八年级数学下册 专题突破讲练 巧用中点解决问题试题 （新版）青岛版

1、学必求其心得，业必贵于专精巧用中点解决问题一、中位线定理1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。如图,在abc中,d、e分别是ab、ac两边中点，求证de平行且等于。利用全等和平行四边形进行证明。强调理解：(1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段.(2）三角形有三条中位线,首尾相接时,小三角形面积等于原三角形的四分之一,这四个三角形都互相全等。二、直角三角形斜边中线如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形

2、斜边上的中线等于斜边的一半。如图，在rtabc中，acb90，d是ab的中点,求证。利用矩形性质进行证明。总结：（1）当图形中有一个中点的时候考虑倍长中线，当图形中有两个中点的时候考虑连接后用中位线；（2）计算中经常使用直角三角形斜边中线等于斜边一半，特别要注意等腰直角三角形。例题1 如图,m是abc的边bc的中点，an平分bac,且bnan，垂足为n,且ab6，bc10，mn1。5，则abc的周长是（）a. 28 b. 32 c. 18 d。 25解析：延长线段bn交ac于e,从而构造出全等三角形，（abnaen)，进而证明mn是中位线,从而求出ce的长。答案：延长线段bn交ac于e.an平

3、分bac，banean，anan，anbane90，abnaen，abae6，bnen，又m是abc的边bc的中点，ce2mn21.53,abc的周长是abbcac6106325，故选d。例题2 如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所作的第n个四边形的周长为 。解析：根据正方形的性质以及三角形中位线的定理，求出第二个，第三个四边形的周长，从而发现规律,即可求出第n个四边形的周长。答案：根据三角形中位线定理得，第二个四边形的边长为，周长为2,第三个四边形的周长为42，第n个四边形的周长为4()n1，

4、故答案为2,4(）n1。利用中点判断三角形形状示例 如图，在线段ae同侧作两个等边三角形abc和cde(ace120），点p、点m分别是线段be、ad的中点，则cpm是(）a. 钝角三角形 b。 直角三角形 c. 等边三角形 d。 非等腰三角形解析:首先根据等边三角形的性质，得出acbc，cdce，acbecd60，则bceacd，从而根据sas证明bceacd，得cbecad，bead；再由点p、点m分别是线段be、ad的中点,得bpam，根据sas证明bcpacm，得pcmc，bcpacm，则pcmacb60，从而证明该三角形是等边三角形。答案：abc和cde都是等边三角形,acbc，cd

5、ce，acbecd60.bceacd。bceacd.cbecad，bead。又点p、点m分别是线段be、ad的中点，bpam。bcpacm.pcmc，bcpacm。pcmacb60.cpm是等边三角形。故选c.转化三角形构造中位线示例 已知两个共顶点的等腰rtabc,rtcef，abccef90，连接af，m是af的中点，连接mb、me.（1)如图1,当cb与ce在同一直线上时，求证：mbcf；（2）如图1，若cba,ce2a,求bm，me的长；（3)如图2,当bce45时，求证：bmme。解析：（1）如答图1所示，延长ab交cf于点d，证明bm为adf的中位线即可；（2）如答图2所示，作辅助

6、线，推出bm、me是两条中位线；（3）如答图3所示，作辅助线,推出bm、me是两条中位线:bmdf，meag;然后证明acgdcf，得到agdf，从而证明bmme。答案：（1）证明：如答图1，延长ab交cf于点d，则易知abc与dbc均为等腰直角三角形，abbcbd，点b为线段ad的中点，又点m为线段af的中点,bm为adf的中位线，bmcf。(2)解：如答图2所示，延长ab交cf于点d，则易知dbc与abc为等腰直角三角形，abbcbda，acdca，点b为ad中点，又点m为af中点，bmdf。分别延长fe与ca交于点g，则易知cef与ceg均为等腰直角三角形，ceefge2a，cgcf2a

7、，点e为fg中点，又点m为af中点，meag。cgcf2a，cacda，agdfa,bmmeaa.(3）证明：如答图3，延长ab交ce于点d，连接df,则易知abc与dbc均为等腰直角三角形，abbcdb，acdc,点b为ad中点，又点m为af中点，bmdf。延长fe与cb交于点g，连接ag，则易知cef与ceg均为等腰直角三角形，ceefeg，cfcg，点e为fg中点，又点m为af中点，meag。在acg与dcf中，acgdcf(sas），agdf，mebm。(答题时间：45分钟）一、选择题1。 直角三角形abc的周长为2，斜边上的中线长为1,则该三角形的面积等于(）a。 1 b。 c. d

8、。 2。 如图,mon90，矩形abcd的顶点a、b分别在边om,on上,当b在边on上运动时，a随之在边om上运动，矩形abcd的形状保持不变，其中ab2，bc1,运动过程中，点d到点o的最大距离为（）a。 1 b. c. d. *3。 如图，be、cf分别是abc的高，m为bc的中点，ef5，bc8,则efm的周长是（）a. 21 b. 18 c. 13 d。 15*4。 如图,e、f、g、h分别是bd、bc、ac、ad的中点，且abcd。下列结论：egfh，四边形efgh是矩形,hf平分ehg，eg(bcad）,四边形efgh是菱形.其中正确结论的个数是（)a. 1个 b. 2个 c.

9、3个 d。 4个*5. 在正方形abcd中，p为ab的中点,bepd的延长线于点e，连接ae、be、faae交dp于点f,连接bf，fc。下列结论:abeadf；fbab；cfdp；fcef，其中结论正确的是（）a。 b. c。 d. 二、填空题*6。 如图，abc的周长为26，点d，e都在边bc上，abc的平分线垂直于ae，垂足为q，acb的平分线垂直于ad，垂足为p，若bc10,则pq的长为。7. 如图，将菱形纸片abcd折叠,使点a恰好落在菱形的对称中心o处,折痕为ef，若菱形abcd的边长为2cm，a120，则efcm。*8. 如图，在abc中，abac，m，n分别是ab，ac的中点,

10、d，e为bc上的点，连接dn，em。若ab13cm，bc10cm,de5cm,图中阴影部分的面积为。9. 命题：如图，正方形abcd中，e、f分别为ab、ad上的点，afbe，ce、bf交于点h，bf交ac于点m，o为ac的中点,ob交ce于点n，连接oh。下列结论中：bfce;omon；ohcn； ohbhch。其中正确的结论有_。三、解答题*10. 如图,直线a、b相交于点a，c、e分别是直线b、a上两点且bca，deb，点m、n分别是ce、bd的中点。求证:(1）dmbm;(2）mnbd。11. 已知：在abc中，abc90，点e在直线ab上，ed与直线ac垂直，垂足为d，且点m为ec中

11、点，连接bm，dm.（1)如图1，若点e在线段ab上，探究线段bm与dm及bmd与bcd所满足的数量关系,并直接写出你得到的结论；（2)如图2，若点e在ba延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明;（3）若点e在ab延长线上,请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段bm与dm及bmd与bcd所满足的数量关系。*12. 已知：在abc中,bcac，动点d绕abc的顶点a逆时针旋转，且adbc，连接dc。过ab、dc的中点e、f作直线，直线ef与直线ad、bc分别相交于点m、n。（1)如图1，当点d旋转到bc的延长线上时,点n恰好与点f重合，取ac的中点h，连接he、

12、hf，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论amfbne（不需证明）；（2）当点d旋转到图2或图3中的位置时，amf与bne有何数量关系?请分别写出猜想，并任选一种情况证明。1. b 解析：cd是直角三角形abc斜边上的中线，ab2cd2，直角三角形abc的周长是2,acbc，两边平方得:ac22acbcbc26，由勾股定理得：ac2bc2ab24,2acbc2，acbc1，sabcacbc1。故选b.2。 a 解析:如图，取ab的中点e，连接oe、de、od,odoede，当o、d、e三点共线时，点d到点o的距离最大,此时，ab2，bc1，oeaeab1，de，od的最大值为:1。3。

13、 c 解析：be、cf分别是abc的高，m为bc的中点，在rtbce中，embc4，在rtbcf中，fmbc4,efm的周长emfmef44513。故选c。4. c 解析：e、f、g、h分别是bd、bc、ac、ad的中点，efcd，fgab，ghcd，heab，abcd，effgghhe,四边形efgh是菱形，egfh,正确；四边形efgh是矩形，错误；hf平分ehg，正确；当adbc,如图所示：e,g分别为bd，ac中点，连接cd，延长eg到cd上一点n,enbc，gnad,eg（bcad），只有adbc时才可以成立，而本结论中ad与bc很显然不平行，故本结论错误；四边形efgh是菱形，正确

14、.综上所述，共3个正确。故选c。5。 d 解析：正方形abcd，beed,eafa，abadcdbc，badeaf90bef,apdepb，eabdaf，ebaadp,abad,abeadf，正确；aeaf，bedf，aefafe45，取ef的中点m，连接am，amef，amemfm，beam，apbp，ambeme,embebm45，amb9045135fmb，bmfm，amfm，abmfbm，abfb，正确；bambfm,bef90，amef，bamapm90,ebfefb90，apfebf，abcd，apdfdc，ebffdc，bedf,bfdc，befdfc，fecf,febcfd90

15、,正确,正确；故选d.6. 3 解析:bq平分abc，bqae,bae是等腰三角形，同理cad是等腰三角形，点q是ae中点，点p是ad中点（三线合一）,pq是ade的中位线，becdabac26bc261016,debecdbc6，pqde3。7。 解：连接bd、ac，四边形abcd是菱形，acbd,ac平分bad，bad120，bac60,abo906030，aob90,aoab21，由勾股定理得：bodo,a沿ef折叠与o重合，efac，ef平分ao，acbd，efbd，ef为abd的中位线,efbd（),故答案为:。8。 30cm2 解析:连接mn。m，n分别是ab，ac的中点，mn是a

16、bc的中位线，mnbc，且mnbc5cm；过点a作afbc于f。则afmn，af12cm(勾股定理）。图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm,且高的和为12cm；s阴影51230cm2。9。 解析：afbe，abbc，badabc90，abfbce，bceabf，bfaceb,becbcebehabf90，bhe90，即bfec,正确;四边形abcd是正方形，boac，booc,由题意，正方形abcd中，abobco，已证bceabf，ecofbo，obmocn，omon，即正确;obmocn，bmcn,只有当h为bm的中点时,oh等于cn的一半，故错误；过o点作og垂直于oh，og交ch于

17、点g，在ogc与ohb中,，故ogcohb,ohog，ohg是等腰直角三角形,，,所以结论正确。综上所述，正确。10。 证明:(1）bca，deb，cbecdb90，cbe,cde为直角三角形，点m是ce的中点,dmbmec,dmbm；（2)dmbm，mdb为等腰三角形,又n为bd的中点，mn为bd边上的中线，mnbd（三线合一）。11. 解：（1)结论：bmdm，bmd2bcd。理由如下：bm、dm分别是rtebc、rtdec的斜边上的中线，bmdmce;又bmmc，mcbmbc,即bme2bcm；同理可得dme2dcm;bmedme2（bcmdcm），即bmd2bcd。（2）在（1）中得到的结论仍然成立。即bmdm，bmd2bcd。证明：点m是rtbec的斜边ec的中点，bmecmc，又点m是rtdec的斜边ec的中点，dmecmc,bmdm；bmmc，dmmc，cbmbcm，dcmcdm，bmdembemd2bcm2dcm2（bcmdcm)2bcd,即bmd2bcd。（3）所画图形如图所示：图1中有bmdm，bmd2bcd；图2中bcd不存在，有bmdm;图3中