数字信号处理习题答案讲解

1、数字信号处理 习题解答 第1章 时域离散信号与时域离散系统 2 给定信号： 2n+54n1 60n4 0 其它 (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 试画出x3(n)波形。 解解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4) x(n

2、)= 第1章 时域离散信号与时域离散系统 （3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2， 画出图形如题2解图 （二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2， 画出图形如题2解图 （三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转 180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。 题2解图（一）题2解图（二） 第1章 时域离散信号与时域离散系统 题2解图（三） 题2解图（四） 3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 是常数AnAnx 8 7 3 cos)( (1) 解解：

3、 （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周 期序列， 周期T=14 3 142 7 3 第1章 时域离散信号与时域离散系统 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和 输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) 解解： （1） 令输入为 x(nn0) 输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n) 故该系统是非时变系统 第1章 时域离散信号与时域离散系统 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)

4、+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2) a Tx1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) bTx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2) 所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 故该系统是线性系统。 第1章 时域离散信号与时域离散系统 6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并 说明理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1) 解： 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1） 时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+

5、|x(n+1)|2M, 因此 系统是稳定系统。 7 设线性时不变系统的单位脉 冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7 图所示， 要求画出y(n)输出的波 形。 题7图 第1章 时域离散信号与时域离散系统 解解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n) =x(m)h(nm) m 第1章 时域离散信号与时域离散系统 y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 解法（二）采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为 x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3) h(n)=2(n)+(n1)+ (n2) 由

6、于 x(n)*(n)=x(n) x(n)*A(nk)=Ax(nk) 故y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2) 将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5) 第1章 时域离散信号与时域离散系统 8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2) （3） h(n)=0

7、.5nu(n), xn=R5(n) 解解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下: 0m3 n4mn 根据非零区间， 将n分成四种情况求解： m 第1章 时域离散信号与时域离散系统 n7时， y(n)=0 n m 0 3 4nm 最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7 y(n)的波形如题8解图（1）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) = 2(n)+(n1)(n+4)(n+5) y(n)的波形如题8解图（2）所示 y(n)= 题8解图（1

8、）题8解图（2） 第1章 时域离散信号与时域离散系统 (3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm) =0.5nR5(m)0.5mu(nm) y（n）对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时， y(n)=0 0n4时， =(10.5n1)0.5n=20.5n m m n m n mn ny 0 1 1 5 . 01 5 . 01 5 . 05 . 0)( 第1章 时域离散信号与时域离散系统 n5时 nn m mn ny5 . 0315 . 0 5 . 01 5 . 01 5 . 05 . 0)( 4 0 1 5 最后写成统一表达式： y(n)=(20.5n)R5(

9、n)+310.5nu(n5) 13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。 （1） 求出xa(t)的周期； （2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号 的表达式； （3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解解： （1） xa(t)的周期为 第1章 时域离散信号与时域离散系统 )(txa )(txa s 05. 0 1 f T （2）)( )40cos()()2cos()(nTtnTnTtfnTtx nn a jj （3） x(n)的数字频率=0.8， 故， 因而周期N=5， 所

10、以 x(n)=cos(0.8n+/2) 画出其波形如题13解图所示。 2 52 第1章 时域离散信号与时域离散系统 题13解图 14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为 )4()3()2() 1()( 5 1 )(nxnxnxnxnxny （1） 求出该滤波器的单位脉冲响应； （2） 如果输入信号波形如题14图所示，试求出y(n)并画出它的波形。 解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到该滤波器的单位脉 冲响应， 即 第1章 时域离散信号与时域离散系统 )4()3()2() 1()( 5 1 )(nnnnnnh （2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为 k

11、 knhkxny)()()( 表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表 中x(k)不动， h(k)反转后变成h(k)， h(nk)则随着n 的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(nk)和x(k)对 应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动 平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输 出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平 均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化 缓慢。 题14图 第1章 时域离散信号与时域离散系统 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 5. 设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列

12、运算或工作： （1)e ( 0 j X (4) 确定并画出傅里叶变换实部ReX(ej)的时间序列xa(n)； 解解(1) 6)()e ( 7 3 0 j n nxX （4） 因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分， 即 n nj nxeXR j ee e )()()()( 2 1 )( e nxnxnx 题15图 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。 题15解图 6 试求如下序列的傅里叶变换： ) 1( 2 1 )() 1( 2 1 )( 2 nnnnx 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 cos1)ee ( 2 1 1 e 2 1 1e 2

13、 1 e )()e ( jj jjj 2 j 2 n n nxX 解：(2) 8 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示。 解解： )()( 2 1 )( 44e nRnRnx )()( 2 1 )( 44o nRnRnx 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 题8解图 xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行 采样， 得到采样信号和时域离散信号x(n)， 试完成下面

14、各题： （1） 写出的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出和x(n)的表达式； （3） 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解解:(1) )(txa )(txa )(txa )(txa t ttttxX ttt tt aa de ee de )cos(2de )()j ( jjj j 0 j 00 上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变 换可以表示成： )()( 2)j ( 00 a X 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 （2） )()cos(2)()()( 0 nn aa nTtnTnTttxtx nnTnx- )cos(2)( 0 ms 5

15、 . 2 1 rad 2002 s 00 f Tf )()( 2 )jj ( 1 )( s00 k s k saa kk T kX T jX （3） 式中 rad/s 8002 ss f 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 )2()2(2 e ee e )cos(2e )cos(2e )()e ( 00 jjj j 0 j 0 jj 00 kk nnTnxX k n nnn n n n n n n 式中 0=0T=0.5 rad 上式推导过程中， 指数序列的傅里叶变换仍然不存在， 只有引入奇异函 数函数才能写出它的傅里叶变换表示式。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 14 求出以下序列的

16、Z变换及收敛域: (1) 2n u(n)(2) 2nu(n1) (3) 2n u(n)(4) (n) (5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10) 解(1) 2 1 21 1 2)(2)(2ZT 11 0 z z zznunu n nn n nnn 2 1 21 1 21 2 22 ) 1(2)1(2ZT 11 11 z zz z zz znunu n n nn n n n n nn (2) 第2章 时域离散信号和系统的频域分 析 2 1 21 1 2 2)(2)(2ZT 0 0 z z z zznunu n nn n nn n nnn(3) (4) ZT(n)=1 0 |z| (5) Z

17、T(n1)=z1 0|z| (6) 0 21 21 2)10()(2ZT 11 1010 9 0 z z z znunu n n nn 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 15 求以下序列的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。 (1) x(n)=RN(n)N=4 (2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad 解(1) 0 ) 1( 1z 1 1 )()( 3 4 1 4 3 0 4 z zzz z zznRzX n n n n 由z41=0， 得零点为 3 , 2 , 1 , 0 ez 4 2 j k k k 由z

18、3(z1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 零极点图和收敛域如题15解图(a)所示， 图中, z=1处的零极点相互对消。 题15解图 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 (2) )( ee eeAr 2 1 )()cos()( jjjj 0 00 nu nunArnx nnn n jj j e1 e e1 e 2 1 eeee 2 1 )( 1j j 1j 00 jjjj 00 00 zrzr A zrzrAzX j nn nnnnnn j j jj )e1 ()e1 ( )cos(cos 1j1j 1 0 00 zrzr zr A jj rz 零

19、点为 极点为 cos )cos( 0 1 j j rz 00 j 3 j 2 e e rzrz 极零点分布图 如题15解图(b) 所示 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 16 已知 1 121 2 2 1 1 3 )( z z zX 求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因 此收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应三种不 同的原序列。 （1）收敛域|z|0.5： zzzX j nx c n d)( 2 1 )( 1 n nn z zz z z zz z zzXz

20、F )2)(5 . 0( 75 )21)(5 . 01 ( 75 )()( 1 11 1 1 令 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 n0时， 因为c内无极点，x(n)=0; n1时， c内有极点 0 ， 但z=0是一个n阶极点， 改为求圆外极点留数， 圆外极点有z1=0.5, z2=2， 那么 ) 1(22) 2 1 (3 )2( )2)(5 . 0( )75( )5 . 0( )2)(5 . 0( )75( 2),(sRe5 . 0),( sRe)( 25 . 0 nu z zz zz z zz zz zFzFnx nn z n z n 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 (2)收敛域

21、0.5|z|2: )2)(5 . 0( )75( )( zz zz zF n n0时， c内有极点0.5， n zFnx) 2 1 (35 . 0 ),( sRe)( n2: )2)(5 . 0( )75( )( zz zz zF n n0时， c内有极点 0.5、 2， n n zFzFnx22 2 1 32 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0时， 由收敛域判断， 这是一个因果序列， 因此x(n)=0； 或者这样分 析， c内有极点0.5、 2、 0， 但0是一个n阶极点， 改求c外极点留数，c外无 极点， 所以x(n)=0。 )(22 2 1 3)( nunx n n 最后得

22、到 第3章 离散傅里叶变换 3 已知长度为N=10的两个有限长序列： 9 50 4 01 )( 1 n n nx 9 51 4 0 1 )( 2 n n nx 做图表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循环卷积区间长度L=10。 解解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分别如 题3解图（a）、 （b）、 （c）所示。 题3解图 第3章 离散傅里叶变换 14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0 n0, 8n y(n)=0 n0, 20n 对每个序列作20点DFT， 即 X(k)=DFTx(n) k=0, 1,

23、, 19 Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19 试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？ 解解: 记fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27， f(n)长度为20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为 m l nRmnfnf)()20()( 20 第3章 离散傅里叶变换 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n19 18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最 高

24、频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N 值。 第3章 离散傅里叶变换 解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而 s02. 0 50 11 minp F T （2） ms5 . 0 102 1 2 11 3 maxmins max ff T （3） pmin min 3 max 0.02 s 40 0.5 10 T N T （4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1 倍， 即为0.04 s， 实

25、现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。 80 ms0.5 s04. 0 min N 第4章 快速傅里叶变换 1 如果某通用单片计算机的速度为平均每次复数乘需要4 s， 每次 复数加需要1 s， 用来计算N=1024点DFT， 问直接计算需要多少时间。 用FFT 计算呢？照这样计算， 用FFT进行快速卷积对信号进行处理时， 估计可实现实 时处理的信号最高频率。 解解: 当N=1024=210时， 直接计算DFT的复数乘法运算次数为 N2=10241024=1 048 576次 复数加法运算次数为 N（N1）=10241023=1 047 552次 直接计算所用计算时间TD为 TD=4106

26、10242+1 047 552106=5.241 856 s 用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为 第4章 快速傅里叶变换 66 F 66 5 10lblb10 2 1024 5 1010 1024 10 10 2 30.72 ms N TNN N 快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)=DFTh(n)已计算好 存入内存）、 N次频域复数乘法和一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积 的计算时间Tc约为 cF 21024 71680 s4 1024 s 65536 s TT 次复数乘计算时间 所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率） s 6 1024 15

27、625 / 65536 10 F 次 秒 第4章 快速傅里叶变换 应当说明， 实际实现时， fmax还要小一些。 这是由于实际中要求采样频 率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重 叠部分长度与h(n)长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 第5章 时域离散系统的网络结构 1. 已知系统用下面差分方程描述: ) 1( 3 1 )()2( 8 1 ) 1( 4 3 )(nxnxnynyny 试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示系 统的输入和输出信号。 解解： 将原式移项得 ) 1( 3 1 )()2( 8 1

28、 ) 1( 4 3 )(nxnxnynyny 将上式进行Z变换， 得到 121 )( 3 1 )()( 8 1 )( 4 3 )( zzXzXzzYzzYzY 第5章 时域离散系统的网络结构 21 1 8 1 4 3 1 3 1 1 )( zz z zH (1) 按照系统函数H(z)， 画出直接型结构如题1解图（1）所示。 题1解图（1） (2) 将H(z)的分母进行因式分解： ) 4 1 1)( 2 1 1 ( 3 1 1 8 1 4 3 1 3 1 1 )( 11 1 21 1 zz z zz z zH 第5章 时域离散系统的网络结构 按照上式可以有两种级联型结构: 11 1 4 1 1

29、1 2 1 1 3 1 1 )( zz z zH 1 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 1 )( z z z zH 画出级联型结构如题1解图（2）所示。 题1解图（2） 第5章 时域离散系统的网络结构图 (3) 将H(z)进行部分分式展开： ) 4 1 1)( 2 1 1 ( 3 1 1 )( 11 1 zz z zH 4 1 2 1 ) 4 1 )( 2 1 ( 3 1 )( z B z A zz z z zH 3 10 ) 2 1 ( ) 4 1 )( 2 1 ( 3 1 2 1 z z zz z A 3 7 ) 4 1 ( ) 4 1 )( 2 1 ( 3 1 4 1 z z

30、zz z B 第5章 时域离散系统的网络结构图 4 1 3 7 2 1 3 10 )( zz z zH 11 4 1 1 3 7 2 1 1 3 10 4 1 3 7 ) 2 1 ( 3 10 )( zzz z z z zH 根据上式画出并联型结构如题1解图（3）所示。 题1解图（3） 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 5 已知模拟滤波器的系统函数如下： a 2 1 ( ) 1 Hs ss (1)(2) a 2 1 ( ) 231 Hs ss 试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。 设T=2 s。 解解: . 用脉冲响应不变法 (1) 按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s

31、)的极点为 12 1313 j,j 2222 ss a 1313 jj 2222 11 33 jj 33 ( ) 1313 jj 2322 33 jj 33 ( ) 1 e1 e TT Hs ss H z zz 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 将T=2代入上式， 得 1 j 311 j 31 11 1122 33 jj 33 ( ) 1 e1 e 2 3e sin3 31 2ecos 3e H z zz z zz (2) a 2 111 ( ) 1 2311 2 Hs sss s 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 21 1 1 2 1121 11 ( )| 1 e 1 e 11 1

32、e1 e T T T H z z z zz 或通分合并两项得 121 12132 (ee ) ( ) 1 (ee )e z H z zz 用双线性变换法 （1） 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 1 1 a2 21 11 ,2 1 11 1 2 1 2111 2 12 2 1 ( )( )| 11 1 11 (1) (1)(1)(1)(1) 12 3 z sT T z H zHs zz zz z zzzz zz z 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 (2) 1 1 a2 1 11 1 11 1 2 1 221 2 12 1 1 ( )( )| 11 231 11 (1) 2(1)3(1

33、)(1) 12 62 z s z H zHs zz zz z zzz zz z 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 8 题8图是由RC组成的模拟滤波器， 写出其系统函数Ha(s)， 并选用一种 合适的转换方法， 将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)， 最后画出网络结构图。 解解: 模拟RC滤波网络的频率响应函数为 a j () 11 j j R Hj R CRC 显然， Ha(j)具有高通特性， 用脉冲响应 不变法必然会产生严重的频率混叠失真。 所以应选用双线性变换法。 将 Ha(j)中的j用s代替， 可得到 RC滤波网络的系统函数： a( ) 1 s Hs s RC 题8图 第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计 用双线性变换法设计公式, 可得 1 1 1 1 a1 21 1 1 1 1 2 1 1 ( )( )| 2 11 1 11 1 12 1 z s T z z Tz H zHs z TzRC zT a a aRC zz a H(z)的结构图如题8解图所示。 题8解图 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 3 设FIR滤波器的系统函数为 )9 . 01 . 29 . 01 ( 10 1 )( 4321 zzzzzH 求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特 性函数和相位特性函数。