杆件的应力讲解

1、第六章 杆件的应力 平均应力平均应力 p P A A 0 lim A P p P A 总应力总应力 应力应力:是内力的集度，即单位面积上的内力是内力的集度，即单位面积上的内力 6.1 应力的概念应力的概念 正应力正应力 p p cos sin p 剪应力剪应力 或切应力或切应力 p 应力的单位应力的单位: : 单位：帕斯卡（单位：帕斯卡（Pa），或），或 Mpa, GPa 1Pa=1N/m2, 1Mpa=106Pa 1GPa=103MPa=109Pa 6.2 应变的概念应变的概念胡克定律胡克定律 正应变线应变 dy y dx x dy y dx x 0 0 lim lim y x dydy d

2、x dx 变形后变形前 变形后变形前 的常数为泊松比，与材料有关 有关系与显然 yx yx 切应变（剪应变）角应变 切应变与切应力 有关，反映夹角 的变化，用 表示, 应变是无量纲量 胡克定律胡克定律 实验结果表明，在弹性范围内加载（应力 小于某一极限值） G E E G 和 弹性模量弹性模量（或杨氏模量） 切变模量切变模量 E G 平面假设：变形前为平面的横截面变平面假设：变形前为平面的横截面变 形后仍为平面形后仍为平面 A FN 平面假设轴向变形均匀分布 1)只有轴向正应力 2)正应力在横截上均匀分布 6.3轴向拉压时的正应力 FF 应力集中的概念应力集中的概念 在局部区域应力突然增大的现

3、象，称 为应力集中。 n K max 横截面上的最大应力横截面上的最大应力 max与平均应力与平均应力 n 的比值称为的比值称为应力集中系数应力集中系数，以，以K表示。表示。 6.4圆轴扭转切应力圆轴扭转切应力 一、薄壁圆筒的扭转一、薄壁圆筒的扭转 等厚度的薄壁圆筒等厚度的薄壁圆筒,平均半径为平均半径为 r,壁厚为壁厚为 t 壁厚tr m m 薄壁圆筒扭转试验薄壁圆筒扭转试验 预先在圆筒的表面画上等间距预先在圆筒的表面画上等间距 的纵向线和圆周线，从而形成的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子。一系列的正方格子。 圆周线保持不变；纵向线发生倾斜圆周线保持不变；纵向线发生倾斜 观察到的现象

4、观察到的现象 设想设想 薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面，相邻薄壁圆筒扭转后，横截面保持为大小均无改变的平面，相邻 两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。 m m A BC D 圆筒两端截面之间相对转圆筒两端截面之间相对转 动的角位移，称为动的角位移，称为 ，用，用 表示。表示。 圆筒表面上每个格子的直角圆筒表面上每个格子的直角 的改变量，称为的改变量，称为 。 用用 表示表示 。 由设想推知由设想推知 圆筒横截面上只有剪应力，而无正圆筒横截面上只有剪应力，而无正 应力。由于壁很簿，可认为剪应力应力。由于壁很簿，可认为剪应力 沿薄壁均匀分布，方向垂直于半

5、沿薄壁均匀分布，方向垂直于半 径与周线相切。径与周线相切。 A C D B C D m m 剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径 与周线相切与周线相切 T T 根据精确的理论分析根据精确的理论分析,当当tr/10时时,上式上式 的误差不超过的误差不超过4.52%,是足够精确的。是足够精确的。 rAT A ddA dA rAT A d rrtT 2 T r t2 2 r 二、剪应力互等定理二、剪应力互等定理 dx t dy ()()t yxt xydddd 微元体微元体 单元体单元体 纯剪切：单元体上只有 剪应力而无正应力。 剪应力互等定理剪应力互等定理

6、: 在相互垂直的两个平面上在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。时指向或背离两平面的交线。 其中，比例常数其中，比例常数G G 称为切变模量。常用单位称为切变模量。常用单位GPaGPa G 剪切弹性模量剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量材料常数：拉压弹性模量E 泊松比泊松比 对于各向同性材料对于各向同性材料,可以证明可以证明:E、G、 三个弹三个弹 性常数之间存在着如下关系性常数之间存在着如下关系 G E 2 1 () 6-4 圆轴扭转切应力圆轴扭转切应力 一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时

7、横截面上的应力 变形几何关系变形几何关系 从三方面考虑：物理关系从三方面考虑：物理关系 静力学关系静力学关系 观察到下列现象观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距 离没有变化离没有变化 (2)纵向线仍为直线纵向线仍为直线, 但都倾斜了同一角度但都倾斜了同一角度 （3）表面方格变为平行四边形。）表面方格变为平行四边形。 1.变形几何关系变形几何关系 平面假设：平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它 像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。 d ddrx

8、x r d d ddx d dx x r d d 在圆轴表面 横截面上距形心为的任一点处应变 根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时的剪切比例极限时 G 剪应力方向垂直于半径剪应力方向垂直于半径 2. 物理关系物理关系 G x d d 3.静力学关系静力学关系 dA dA o A ATd A G x AT d d d G x AT A d d d 2 令 IA p A 2 d则 d d x T G I p IA p A 2 d极惯性矩 d d x T G I p G x d d max max T I p G T G I p T I p p

9、W T 抗扭截面模量 max p p I W pp W T I T max max max d o IA p A 2 d 下面求极惯性矩和抗扭截面模量IW pt 2 0 2 2d d/ 2 3 0 2 d d/ 2 2 4 4 d d 4 32 max p p I W I d p 2 d 3 16 IA p A 2 d 对于空心圆，外径为 ，内径为Dd 2 2 2 2d d D / / ()Dd 44 32 max p p I W I D p 2 D 3 4 16 1 () D 44 1 32 () 极惯性矩： 实心圆： I d p 4 32 空心圆：I DdD p () () 444 4 3

10、232 1 抗扭截面模量： 实心圆： 16 3 d Wp 空心圆：)1 ( 16 4 3 D Wp 例例1：内外径分别为：内外径分别为20mm和和40mm的空心圆截面轴，的空心圆截面轴， 受扭矩受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A点的剪应力及点的剪应力及 横截面上的最大和最小剪应力。横截面上的最大和最小剪应力。 圆轴扭转时截面上的应力计算圆轴扭转时截面上的应力计算 解：解： A A p T I 10000015 004 32 105 4 4 . . (.) 6366.MPa p W T max 1000 004 16 105 3 4 . (.) 8488.MPa minma

11、x . 10 20 4244MPa 例例2：在最大切应力相同的条件下，用：在最大切应力相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆的空心圆 轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少? 解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d1 ，由，由 T d T D 1 33 4 1616 105 (.) D d1 1022 . 得：得： A A D d 空 实 2 2 1 2 4 105 4 0783 (.) . 0.8 0.8 1.192 0.8 0.512 圆轴扭转时截面上的应力计算圆轴扭转时截面上的应力计算 已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=

12、100r/min,=100r/min,最最 大切应力大切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴空心圆轴 的内外直径之比的内外直径之比 = 0.5 = 0.5。二轴长。二轴长 度相同。度相同。 求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外 直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。 解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心轴实心轴 3 1 6 16 716 2 0 045m=45mm 40 10 . .d 圆轴扭转时截面上的应力计算圆轴扭转时截面上的应力计算 例题例题3 3 7

13、 5 95499549716 2N m 100 . . x P MT n max1 3 11 16 40MPa xx P MM Wd TT 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有 弯矩弯矩 M ，又有剪力，又有剪力 Q 。 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 才能合成弯矩才能合成弯矩 只有与剪应力有关的切向内力元素只有与剪应力有关的切向内力元素 才能合成才能合成剪力剪力 所以，在梁的横截面上一般既有所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有正应力，又有 剪应力剪应力 6-5 梁的梁的弯曲弯曲正应力正应力

14、 Q M 在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素dN=dA才能才能 合成弯矩合成弯矩M，只有切向内力元素，只有切向内力元素dQ=dA才能才能 合成剪力合成剪力Q dA dAM dA dA dAQ M Q dAQ dAM 1.1.纯弯曲的概念纯弯曲的概念 梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲 6.5 6.5 梁的弯曲正应力梁的弯曲正应力 从三方面考虑：从三方面考虑： 一、变形几何关系一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的具有对称截面用较易变形的材料制成

15、的具有对称截面(如如 矩形截面矩形截面)等直梁作纯弯曲试验等直梁作纯弯曲试验: 变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 静力学关系静力学关系 2.纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 几何方面几何方面 取纯弯曲梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩取纯弯曲梁来研究。梁的任一横截面上只有弯矩M。梁。梁 在加载前先在其侧面上画两条相邻的横向线在加载前先在其侧面上画两条相邻的横向线 mm 和和 nn , 并在两横向线间靠近顶面和底面处分别画两条纵向线并在两横向线间靠近顶面和底面处分别画两条纵向线 aa 和和 bb 。 aa bb m m n n M M aa bb m m n n m mn n (a)

16、(b) M M 1. 侧面上的两纵向线侧面上的两纵向线 aa ， bb 弯成弧线；弯成弧线； 根据观察，梁变形后：根据观察，梁变形后： 横向线横向线 mm , nn 仍为直线，但相对转了一个角度且仍为直线，但相对转了一个角度且 与弯曲后的与弯曲后的 aa ，bb垂直；垂直； 3. 靠近底面的纵线靠近底面的纵线 bb 伸长，而靠近顶面的纵线伸长，而靠近顶面的纵线 aa 缩短；缩短； aa b b 梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，梁的各个横截面在变形后仍保持为平面， 并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一

17、 轴旋转了一个角度。轴旋转了一个角度。 再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间 互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或 受压的状态。受压的状态。 推论：推论： 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短， 下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤保持原来的长度，这一纵向纤 维层称为维层称为中性层中性层。 中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴 中性层中性层 中性轴中性轴

18、 横截面横截面 横截面的横截面的 对称轴对称轴 C d dx O O 中性层中性层 中性轴中性轴 中性层中性层 将梁的轴线方向取为将梁的轴线方向取为 x 轴，轴， 横截面的对称轴取为横截面的对称轴取为 y 轴轴， 中性轴取为中性轴取为 z 轴。 O x y Z C d dx O O 二、物理关系二、物理关系 胡克定理胡克定理E y E 纯弯曲梁的正应力纯弯曲梁的正应力 二、物理关系二、物理关系 E E y 正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的 正应力为零正应力为零 上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算： 1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法

19、标定； 2）式中未知，（若已知M，与M有何关系？） 三三、静力学关系静力学关系 dA A ANd MzA y A d MyA z A d 0 0 M 设中性轴为z 0d A AN E y A A d0 0d A Ay E 0 AySydA cz A 必过截面形心中性轴Z y z 横截面对Z轴的静矩 MzA y A d00d AA zydA E A y Ez 0 yz A IzydA MyAM z A d y E y AM A d z EI M 1 令： A z dAyI 2 截面对yz轴的惯性积 截面对z轴的惯性矩 由于y为对称轴、上式自然满足。 1 M EI z M y I z 中性轴过截面

20、形心中性轴过截面形心 中性层的曲率公式：中性层的曲率公式： 正应力计算公式：正应力计算公式： 1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。 2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。 3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。 横截面上的最大正应力：横截面上的最大正应力： t Z M y I 1 yyy 12 max 当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时： , c Z M y I 2 tc max W M max max M y I Z W W 称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量 max y I W z 公式适用条件：公式适用条件： 1 1）符合平面弯曲条

21、件（平面假设，）符合平面弯曲条件（平面假设， 横截面具有一根对称轴）横截面具有一根对称轴） 2 2）p p( (材料服从虎克定律）材料服从虎克定律） 解：解：（1）作弯矩图，求最大弯矩）作弯矩图，求最大弯矩 梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知所示，由图知 梁在固定端横截面上的弯矩最大，梁在固定端横截面上的弯矩最大， 其值为其值为 mN3000 2 16000 2 22 max ql M （2）求最大应力）求最大应力 因危险截面上的弯矩为负，故截因危险截面上的弯矩为负，故截 面上缘受最大拉应力，其值为面上缘受最大拉应力，其值为 MPa178Pa10178 0152. 0 106 .

22、25 3000 6 8 1 max max y I M z T 在截面的下端受最大压应力，其值在截面的下端受最大压应力，其值 为为 MPa385Pa10385 0328. 0 106 .25 3000 6 8 2 max max y I M z C 图图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度，均布载荷集度q=6kN/m； 梁由梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大。试求此梁的最大 拉应力和最大压应力。拉应力和最大压应力。 A z AyId 2 yby h h

23、d 2/ 2/ 2 bh 3 12 y yd 同理: 12 3 hb I y 惯性矩的计算惯性矩的计算 一、简单截面的惯性矩的计算 矩形： 圆及圆环：圆及圆环： 222 Ryz方程： A A z dAzRdAyI)( 222 dyyRdA 22 2 Z y 0 y dy 64 4 222 d dyyRyI R R Z (实际： 32 2 )( 4 22 22 2 d IIIdAzdAy dAzydAI zyz AA AA p ) 642 4 dI II z yz 圆环： y x D d )1 ( 64 6464 4 4 44 D dD IIII zzzy小大 D d 其中 I bh Z 3 1

24、2 I d Z 4 64 I DdD Z () () 444 4 6464 1 6 2 hb W 32 3 d W )1 ( 32 4 3 D W 二、二、组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 平行移轴公式平行移轴公式 I zi , Iyi 第第 i个简单截面对个简单截面对 z ,y 轴的惯性矩轴的惯性矩 Ixyi 组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 20 140 100 20 n i yiyII 1 n i zi zI I 1 C y z O zc yc b a y z dA y z bzz ayy A y A z AzIAyId,d 22 A y A z AzIAyI cc d,d 22 bzz

25、ayy, IyA z A 2 d A Aayd)( 2 AAA AaAyaAydd2d 22 Ia A zc 2 C y z O zc yc b a AbII c yy 2 例例 : 求求T形截面对其形心轴形截面对其形心轴 zc 的惯性矩。的惯性矩。 解：将截面分成两个矩形截面。解：将截面分成两个矩形截面。 20 140 100 20 yc zc z 1 2 截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 yc 上。上。 取过矩形取过矩形 2 的形心且平行的形心且平行 记作记作 z轴轴 。 于底边的轴作为参考轴，于底边的轴作为参考轴， 所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为 14020 1 A 8

26、0 1 y 20100 2 A 0 2 y 20 140 100 20 yc zc z 1 2 mm AA yAyA yc7 .46 21 2211 C y 20 140 100 20 z c y yc zc )7 .4680(14020 140 20 12 1 2 3 I zc )7.46(20100 20 100 12 1 2 3 I zc mIII z zz ccc 46 10 12.12 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K 1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力 2.2.C 截面上截面上最大最大

27、正应力正应力 3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力 4.4.已知已知E=200GPa， C 截面的曲率半径截面的曲率半径 FS x 90kN 90kN mkN605 . 0160190 C M 1. 求支反力求支反力 kN90 Ay FkN90 By F 45 33 Z m10832. 5 12 18. 012. 0 12 bh I MPa7 .61Pa107 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 6 5 33 Z KC K I yM （压应力）（压应力） 解：解： 例题例题1 1 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2

28、ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 2. C 截面最大正应力 C 截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I MPa55.92Pa1055.92 10832. 5 10 2 180 1060 6 5 33 Z max max I yM C C BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 3. 全梁最大正应力全梁最大正应力 最大弯矩最大弯矩 mkN5 .67 max M 截面惯性矩截面惯性矩 45 m10832. 5

29、z I MPa17.104Pa1017.104 10832. 5 10 2 180 105 .67 6 5 33 Z maxmax max I yM BA l = 3m q=60kN/m x C 1m M x m67.5kN8/ 2 ql 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 4. C 截面曲率半径截面曲率半径 C 截面弯矩截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I m4 .194 1060 10832. 510200 3 59 C Z C M EI EI M 1 作弯矩图，寻找危险截面作弯矩图，寻找危险截面 max,ma

30、x, , ct 求出求出 分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 试求该梁的最大拉应力和最大压应力。试求该梁的最大拉应力和最大压应力。 例题例题2 2 mm52 201202080 8020120102080 c y （2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 46 2 3 2 3 m1064. 7 2812020 12 12020 422080 12 2080 z I （1 1）求截面形心）求截面形心 z1 y z 52 解：解： （4 4）B B截面截面 MPa2 .27

31、Pa102 .27 1064. 7 1052104 6 6 33 max, t MPa1 .46Pa101 .46 1064. 7 1088104 6 6 33 max, c （3 3）作弯矩图）作弯矩图 kN.m5 .2 kN.m4 （5 5）C C截面要不要计算？截面要不要计算？ MPa8 .28Pa108 .28 1064. 7 1088105 . 2 6 6 33 max, t （4 4）B B截面截面 （3 3）作弯矩图）作弯矩图 MPa2 .27 max, t MPa1 .46 max, c kN.m5 .2 kN.m4 B、C截面最大拉应力比较 MPa8 .28Pa108 .28

32、 1064. 7 1088105 . 2 6 6 33 max, t MPa2 .27Pa102 .27 1064. 7 1052104 6 6 33 max, t 梁内最大正应力计算 1.关于中性轴对称的截面（圆形、矩形、工 字型等），最大拉应力和最大压应力数值相 等，均发生在弯矩绝对值最大的截面上 2.关于中性轴不对称的截面（T形、U型 等），最大拉应力和最大压应力可能发生在 最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上 本节研究等直梁横截面上的剪应力本节研究等直梁横截面上的剪应力 一、矩一、矩 形形 截截 面面 梁梁 图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用图示一矩形截面梁受任意横向荷载作用。 6.7 梁

33、弯曲时的剪应力梁弯曲时的剪应力 P 1 P 2 q(x) m m n n xdx 用横截面用横截面 mm , nn 从从 梁中截取梁中截取 dx 一段一段 。两横截面。两横截面 上的弯矩不等上的弯矩不等 。所以两截面。所以两截面 同一同一 y 处的正应力也不等。处的正应力也不等。 m mn n Q Q M M+dM dx m mn n dx （1）推导公式的思路）推导公式的思路 （2）两个假设）两个假设 横截面上距中性轴等远的各点处横截面上距中性轴等远的各点处剪应力剪应力大小大小 相等相等。 各点的剪应力方向均与各点的剪应力方向均与剪力剪力Q平行平行。 （3）公式推导）公式推导 假设假设 mm

34、 , nn上的弯矩为上的弯矩为 M和和 M+dM 。 两截面上距中性轴两截面上距中性轴y1处的正应力为处的正应力为 和和 y 1 2 m b b m b1 a1 a dx (1) 取图取图 示分离体，进行受力分析示分离体，进行受力分析 y d c d c z y 1 dA y1 B A B A n m m1 dx dQ A* 1 N 2 N （2）公式推导）公式推导 假设假设 m-m , n-n上的弯矩上的弯矩 为为 M和和M+dM 。两截面上。两截面上 距中性轴距中性轴y1处的正应力为处的正应力为 1 和和 2 A B B1 A1 m n m x z y y N2 A N1 dQ dA y1

35、 dA N A *11 dAy I M dA A* I z My A* z 1 1 S I M * z z S I dMM dAy I dMM dA N * z A* zz A* 1 22 dA 1 S I M dA Nz z A * *11 S I dMM dA Nz z A * *22 式中：式中： A z dAy S* * 1 为面积为面积 A* 对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。 A*为距中性轴为为距中性轴为 y 的横线的横线 以外部分的横截面面积以外部分的横截面面积 A B B1 A1 m n m x z y y 2 N A N1 dQ dA y1 dA 1 A* MM I S M I

36、 Sb x z z z z d d * S I b M x z z * d d QS I b z z * dxbNN 12 1 N 2 N 式中：式中： Iz 整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩 b矩型截面的宽度矩型截面的宽度 Sz * 距中性轴为距中性轴为 y 的横线以外部分的的横线以外部分的 横截面面积对中性轴的静矩横截面面积对中性轴的静矩 其方向与剪力其方向与剪力 Q 的方向相同的方向相同 Z b Q I S z z * A* y （4）剪应力沿截面高度）剪应力沿截面高度 的变化规律的变化规律 2 4 2 2 2 22 0 * * y hb y h yy h b yA

37、zS 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与坐标与坐标 y之间的关系确定之间的关系确定 bI QS z z * （3）静矩）静矩 Sz* 的计算的计算 Z y A * y 0 y0 b h/2 h/2 可见可见 ，剪应力沿截面高度按抛物线规律变化。，剪应力沿截面高度按抛物线规律变化。 max z S * 2 h y （即在横截面上距中性轴最远处（即在横截面上距中性轴最远处) 0 式中式中 ， A = b h , 为矩形截面的面积为矩形截面的面积 。 bh Q h b h Q I h Q z 2 3 12 8 8 3 22 max ( 即在中性轴上各点处）即在中性轴上各点处） ，剪应力

38、达到最大值，剪应力达到最大值y = 0 )(y h I Q Z 2 2 4 2 A Q 2 3 max 二二 、工字形截面梁、工字形截面梁 d Q I S z z * = t o y h b xd z Sz * 距中性轴为距中性轴为 y 的横的横 线以外部分的横截面面积线以外部分的横截面面积 对中性轴的静矩对中性轴的静矩。 A * d 腹板的厚度腹板的厚度 d Q I S z z * =o z y dx y A * o z y max 最大剪应力也在中性轴上最大剪应力也在中性轴上。 这也是整个横截面上的最这也是整个横截面上的最 大剪应力。大剪应力。 腹板上的剪应力沿腹板高腹板上的剪应力沿腹板高 度按二次抛物线规律变化度按二次抛物线规律变化 max min o max z y max min d Q I S z z * max max = 式中式中 Sz * max 中性轴任一边的中性轴任一边的 半个横截面面积对中性半个横截面面积对中性