五、 材料力学切应力分析

1、 1 1、切应力互等定理、剪切虎克定律切应力互等定理、剪切虎克定律 2 2、圆轴、圆轴扭转时横截面上的切应力分析扭转时横截面上的切应力分析 4 4、基于最大、基于最大切应力的强度计算切应力的强度计算 5 5、结、结论与讨论论与讨论 第五章第五章 弹弹性杆件横截面上的切应力分析性杆件横截面上的切应力分析 3 3、薄、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心 传动轴传动轴 请判断哪些零件请判断哪些零件 将发生扭转变形将发生扭转变形 切应力互等定理、剪切虎克定律切应力互等定理、剪切虎克定律 切应力互等定理、剪切虎克定律切应力互等定理、剪切虎克定律 请判断

2、哪些截面请判断哪些截面 将发生剪切变形将发生剪切变形 两类切应力：两类切应力：扭转切应力、弯曲切应力；扭转切应力、弯曲切应力； 请判断轴受哪些力请判断轴受哪些力 将发生什么变形将发生什么变形 Mn x z 切应力互等定理、剪切虎克定律切应力互等定理、剪切虎克定律 考察承受切应力作用的微元体考察承受切应力作用的微元体 A D C B x y z dx dydz ; 0)(ddd 0 dydxdzxzy M； 切应力互等定理：切应力互等定理：在两个相互垂直的平在两个相互垂直的平 面上，切应力成对存在，两应力垂直于面上，切应力成对存在，两应力垂直于 两个平面的交线，共同指向或者背离该两个平面的交线，

3、共同指向或者背离该 交交线线： = 切应力互等定理、剪切虎克定律切应力互等定理、剪切虎克定律 A B C D 剪切胡克定律剪切胡克定律： 弹弹性范围内，切应力与切应变成正性范围内，切应力与切应变成正比比 G )1(2 E G 式式中中 G 为材料的剪切弹性材为材料的剪切弹性材料料的的模模量，量， 为剪切应变。为剪切应变。 弹弹性模量、泊松比、剪切弹性模性模量、泊松比、剪切弹性模量三个量三个 常数存常数存在如下关系，只有两个是独立的。在如下关系，只有两个是独立的。 圆轴圆轴扭转时横截面上的切应力分析扭转时横截面上的切应力分析 请注意圆轴受扭转后表面请注意圆轴受扭转后表面 的矩形将发生什么变形？的

4、矩形将发生什么变形？ Mx 平面假设：平面假设：圆轴扭转时，横截面圆轴扭转时，横截面 保保 持平面，并且只能发生刚性转动。持平面，并且只能发生刚性转动。 Mx 横截面是刚性转动，直横截面是刚性转动，直 径始终是直线。径始终是直线。 观察圆轴表面平行轴线的直线和垂直这观察圆轴表面平行轴线的直线和垂直这 些直线的环线在扭矩作用下的变化。些直线的环线在扭矩作用下的变化。 圆轴变形后表面的直线变成螺旋线；环圆轴变形后表面的直线变成螺旋线；环 线没有变化，小矩形线没有变化，小矩形ABCD变形为平行变形为平行 四边形四边形ABCD。 A B C D A B C D 圆轴扭转时横截面上的切应力分圆轴扭转时横

5、截面上的切应力分 1 1、应变特征、应变特征 两轴向间距为两轴向间距为dxdx的截面相对转角为的截面相对转角为 d , ,考察考察 微元微元 ABCD 的变形得：的变形得： 圆轴扭转时，切应变沿半径方向线性分布。圆轴扭转时，切应变沿半径方向线性分布。 r xd d 圆轴扭转时横截面上的切应力分圆轴扭转时横截面上的切应力分 r 2 2、切应力分布特征、切应力分布特征 由剪切虎克定律得：由剪切虎克定律得： 圆轴扭转时，切应力沿半径方向线性分布。圆轴扭转时，切应力沿半径方向线性分布。 由切应力互等定理，与横截面相垂直的平面上由切应力互等定理，与横截面相垂直的平面上 也存在着切应力。也存在着切应力。

6、x GG d d 圆轴扭转时横截面上的切应力分析圆轴扭转时横截面上的切应力分析 3 3、切应力公式、切应力公式 切应力在圆轴横截面上的和就是该横截面上的扭矩。切应力在圆轴横截面上的和就是该横截面上的扭矩。 得：得： 4 4、最大切应力、最大切应力 圆轴扭转时横截面上最大切应力在横截面的边缘上。圆轴扭转时横截面上最大切应力在横截面的边缘上。 P I M x x AA MdA dx d GdA ）（ PP max max W M I M xx max P P I W Wp 扭转截面系数扭转截面系数 32 4 d IP 圆形截面： max max P x GI M dx d 圆轴扭转时横截面上的切应

7、力分析圆轴扭转时横截面上的切应力分析 例题例题5-15-1、图示传动机构，由图示传动机构，由B轮输入功率，通过锥型齿轮将轮输入功率，通过锥型齿轮将 其一半功率传递给其一半功率传递给C轴，另一半传递给轴，另一半传递给H轴。已知：轴。已知：P114kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求求: 各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。 3 3 ；360r/minr/min 12 36 120 3 1 13 z z nn 解：解：1、计算扭矩、计算扭矩 P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 k

8、W n1=n2= 120r/min Mx1=954914/120=1114 N.m Mx2=95497/120=557 N.m Mx3=95497/360=185.7 N.m 2、计算各轴的最大切应力、计算各轴的最大切应力 圆轴扭转时横截面上的切应力分析圆轴扭转时横截面上的切应力分析 16.54MPaPa 1070 111416 E 9-3 1P 1 max W M x .69MPa22Pa 1050 55716 H 9-3 2P 2 max W M x .98MPa12Pa 1053 718516 C 9-3 3P 3 max . W M x 1 1、切应力流、切应力流 承受弯曲的薄壁截面杆

9、件，与剪承受弯曲的薄壁截面杆件，与剪 力相对应的切应力有下列显著特征：力相对应的切应力有下列显著特征： 杆件表面无切应力作用，由切应杆件表面无切应力作用，由切应 力互等定理，薄壁截面上的切应力必力互等定理，薄壁截面上的切应力必 定平行于截面周边的切线方向，并且定平行于截面周边的切线方向，并且 形成切应力流。形成切应力流。 切应力沿壁厚方向均匀分布。切应力沿壁厚方向均匀分布。 薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力 以如图壁厚为以如图壁厚为 的悬臂梁槽钢为例，的悬臂梁槽钢为例， 考察考察x x方向平衡方向平衡 薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力薄壁截面梁弯曲时横截面上的切

10、应力 ）式得：带入（ 带入上式得：（注意到将 其中： a I SdMM dFF I SM F dAySIyM dAddFF dAF adxdFFFF z zzz NN z zz N A zzz A xxNN A xN NNNx ; )( ; ) ;/ ;)( ; )(; 0)()(; 0 * * * * * x * * * * * z z I SF * Q 薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力 z z I SF * Q 轴的静矩；分，其中一部分对中性 面分为两部横截面厚度方向将横截 薄壁过所要求切应力点，沿 薄壁截面的壁厚； 矩；横截面对中性轴的惯性 横截面上的剪力

11、； * z z Q S I F 2 2、弯曲中心、弯曲中心 对于薄壁截面，由于切应力方向必须对于薄壁截面，由于切应力方向必须 平行于截面周边的切线方向，故切应力相平行于截面周边的切线方向，故切应力相 对应的分布力系向横截面所在平面内不同对应的分布力系向横截面所在平面内不同 点简化，将得到不同的结果。如果向某一点简化，将得到不同的结果。如果向某一 点简化结果所得的主矢不为零而主矩为零，点简化结果所得的主矢不为零而主矩为零， 则这一点称为弯曲中心。图示薄壁截面梁则这一点称为弯曲中心。图示薄壁截面梁 的弯曲中心并不在形心上，因此外力作用的弯曲中心并不在形心上，因此外力作用 在形心上时主矢不为零而主矩

12、也不为零，在形心上时主矢不为零而主矩也不为零， 梁就会发生弯曲和扭转变形。梁就会发生弯曲和扭转变形。 薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心 弯曲中心：弯曲中心： 以图示薄壁槽钢为例，以图示薄壁槽钢为例， 先分别确定腹板和翼缘上的切应力：先分别确定腹板和翼缘上的切应力： 由积分求作用在翼缘上的合力由积分求作用在翼缘上的合力FT ： 薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心 y s yy z z c c z c ; )6( 6 )6( 4/6 2 2 2 22 Q 1 bhh sF bhh yhbhF Q

13、翼缘： ； ）（ 腹板： b T dsF 0 2 ; M 1 2 作用在腹板上的剪力为作用在腹板上的剪力为FQ ; ;将将FT 和和 FQ 向截面形心向截面形心 C 简化，可以得到主简化，可以得到主 矢矢FQ 和主矩和主矩M ； 其中其中M=FT h+FQe； 将将FT 、FQ 向向O点简化使点简化使M=0；点点O即即 为弯曲中心。为弯曲中心。 常见薄壁截面弯曲中心位置可以查表常见薄壁截面弯曲中心位置可以查表 5-15-1。 为了避免型钢的这类问题发生，工程为了避免型钢的这类问题发生，工程 中薄壁截面梁一般采取复合梁，如图中薄壁截面梁一般采取复合梁，如图 示。示。 薄壁截面梁弯曲时横截面上的切

14、应力与弯曲中心薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心 y s yy z z c c z c M 1 2 ; Q T F hF ee 薄壁截面梁弯曲切应力公式可以推广应薄壁截面梁弯曲切应力公式可以推广应 用到实心截面梁。用到实心截面梁。 1 1、宽度和高度分别为、宽度和高度分别为b b和和h h的矩形截面的矩形截面 （如图）（如图） 实心截面梁的弯曲切应力误差分析实心截面梁的弯曲切应力误差分析: 在常用尺寸范围有较好精度。在常用尺寸范围有较好精度。 薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁 A A FQ max 2 3 b h h/b 1.0

15、2/1 1.04 1/1 1.12 1/2 1.57 1/4 2.30 2 2、直径为、直径为 d 的圆截面的圆截面( (如图如图) ) 注意切应力方向，在横截面边界上各点的注意切应力方向，在横截面边界上各点的 切应力沿着边界切线方向。（如图所示）切应力沿着边界切线方向。（如图所示） 3 3、外径为、外径为D D、内径为、内径为d d的空心圆截面的空心圆截面( (如图如图) ) 薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁 A A FQ max 3 4 ; 4 )(2 22 Q max dD A A F ；其中 ;4 max max ）（的矩形截面：

16、、高为对于宽为 h l hb 4 4、工字形截面、工字形截面 工字形截面由上下翼缘和之间的腹板组工字形截面由上下翼缘和之间的腹板组 成，竖直方向的切应力主要分布在腹板上。成，竖直方向的切应力主要分布在腹板上。 5 5、弯曲实心截面正应力与切应力的量级比、弯曲实心截面正应力与切应力的量级比 较，如图较，如图 梁是细长杆（如梁是细长杆（如L=10dL=10d），则弯曲正应力），则弯曲正应力 为为6060倍切应力值，切应力是次要因素。倍切应力值，切应力是次要因素。 薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁 ; * maxQ max z z I SF W

17、 lFQ max I SF maxQ max ;6 max max ）（的圆截面：对应直径为 d l d 基于最大切应力的强度计算基于最大切应力的强度计算 弯曲构件横截面上最大切应力作用点一般没有正应力作弯曲构件横截面上最大切应力作用点一般没有正应力作 用。为了保证构件安全可靠，必须将最大切应力限制在一定用。为了保证构件安全可靠，必须将最大切应力限制在一定 数值以内，即数值以内，即 对于静载荷作用，扭转许用切应力与拉伸许用正应力存在如对于静载荷作用，扭转许用切应力与拉伸许用正应力存在如 下关系：下关系： max ）（铸铁： ）（低碳钢： 10.8 0.60.5 圆轴扭转时横截面上的切应力分析圆

18、轴扭转时横截面上的切应力分析 如图联轴器已知：最大功率如图联轴器已知：最大功率 P7.5kW, 转速转速n=100r/min, 轴的最大切应力轴的最大切应力不得超不得超 过过 40MPa ,空心圆轴的内外直径空心圆轴的内外直径 之比之比 = 0.5。 求求: 实心轴的直径实心轴的直径 d1 和空心轴的外直径和空心轴的外直径 D2 。 例例5-25-2、 圆轴扭转时横截面上的切应力分析圆轴扭转时横截面上的切应力分析 解：解：1 1、计算轴的扭矩、计算轴的扭矩 2 2、计算轴的直径、计算轴的直径 3 3、二轴的横截面面积之比：二轴的横截面面积之比： ;235 . 0 ;46046. 0 1040)

19、4 . 01 ( 2 .71616 ;40 1 16 ;45045. 0 1040 2 .71616 ;40 16 22 3 64 2 43 2 x P x max 3 6 1 2 1 max mmDd mmmD MPa D M W M mmmd MPa d M W M x P x 空心轴： 实心轴： );(2 .716 100 5 . 7 9549NmM x 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 D d A A 讨论：弹性杆件横截面上的各种内力与应力讨论：弹性杆件横截面上的各种内力与应力 x x x x x x Fn Mn Fqy Mz Fqz My z z z z y y 轴的内力对应的应力：轴的内力对应的应力： 轴力轴力F FN N引起的正应力：引起的正应力： 扭矩扭矩MnMn引起的切应力：引起的切应力： 剪力剪力FqyFqy引起的切应力：引起的切应力： 弯矩弯矩Mz引起的正应力引起的正应力: : 剪力剪力FqzFqz引起的切应