工程力学ppt课件

1、第八章第八章 扭扭 转转 8.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 8.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 8.3 纯剪切纯剪切 8.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 8.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 *8.6 非圆截面轴扭转简介非圆截面轴扭转简介 8.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 一、工程实例一、工程实例 二、杆件的扭转变形二、杆件的扭转变形 杆受到若干力偶的作用，其杆受到若干力偶的作用，其 力偶作用面垂直于轴线。力偶作用面垂直于轴线。 杆件的不同横截面绕轴线相杆件的不同横截面绕轴线相 对转动了一定的角度。对转动了一定的角度。 受力特点：受力特点：

2、 变形特点变形特点: （扭转角：（扭转角：） 轴轴工程上，以扭转作为主要变形的直杆称为轴。工程上，以扭转作为主要变形的直杆称为轴。 e M e M 8.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 一、外力偶矩计算一、外力偶矩计算 一般有三种情况给出：一般有三种情况给出： 1、直接给出；、直接给出； 2、通过外力平移计算得出；、通过外力平移计算得出； 3、通过电机轴的功率、轴的转速来计算。、通过电机轴的功率、轴的转速来计算。 e MFa Me Me e P (kW) n (r/min) 输入功率输入功率 P 相当每秒输入的功为：相当每秒输入的功为： 1kW1000 N m/s 2

3、 60 n kW e N m r/min 9549 P M n 式中：式中： P输入功率（输入功率（kW） n 转速（转速（r/min） Me外力偶矩（外力偶矩（Nm） 传动轴的外力偶矩计算：传动轴的外力偶矩计算： 1000 N m/sP 1000 N m /s)P 外力偶矩外力偶矩 Me 在每秒完成的功为：在每秒完成的功为： Me Me e M 二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图 MeMe Me T Me T 1.扭矩扭矩 ：扭转时横截面上的内力，它是扭转时横截面上的内力，它是 一个位于横截面平面内的力偶，该力一个位于横截面平面内的力偶，该力 偶矩称为扭矩，用偶矩称为扭矩，用 T 表示。表示。

4、 求法：求法：截面法截面法 取左端，由力矩平衡取左端，由力矩平衡 , 0 x M e = 0TM e TM得：得： 说明：说明：这样规定扭矩的正负号，使得同一截面上的扭矩获得相同的正负号。这样规定扭矩的正负号，使得同一截面上的扭矩获得相同的正负号。 符号：符号：按右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若按右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若 矢量方向与横截面外法线方向一致时，扭矩矢量方向与横截面外法线方向一致时，扭矩 为正，反之扭矩为负。为正，反之扭矩为负。 , 0 x M e = 0MT 取右端，由力矩平衡取右端，由力矩平衡 e TM得：得： n n 二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图 2.扭矩图：扭矩图：

5、以扭矩以扭矩 T 为纵坐标，截面位置为纵坐标，截面位置 x 为横坐标，表示为横坐标，表示 扭矩随杆件轴线变化情况的曲线扭矩随杆件轴线变化情况的曲线 扭矩图扭矩图。 MeMe 扭矩图的作法与轴力图相似。扭矩图的作法与轴力图相似。 例如：例如： Me T x O 图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A输入功率输入功率PA=50 KW，从动轮，从动轮B、C、D输出功率分别输出功率分别 为为 PB=PC=15 KW ，PD=20 KW ，轴的转速为，轴的转速为n=300 r/min。作轴的扭矩图。作轴的扭矩图。 e 50 954995491592 N m 300 A A P M n ee 15 954

6、99549477 N m 300 B BC P MM n 解：解： 先求各轮的外力偶矩：先求各轮的外力偶矩： 例：例： 用截面法求各段扭矩：用截面法求各段扭矩： 1eB TM 2eeBC TMM 3eD TM 477 N m 954 N m 637 N m e 20 95499549637 N m 300 C D P M n 477 954 637 (N m)/T x O 620N.m 780N.m 1400N.m 哪哪 一一 种种 安安 排排 更更 合合 理理 620N.m 780N.m 1400N.m 620N.m 780N.m 8.3 纯剪切纯剪切 1. 实验实验 可以看出：可以看出：

7、（1 1）纵向线倾斜了同一）纵向线倾斜了同一 微小角度微小角度, ,方格的左、右方格的左、右 两边发生了相对错动。两边发生了相对错动。 （2 2）圆周线的形状、）圆周线的形状、 大小及圆周线之间的距大小及圆周线之间的距 离保持不变。离保持不变。 一、薄壁圆筒的扭转应力一、薄壁圆筒的扭转应力 dx dy 2. 应力分析应力分析 (1)(1)分析切应力：分析切应力： 切应变切应变 代表剪切变形，单代表剪切变形，单 元体的左、右表面存在切应力元体的左、右表面存在切应力 . (2)(2)分析正应力：分析正应力： 扭转过程中，圆筒表面圆周扭转过程中，圆筒表面圆周 线的形状、大小及相邻圆周线的线的形状、大

8、小及相邻圆周线的 间距都不变，间距都不变，无正应变无正应变(纵向应纵向应 变和环向应变变和环向应变) ，无正应力无正应力(左、左、 右表面和上、下表面右表面和上、下表面)。 (切应变) 取微单元体取微单元体 (dx,dy, ) 3. 横截面切应力横截面切应力 的计算的计算 结论结论: : 切应力在横截面近似均匀分布。切应力在横截面近似均匀分布。 （1 1）由于沿圆周方向各点的变）由于沿圆周方向各点的变 形相同，即属于轴对称问题，故形相同，即属于轴对称问题，故 可认为切应力可认为切应力 沿环向不变。沿环向不变。 （2 2）由于壁厚很薄，近似认为）由于壁厚很薄，近似认为 沿壁厚方向不变。沿壁厚方向

9、不变。 d A RAT dA dA d A RAT 2RRT 2 2 T R R -薄壁圆筒平均半径薄壁圆筒平均半径R 得薄壁圆筒横截面上的切应力：得薄壁圆筒横截面上的切应力： dy dx x y z (d ) d(d ) dyxxy 即即 在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在， 且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向共同指向 或者或者共同背离共同背离两平面的交线。这就是两平面的交线。这就是切应力互等定理切应力互等定理。 二、切应力互等定理二、切应力互等定理 上述单元体的四个

10、侧面上，仅存在切应力而无正应力，上述单元体的四个侧面上，仅存在切应力而无正应力， 这种应力状况称为这种应力状况称为纯剪切纯剪切。 由平衡方程由平衡方程 得：得： z 0M = r l 说明：说明： l e M e M 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 dy dx x y z 其中：其中：G 是比例常数，称为是比例常数，称为剪切弹性模量剪切弹性模量( (切变模量切变模量) )， 上式为上式为剪切胡克定律剪切胡克定律。 图中当剪应力不超过材料图中当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时，剪应力与的剪切比例极限时，剪应力与 剪应变呈线性正比例关系，即：剪应变呈线性正比例关系，即： G 由实验可得切应力与

11、切应由实验可得切应力与切应 变的关系曲线，如右图：变的关系曲线，如右图： 说明说明：1、G 与与 E 、一样，均随材料而异。一样，均随材料而异。 2、对于各向同性材料：、对于各向同性材料： )1(2 E G 8.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 一、实验与假设一、实验与假设 1 1、实验现象：实验现象： 各圆周线的形状、各圆周线的形状、大小大小、两两圆周圆周线之间线之间的距离都没有发的距离都没有发 生变化，但都绕轴转过了不同的角度。生变化，但都绕轴转过了不同的角度。 纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩纵线仍近似为直线，但都倾斜了一个角度，使原来的矩 形都变成了平行四边形。形都

12、变成了平行四边形。 2 2、假设：假设： 平面假设平面假设：圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面圆轴扭转时，各横截面如同刚性平面 一样绕轴转动，即：假设圆轴各横截面在变形过一样绕轴转动，即：假设圆轴各横截面在变形过 程中，始终保持为平面，其形状和大小不变。程中，始终保持为平面，其形状和大小不变。 二、圆轴扭转时横截面上各点的切应力二、圆轴扭转时横截面上各点的切应力 要得到圆轴扭转横截面上的切应力公式，需综要得到圆轴扭转横截面上的切应力公式，需综 合考虑三个方面的关系：合考虑三个方面的关系： 1 1、变形几何关系、变形几何关系 2 2、物理关系、物理关系 3 3、静力学关系、静力学关系 ddaaRx

13、 d dx 在外表面上：在外表面上： d (b)(b) 外圆周上各点的切应变外圆周上各点的切应变 两端横截面的相对扭转角两端横截面的相对扭转角 (a)(a) R a a 距圆心为距圆心为处的切应变为处的切应变为： d d R x 1 1、变形几何关系、变形几何关系 d dx 单位长度扭转角，对一给定的单位长度扭转角，对一给定的 截面，是一常量。截面，是一常量。 可见，横截面上任意点的切应变与可见，横截面上任意点的切应变与 该点到圆心的距离该点到圆心的距离 成正比。成正比。 根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律, , 当剪应力不超过材料当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时的剪切比例极限时 G 2.

14、2. 物理关系物理关系 d d G x d dx (b)(b) 将（将（b b）带入上式得：）带入上式得： (c)(c) d d G x (c)(c) 在横截面上的分布：在横截面上的分布： max max 与与 成正比，成正比， 方向垂直于半径。方向垂直于半径。 d dx 单位长度扭转角单位长度扭转角 3.3.静力学关系静力学关系 dA dA o dA d d G x 2 p d A IA 令 p d d T xGI 则 d d d A GAT x T 2d A A p T I 将（将（c c）带入上式得：）带入上式得： 圆轴扭转横截面上距圆心为圆轴扭转横截面上距圆心为 的任意点的切应力计算公

15、式。的任意点的切应力计算公式。 T 极惯性矩极惯性矩 d d G x p T G GI p T I 将上式带入（将上式带入（c c）得：）得： A d dx (b)(b) d d G x (c)(c) d dx 单位长度扭转角单位长度扭转角 适用范围：适用范围：线弹性范围，且只适用于线弹性范围，且只适用于 等截面圆轴和空心等截面圆轴。对于等截面圆轴和空心等截面圆轴。对于 锥度较小的圆锥轴可近似使用。锥度较小的圆锥轴可近似使用。 的最大值 max p T R I p T W p p I W R 称为抗扭截面系数 max max p T I d o 三、截面的极惯性矩三、截面的极惯性矩 Ip 和抗

16、扭截面系数和抗扭截面系数 Wp 的计算的计算 2 p d A IA 2 0 2 2d d/ 2 3 0 2 d d/ 2 2 4 4 d 4 32 d p p R I W p 2 I d 3 16 d 1.1.实心圆截面实心圆截面 p d A IA 2 2 2 2 2d d D / / ()Dd 44 32 p p max I W p 2 I D 3 4 (1) 16 D 44 (1) 32 D d 2.2.空心圆截面空心圆截面 d D 其中： p 32 d I 4 p 16 d W 3 p (1) 32 D I 44 p (1) 16 D W 3 4 实心圆截面：实心圆截面： 空心圆截面：空

17、心圆截面： d o 总结：总结： TTTT 例例：内外径分别为：内外径分别为20mm和和40mm的空心圆截面轴，受的空心圆截面轴，受 扭矩扭矩T=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A点的剪应力及横点的剪应力及横 截面上的最大和最小剪应力。截面上的最大和最小剪应力。 解：解： p I T A A 10000015 004 32 105 4 4 . . (.) 6366.MPa max p T W 1000 004 16 105 3 4 . (.) 84.88MPa minmax 10 = 42.44MPa 20 例例：一厚度为：一厚度为30mm、内直径为、内直径为230mm的空心圆管，

18、的空心圆管， 承受扭矩承受扭矩T=180 kNm 。试求管中的最大剪应力，使。试求管中的最大剪应力，使 用：用： (1)(1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论； (2)(2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。 解：解：(1) (1) 利用薄壁管的近似理论可得：利用薄壁管的近似理论可得： max T R 2 2 18010 2013003 3 2 . 565 . MPa max () T D 3 4 16 1 (2) (2) 利用精确的扭转理论可得：利用精确的扭转理论可得： 18010 029 16 1 230 290 3 3 4 . 622 . MPa 例例：一直径为：一直径为D1的实心轴，另

19、一内外径之比的实心轴，另一内外径之比 d2 D20.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最 大剪应力相等。求两轴外直径之比大剪应力相等。求两轴外直径之比 D D2 2/D/D1 1。 解：解：由由 T D T D 1 3 2 3 4 1616 108 (.) D D 2 1 4 3 1 108 1192 . .得：得： 四四、扭转破坏、扭转极限应力、扭转破坏、扭转极限应力 1.扭转试验：用圆截面试样在扭转试验机上进行扭转试验：用圆截面试样在扭转试验机上进行 2. 试验现象：试验现象： 塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 3. 试验结论：试验结论： 失

20、效的形式为失效的形式为屈服屈服与与断裂断裂。 扭转屈服应力扭转屈服应力 s 扭转强度极限扭转强度极限 b 试样扭转屈服时横截面上的最大切应力试样扭转屈服时横截面上的最大切应力 试样扭转断裂时横截面上的最大切应力试样扭转断裂时横截面上的最大切应力 先在外表面出现横先在外表面出现横 向与纵向的滑移线，最向与纵向的滑移线，最 后沿横截面被剪断。后沿横截面被剪断。 沿沿450 螺旋面被拉断。螺旋面被拉断。 扭转极限应力扭转极限应力 u 五、圆轴扭转的强度条件五、圆轴扭转的强度条件 1. 扭转许用切应力扭转许用切应力 u n 2. 扭转强度条件扭转强度条件 max max max p T W s b 塑

21、性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 3. 圆轴扭转强度计算的三类问题圆轴扭转强度计算的三类问题 （a）强度校核：）强度校核： max max p T W （b）截面设计：）截面设计： max p T W （c）许用载荷计算：）许用载荷计算： p TW 已知：已知：n=100 r/min, P=7.5KW, =45MPa, =0.5, d1=45mm, d2=46mm, 例：例： 试校核轴的强度。试校核轴的强度。 解：解： 故：强度满足要求。故：强度满足要求。 max p T W 3 p1 /16Wd 34 p (1)/16WD 9549716.2 N m e P TM n 对实心轴，对实心轴，

22、所以：所以： 对空心轴：对空心轴：所以：所以： 1max 40.02MPa 2max 40 MPa 例例某传动轴，轴内的最大扭矩某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5 KNm，若许用切应力，若许用切应力 ，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸：，试按下列两种方案确定轴的截面尺寸： 2.空心圆截面轴，其内、外径之比空心圆截面轴，其内、外径之比 0.9 d D 解：解： 1. 确定实心圆截面轴的直径确定实心圆截面轴的直径 d1。 1.实心圆截面轴；实心圆截面轴； 由强度条件由强度条件 max max p T W 其中其中 p 16 d W 3 得得: 3 3 3 1 6 1616(1.5 10 ) 53.

23、5mm (50 10 ) T d 50MPa 2. 确定空心圆截面轴的内、外径。确定空心圆截面轴的内、外径。 由强度条件由强度条件 max max p T W 其中其中 4 p (1) 16 D W 3 而其内径为而其内径为 0.968.7 mmdD 3.重量比较重量比较 两者材料相同、长度相同，重量比即为横截面面积之比：两者材料相同、长度相同，重量比即为横截面面积之比： 22222 1 ()(0.0763)(0.0687) /()0.398 44(0.0535) dDd 2 结论：结论： 空心轴远比实心轴轻。空心轴远比实心轴轻。 3 446 1616(1.5 10 ) 76.3mm (1)(

24、1 0.9 )(50 10 ) T D 3 3 得得: 注：圆轴合理截面设计：注：圆轴合理截面设计： dA 0 R 1.宜将材料放置在离圆心较远的部位，即作成空心的宜将材料放置在离圆心较远的部位，即作成空心的. 2.平均半径愈大，壁厚愈小，即平均半径愈大，壁厚愈小，即 愈大，切应力分布愈愈大，切应力分布愈 均匀均匀. 0 R 但是若比值但是若比值 过大，即管壁过薄，管在受扭时将产生过大，即管壁过薄，管在受扭时将产生 皱折现象（即局部失稳）而降低其抗扭能力。皱折现象（即局部失稳）而降低其抗扭能力。 0 R 例例：一空心圆轴，内外径之比为：一空心圆轴，内外径之比为 = 0.5，两端受扭转力偶，两端

25、受扭转力偶 矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加 一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为 的多少倍？的多少倍？( (按强度计算按强度计算) ) 解解：设空心圆轴的内、外径原分别为：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内，面积增大一倍后内 外径分别变为外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为，最大许可扭矩为1 由得 DDD D 1 2 2 2 21 4 1052 4 1052(.)(.) 由 T D T D 1 1 3 4 3 4 16 1 16 1 ()() 得 T

26、T D D 11 3 3/2 22828 . 8.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 一、圆轴扭转时的变形一、圆轴扭转时的变形 () d d p T xGI 见上一节公式推导 dd p T x GI 0 dd l l P T x GI P Tl GI 两边积分得： 若T 为常量，则有： P GI抗扭刚度抗扭刚度 d 二、圆轴扭转的刚度条件二、圆轴扭转的刚度条件 1. 单位长度的扭转角：单位长度的扭转角： d d rad/m P T xGI 1 m d0 d 8 P T xGI 2. 刚度条件：刚度条件： max max max 180 P T = GI 许用单位长度扭转角，许用单位长度扭转角

27、， 单位：单位： m 阶梯形圆轴的直径d1=4cm， d2=7cm，轴上有三个皮带轮， 轮3的输入功率为P3=30 KW， 轮1的输出功率为P1=13 KW， 轴的转速 n =200 r/min， ，试校核轴的强度、 刚度。 Pa G80GPa m 例例 解：解： （1）作扭矩图）作扭矩图 x 621 N.m 1432 N.m T （2）校核强度）校核强度 3 t 621 48.5MPa 60MPa ()0.2 0.04 AC AC AC T W 3 t 1432 20.9MPa 60MPa ()0.2 0.07 DB DB DB T W 故强度合格。故强度合格。 外力偶外力偶 Me1= 62

28、1 N.m Me3=1432 N.m O （3）校核刚度）校核刚度 180 1.77 m 2 m AC AC P T GI 180 0.436 m 2 m DB DB P T GI 刚度也满足要求。刚度也满足要求。 x 621 N.m T O 1432 N.m 例例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大 剪应力是原来的剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？倍？ 16 3 t max d T W T T l G I T l G d p 4 32 816 例例：水平面上的直角拐，水平面上的直角拐，AB段

29、为圆轴，直径为段为圆轴，直径为 d，在端点，在端点 C受铅垂力受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为作用，材料的剪切弹性模量为G，不计，不计BC段段 变形。求变形。求C点的铅垂位移。点的铅垂位移。 解：解： a ABCV a IG laP p 4 2 32 dG lPa 例：例：已知一直径已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为的钢制圆轴在扭转角为 6时，轴时，轴 内最大剪应力等于内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。求该轴长度。 解：解： T l G I p ( ) 1 max (2) P T W ( ) ( ) 1 2 得： p p W I G l max 6 180 8

30、010005 90102 9 6 . 233.m 两端固定的圆截面等直杆两端固定的圆截面等直杆AB，在截面，在截面C受外力偶矩受外力偶矩M作作 用，试求杆两端的支座反力偶矩。用，试求杆两端的支座反力偶矩。 eeAB MMM 静力平衡方程为：静力平衡方程为： 0 ABACCB 变形协调条件为：变形协调条件为： ee 0 AB pp M aMb GIGI 得补充方程：得补充方程： 例例 解：解： e e A B b MM ab a MM ab 扭转静不定问题扭转静不定问题 8.6 非圆截面轴扭转简介非圆截面轴扭转简介 圆截面杆扭转时的应力和变形公式圆截面杆扭转时的应力和变形公式, ,均建立在均建立

31、在平面假设平面假设 的的 基础上。基础上。 对于非圆截面杆对于非圆截面杆, ,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截 面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲截面翘曲。 因此因此, ,圆轴扭转时的圆轴扭转时的 应力、变形公式对非圆应力、变形公式对非圆 截面杆均不适用。截面杆均不适用。 一、非圆截面杆在扭转时两种情形一、非圆截面杆在扭转时两种情形: : 1.1.自由扭转或纯扭转自由扭转或纯扭转 在扭转过程中在扭转过程中, ,杆的各横截面的翘杆的各横截面的翘 曲不受任何约束曲不受任何约束, ,任意两相邻横截面的任意两相邻横截面的 翘曲程度完全相同。此时横截面只有