自我挑战自我 1、要把实际问题转变成一

17、个数学问题来解决、要把实际问题转变成一个数学问题来解决. 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理， 并用方程的思想来解决问题并用方程的思想来解决问题. n3、对于一个圆中的弦长、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形、弓形 高高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外 两个量，如图有：两个量，如图有： d + h = r 222 ) 2 ( a dr h d a 2 O 2. 2. 圆对称性圆对称性(3)(3) 圆的对称性及圆的对称性及特性特性 圆

18、是轴对称图形圆是轴对称图形, ,圆的对称轴是任意一条经过圆心的圆的对称轴是任意一条经过圆心的 直线直线, ,它有无数条对称轴它有无数条对称轴. . n圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形, ,它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. . n用旋转的方法可以得到用旋转的方法可以得到: : n一个圆绕着它的圆心旋转任意一一个圆绕着它的圆心旋转任意一 个角度个角度, ,都能与原来的图形重合都能与原来的图形重合. . n这是圆特有的一个性质这是圆特有的一个性质: :圆的圆的 旋转不变性旋转不变性 O A B 圆心角圆心角 圆心角圆心角 顶点在圆心的角顶点在圆心的角(如如AOB). 弦心距弦心距 过圆

19、心作弦的垂线过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离圆心与垂足之间的距离(如线段如线段OD). 如图如图,在在 O中中,分别作相等的圆心角和分别作相等的圆心角和AOB和和AOB, 将其将其 中的一个旋转一个角度中的一个旋转一个角度,使得使得OA和和OA重合重合. n 你能发现那些等量关系你能发现那些等量关系?说一说你的理由说一说你的理由. OO A B D O A B D A B A B A B A B A B A B D D D D D D A B D 圆心角圆心角 圆心角圆心角, 弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理 如图如图,如果在两个等圆如果在两个等圆 O和和 O中中,分

20、别作相等的圆心角和分别作相等的圆心角和 AOB和和AOB,固定圆心固定圆心,将其中的一个旋转一个角度将其中的一个旋转一个角度,使使 得得OA和和OA重合重合. O A B O A B n 你又能发现那些等量关系你又能发现那些等量关系?说一说你的理由说一说你的理由. O A B O A B A B A B A B A B A B A B D D D D 圆心角圆心角, 弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理弦心距之间的关系定理 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的圆心角所对的弧相等所相等的圆心角所对的弧相等所 对的弦相等对的弦相等, ,所对的弦的弦心距相等所对的弦的弦心距相等. . O A B D AB D O A B D O AB D 由条件由条件: AOB=AOB AB=AB AB=AB OD=OD 可推出 拓展与深化拓展与深化 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果轮换下面五组条件如果轮换下面五组条件: : 两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两条弦两条弦, ,两条弦心距两条弦