微积分期末考试复习范围CAI讲解

1、12 2 2 1 1.ln() , xcxyx x bx x a函数在区间（ ， ） （可以为无穷）上的单调性 （第一次作业：一、3） 例如：判断对错： 22 242(2) 46(2)2 xx y xxx 220,0,xx y 当时，因此故单调递增.故命题为对. 例如：判断对错： 22 222(1) +27(1)6 xx y xxx 110,0,xx y 当时，因此故单调递减.故命题为错. 填空题填空题 2 ln(22)yxx函数在（，-1上是单调 22 222(1) 22(1)1 xx y xxx 110,0,xx y 当时，因此故单调减少. 减少减少 2. 函数极值点的特征（导数不存在点）

2、 （第一次作业：一、5；二、4；） 2ln(1)xyxx是函数的极小值点 极值点一定出现在驻点和不可导点 12 1 11 x y xx 例如：判断对错： 02yx 2 1 ,(2)10 (1) yy x 2.x 为极小值点 故命题为对 填空：当 解： 24yx 22 03 3 yx 2 ,343xyxx是函数的极值点 2 3 2 ln(2).yx单选：函数的极小值是（） 00yx 2 2 , 2 x y x 0,ln2xy A 解：解： 选（选（A） (A) ln2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 3. 曲线拐点的特征（导数不存在点） （第一次作业：二、5；四、4；） 拐点一定出现在二阶导

3、数的零点和不可导点 例如：填空题： 5 5yx曲线在点处形成拐点 49 55 14 (5);(5) 525 yxyx 5,5xyx不存在.所以应填 5x 2 (7)(). x ye xx双选题：曲线在形成拐点 22 (7)2(27) xxx yexexexx ( )5( )1 2 2( )12 2()1ABCD 2 04501,5yxxxx A, D 选（选（A）和）和 (D) 22 (27)(22)=(45) xxx yexxexexx 3 .(1)2.yx单选题曲线的拐点是（） 2 3(1)yx C 6(1)012yxxy ，解：解： 选（选（C） (A) (2, 1) (B) 2 (C)

4、 (1, 2) (D) 1 的凹凸区间曲线dcxbxaxy 23 . 4 （第一次作业：三、5） 0,y 曲线上凹（凹弧） 0,y曲线下凹（凸弧） 32 295().yxx单选题：曲线在区间是凸弧 2 618yxx ( )1.5,)( )(,1.5( )3,)()(,3ABCD 1.50.(,1.5.x y 当时，故曲线在区间是凸弧 B 选（选（B） 121812(1.5)yxx 32 696().yxxx单选题：曲线在区间是凹弧 2 3129yxx ( )(,2( )(,1( )2,)()1,)ABCD 20.2,).x y 当时，故曲线在区间是凹弧 C 选（选（C） 6126(2)yxx

5、. ,. 5 21 23 上的最大值最小值 在区间函数xxdcxbxaxy （第一次作业：四、3） 12 ( ) ,yf xx x求出函数在区间上 的所有驻点，不可导点，区间端点， .比较它们的函数值 32 291230,3 . yxxx双选题：函数在区间 上的（ ）点取到最大值或最小值 ( )0( )3( )1()2AxBxCxDx A B 选（选（A）(B) (0)3, (3) 12, (1)8, (2)7ffff由 0,3(3) 12;(0)3.ff得函数在上的最大值为最小值为 3 32 1.5,1.5 . yxx双选题：函数在区间 上的（ ）点取到最大值或最小值 ( )1.5( )1.

6、5( )1()1AxBxCxDx A D 选（选（A）(D) ( 1.5)9.875, (1.5)0.875, ( 1)4, (1)0ffff由 1.5,1.5( 1.5)9.875; (1)0. f f 得函数在上的最大值为 最小值为 2 333(1)(1)yxxx 12 01,1yxx 令 6. 周长一定的矩形（一边靠墙），长宽 各为多少时面积最大。 （第一次作业：五、3） 解：解：设长为x，宽为y， 面积为： 32 16 22 xx y 则 2 16 2 x Sxyx 16=0=16Sxx 令 x y y 10S 16x 所以为极大值点，又极值点唯一， 故为最大最大值点. 16因此，当小

7、屋的长为米，宽为8米时候， 面积最大. 解：解：设长为x，宽为y， 面积为： 24 12 22 xx y 则 2 12 2 x Sxyx 12=0=12Sxx 令 x y y 10S 12x 所以为极大值点，又极值点唯一， 故为最大最大值点. 126因此，当小屋的长为米，宽为 米时候， 面积最大. 7. 不定积分的性质： dxxfkdxxkf)()( dxxgdxxfdxxgxf)()()()( 8. 不定积分的基本公式 ,cot,tan,cos ,sin, xdxxdxxdx xdxdxadxx x )1( 1 1 1 Cxdxx Cxdx x |ln 1 C x dx x 11 2 Cxd

8、x x 2 1 （第二次作业：二、3、4） 例如：填空题 Ca a dxa xx ln 1 Cxxdx sincos Cxxdx |cos|lntan Cxxdx |sin|lncot Cxxdx cossin 2 x dx 不定积分基本公式 1 2+ ln 2 x C应 填 ： x dx 不定积分基本公式 3 2 2 3 xC应 填 ： 9. 不定积分的基本公式 xdxxdxxdxarctan,arcsin,ln xxdxxxdxlnlnln dx x xxx 1 ln Cxxxln Cxx)1(ln xdxarcsin xxdxxxdxarcsinarcsinarcsin dx x xxx

9、 2 1 1 arcsin )1( 1 1 2 1 arcsin 2 2 xd x xx Cxxx 2 1arcsin xdxarctan xxdxxxdxarctanarctanarctan dx x xxx 2 1 1 arctan 2 2 1 1 2 1 arctandx x xx Cxxx)1ln( 2 1 arctan 2 )(,)(.10 xfxxedxxf x 求被积函数已知 （第二次作业：二、1） 例如：填空题： ( ),( ) x f x dxxexCf x 已知则 1 xx exe ( )() x f xxe x ( )(1)cos,( )f x dxxxCf x 已知则

10、cos(1)sinxxx ( )(1)cos f xx x . ,)1(.11 2 三角代换为去根号应选什么样的 时在计算不定积分 dxxf （第二次作业：一、4、5、三、3、4） 例如：判断题： .cossin ,)1( 2 这样的三角代换或应选 时计算不定积分 txtx dxxf 正确： . ,)1(.12 2 三角代换为去根号应选什么样的 时在计算不定积分 dxxf .cottan ,)1( 2 这样的三角代换或为去根号应选 时计算不定积分 txx dxxf 例如：判断题： 正确： 例如：选择题： C 选（选（C） 例如：选择题： B 选（选（B） . ,)1(.13 2 三角代换为去根

11、号应选什么样的 时在计算不定积分 dxxf .cscsec ,)1( 2 这样的三角代换或应选 为去根号时在计算不定积分 txtx dxxf 例如：判断题： .sec3 ,)3( 2 tx dxxf 应选三角代换 为去根号时在计算不定积分 正确： .,sin)( .14 2 vuxdxcbxax 和应如何选择时 利用分部积分公式计算 （第二次作业：四、） .sin ,sin)( 2 2 xvcbxaxu xdxcbxax 和 应选择时计算 例如：多选题： A D 选（选（A D） .,)( .15 2 vudxecbxax x 和应如何选择时 利用分部积分公式计算 . ,)( 2 2 x x

12、evcbxaxu dxecbxax 和 应选择时计算 （第二次作业：四、） 例如：多选题： A C 选（选（A C） .,ln)( .16 vuxdxbax 和应如何选择时 利用分部积分公式计算 .ln ,ln)( baxvxu xdxbax 和 应选择时计算 （第二次作业：四、） 例如：多选题： C D 选（选（C D） .,arcsin)( .17 vuxdxbax 和应如何选择时 利用分部积分公式计算 .arcsin ,arcsin)( baxvxu xdxbax 和 应选择时计算 （第二次作业：四、） 例如：多选题： B C 选（选（B C） dxxxdxxx b a km b a k

13、n 11 .18 与 定积分比较大小 （第三次作业：1） 例如：填空题： 11 2 12 00 12 11 . IxxdxIxxdx II 积分与 的关系是 解： 2 01xxx 11 2 00 11xxdxxxdx 2 11xxxx 11 2 12 00 12 11 . IxxdxIxdx II 积分与 的关系是 解： 2 011xx 11 2 00 11xxdxxdx 2 11xxx 22 2 12 11 12 11 . IxxdxIxxdx II 积分与 的关系是 解： 2 01xxx 11 2 00 11xxdxxxdx 2 11xxxx 积分上限函数的导数.19 （第三次作业：3、9

14、） 公式 例如：填空题： 00 ( )( )( ) xx d f t dtf t dtf x dx 2 0 sin(1) x d ttdt dx 2 sin(1)xx 0 2 0 sin(2 ) lim= 3 x x t dt x 极限（ ） (A) 0 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) 0 0 2 sin(2 ) lim 3 x x t dt x 1 3 0 sin() li= 2 m 6 x x x B 求定积分利用定积分的几何意义.20 （第三次作业：2） 1 2 0 1 x dx 由定积分的几何意义， 解： 1 222 0 11.x dxxy 为四分之一圆的面积 2 1 1 44

15、 应填： 4 1 1 2 2 0 2x dx 由定积分的几何意义， 解： 2 222 0 22.x dxxy 为四分之一圆的面积 2 1 2 42 应填： （） 2 2 2 7 2 0 7x dx 由定积分的几何意义， 解： 7 222 0 77.x dxxy 为四分之一圆的面积 2 17 7 44 应填： （） 2 7 7 求中值 积分中值定理),)()(.21abfdxxf b a 例如： )(,)1( ),)()( 1 0 2 则对于 积分中值定理由 dxxx abfdxxf b a 11 13 (A) 223 11 13 (B) 223 15 (C) 22 15 (C) 22 6 1

16、2 1 3 1 ) 1( 1 0 23 1 0 2 xxxdxxx 1)( 2 abf 0 6 5 6 1 1 22 2 1 3 13 A B 选（选（A B） )(,)32( ),)()( 2 0 2 则对于 积分中值定理由 dxxx abfdxxf b a 13 (A) 1 3 13 (B) 1 3 14 (C) 1 3 14 (C) 1 3 3 2 3 3 1 )32( 2 0 23 2 0 2 xxxdxxx 642232)( 22 abf 0 3 10 2 3 2 642 22 3 13 1 A B 选（选（A B） 分段函数的定积分.22 （第三次作业：12） 2 2 0 11 (

17、 )( ) 31 xx f x dxf x xx 计算，其中 212 2 001 ( )=(1)3f x dxxdxx dx 21 0 1 ()| 2 xx 17 2 3 2 1 |x 1 2 1 20 ( )( ) 30 xx f x dxf x xx 计算，其中 101 2 110 ( )=(2)3f x dxxdxx dx 20 1 1 (2 )| 2 xx 5 2 3 1 0 |x 分对称限奇偶函数的定积.23 （第二次作业：10） 公式： ,)()(xfxf , )()(xfxf 0d)( a a xxf则 aa a xxfxxf 0 d)(2d)(则 1 3 1 cos( )xxd

18、x (A) 0(B)2 1 3 0 (C)2cosxxdx 3 (D) 2cosxx A 2 3 2 sin().xxdx C 故选（故选（C） 2 33 0 ( )0 ( )4 ( )2sin( )2sinABCxxdxDxx 22 333 20 sinsin2sin.xxxxdxxxdx 由于是偶函数，所以 dxxxnm dxxxdxxx nm mnnm 1 0 1 0 1 0 )1 (, ,)1 ()1 (.24 的并计算某个 证明 （第三次作业：20） 1,xtdxdt 证明：令则 1 0 (1) mn tt dt 10 01 (1)(1) mnmn xxdxtt dt 01;xt 1

19、0 xt 1 0 (1) mn xx dx dxxx dxxxdxxx mnnm 1 0 82 1 0 1 0 )1 ( ,)1 ()1 ( 并计算 证明 1 28 0 (1)xx dx 1 82 0 =(1)xxdx 1 8910 0 =(2)xxxdx 91011 1 0 121 | 91011 xxx 121 91011 2 =0.0020202 990 的递推公式 或dxxIdxxI n n n n 2 0 2 0 cossin.25 12, 3 2 5 4 12 22 12 2 2, 22 1 4 3 22 32 2 12 cossin 2 0 2 0 mn m m m m mn m

20、 m m m dxxdxxI nn n 12, 3 2 5 4 12 22 12 2 2, 22 1 4 3 22 32 2 12 cossin 2 0 2 0 mn m m m m mn m m m m dxxdxxI nn n 15 8 3 2 5 4 cossin 2 0 5 2 0 5 5 dxxdxxI 12, 3 2 5 4 12 22 12 2 2, 22 1 4 3 22 32 2 12 cossin 2 0 2 0 mn m m m m mn m m m m dxxdxxI nn n 256 35 22 1 4 3 6 5 8 7 cossin 2 0 8 2 0 8 8 d

21、xxdxxI 12, 3 2 5 4 12 22 12 2 2, 22 1 4 3 22 32 2 12 cossin 2 0 2 0 mn m m m m mn m m m m dxxdxxI nn n 45714. 0 105 48 3 2 5 4 7 6 cossin 2 0 7 2 0 7 7 dxxdxxI /2 3 0 sin=xdx 积分 2 3 /2 3 0 sin xdx /2 2 0 =(1 cos) cosx dx 3 2 0 12 =cos cos = 33 xx 收敛的条件及收敛的值广义积分 a dx x 1 .26 1 1 1 1 1 p p a p a d x p

22、 x p 2 1 1 =dx x 例如：反常积分1 1 1 1 1 1 p p a p a d x p x p 5 2 1 =dx x 例如：反常积分 1 5 21 5164 . ),),(),( ,),(),( .27 围成的面积 用定积分计算平面图形 dycyyxyx bxaxxgyxfy b a dxxgxfS bxaxxgyxfy )()( ,),(),(围成的面积： d c dyyyS dycyyxyx )()( ,),(),( 围成的面积 的面积。 所围成图形和计算由抛物线yxxy 22 x y o xy 2 yx 2 1 , 1 dxxxS)( 1 0 2 解： 1 0 3 2

23、3 3 1 3 2 xx 3 1 围成图形的面积。 和、直线计算曲边梯形：21xxyxy 2 1 ) 1 (dx x xS解： 2 1 2 ln 2 1 xx 1ln1 2 1 2ln2 2 1 22 2ln 2 3 围成，求其面积 非负连续求曲边梯形： , 0, ),)()(.28 ybxax xfxfy b a dxxfS)( . 211 轴围成，计算其面积 及和、直线曲边梯形由： x xxxy 2 1 1 dx x V解： y 1xy 2x 1x x o 1 , 1 2 1 , 2 2 1 |ln x 2ln ., )0(0, ),)()(.29 轴旋转一周，求其体积 围成，分别绕 非负

24、连续曲边梯形： yx baybxax xfxfy a b )(xfy b a b a x dxxfdxyV x )( 22 轴旋转：绕 b a y xxxfV y )(2 轴旋转：绕 . 21 1 2 轴旋转的体积轴和轴围成，计算其绕 及和、直线曲边梯形由： yxx xx x y 2 1 2 dxyV x 解： y 1xy 2x 1x x o 1 , 1 2 1 , 2 2 1 2 2 ) 1 (dx x 2 1 4 dxx 2 1 14 | 14 1 x 24 7 ) 3 1 24 1 (| 3 1 2 1 3 x . 211 轴旋转的体积轴和轴围成，计算其绕 及和、直线曲边梯形由： yxx

25、 xxxy 2 1 )(2dxxxfV y 解： y 1xy 2x 1x x o 1 , 1 2 1 , 2 2 1 2 1 2dx x x 2 1 1 2dx x 2ln2|ln2 2 1 x . 21 轴旋转的体积轴和轴围成，计算其绕 及和、直线曲边梯形由： yxx xxxy 2 1 2 dxyV x 解： 2 1 2 ) 1 (dx x 2 1 1 dx x 2 1 |ln x a b xy 2ln . 21 轴旋转的体积轴和轴围成，计算其绕 及和、直线曲边梯形由： yxx xxxy 2 1 )(2dxxxfV y 解： 2 1 2dxxx 2 1 2 3 2dxx 2 1 1 2 3

26、2 3 | 1 1 2 x a b xy )124( 5 4 | 5 4 2 1 2 5 x 叫微分方程）微分方程的定义（什么.30 例如：选择题： , xy ydy 联系自变量 未知函数 及其导数 或微分的关系式. 下列方程中，可称为微分方程的是（ ） B (A) 是二元一次方程组 (C) 是二元 代数方程 (D) 是一元二次方程 (B) 是微分方程 选（选（B） 2 222 21 ( )( )1 2 ( )1( )40 xy AByx xy CyxDxx 下列方程中，可称为微分方程的是（ ） A (B)是二元 代数方程 (C)是一元二次方程 (D)是二元一次方程组 (A) 是二阶微分方程

27、选（选（A） 22 2 ( )0( )21 23 ( )340( ) 31 x A xyyeByx xy CxxD xy 下列方程中，可称为微分方程的是（ ） D (A)是二元 代数方程 (B)是一元三次方程 (C)是三元一次方程组 (D) 是一阶微分方程 选（选（D） 23 2 ( )( )40 23 ( )( )0 54 AyxBxx xyz CDxydxy dy xy 微分方程阶的定义.31 例如：选择题： 出现在方程中未知函数的导数的最高阶数 22 ( )0 x yye方程是（ ）微分方程 D (A)二阶 (B) 三阶 (C)四阶 (D) 一阶 选（选（D） 2 x y yxe 方程是

28、（ ）微分方程 C (A)四阶 (B) 一阶 (C)二阶 (D) 三阶 选（选（C） 的通解及特解 可分离变量的微分方程 )()( .32 yQxP dx dy （第四次作业：1、2、3、9、10、11、 12、13、14、15、16） 例如：填空题： 2 y y x 微分方程的通解 2 11 dydx yx 分离变量： 1 2 111 ln |dydxyc yxx 积分： ， 1 1 11 | c c xx yeee 1 11 = c xx yeec e 通解为： sin2yyx 微分方程的通解 1 sin2dyxdx y 分离变量： 1 11 sin 2ln |cos2 2 dyxdxyxc y 积分： ， 1 1 11 cos2cos2 22 | x cx c yeee 1 11 cos2cos2 22 = xx c yeec e 通解为： 32 yx y