复合材料细观力学-1

1、复合材料细观力学(1) 哈尔滨工业大学 梁 军 第一章 绪 论 l定义：根据国际标准化组织为复合材 料所下的定义，复合材料是由两种或 两种以上物理和化学性质不同的物质 组成的一种多相固体材料。 l连续体：基体 l分散体：增强材料 l两相之间存在界面相 l复合材料的分类 l按增强相材料形态分类 l连续纤维复合材料 l短纤维复合材料 l晶须增强复合材料 l颗粒增强复合材料 l编织复合材料 l按纤维种类分类 l玻璃纤维复合材料 l碳纤维复合材料 l有机纤维复合材料 l金属纤维复合材料（钨丝、不锈钢丝） l陶瓷纤维复合材料（硼纤维、碳化硅纤维） l混杂纤维复合材料（两种以上纤维） l按基体材料分类 l

2、聚合物基复合材料（热固性、热塑性树脂） l金属基复合材料（铝、钛、镁） l无机非金属基复合材料（陶瓷、水泥） l碳碳复合材料 l按材料作用分类 l结构复合材料 （卫星承力筒） l功能复合材料 （导电、换能、防热） 复合材料的基本特点 l共同特点： l可综合发挥各种组成材料优点，使一种材料 具有多种功能 l可按对材料性能需要进行材料的设计和制造 l可制成所需要任意形状产品，避免多次加工 工序 l一般优点： l比强度、比刚度、轻质、耐疲劳、减震性好、 抗冲击、耐高温、耐腐蚀等等 3D knitted composites for bicycle helmets (a) cylinder and f

3、lange; (b) egg crate structures; (c) turbine rotors woven by Techniweave Inc.; and (d) various l复合材料性能和损伤破坏规律取决于 l组分材料性能 l微细观结构特征 * ,j klijklj klijkl CC l复合材料结构设计 l复合材料本身是非均质、各向异性材料， 因此复合材料力学在经典非均匀各向异性 弹性力学基础上迅速发展。复合材料不仅 是材料，更确切的说是结构 l以纤维增强的层合板结构为例，复合材料 设计可分为三个阶段： 1、单层材料设计，选择增强材料、基体材 料、配比关系 l2、铺层设计

4、铺层方案 l3、结构设计 产品结构的形状、尺寸、使 用环境 分析角度 l复合材料具有非均匀性和各向异性 特点，这种差别属于物理方面 l弹性模量、拉压强度、剪切强度、 热膨胀系数等 l复合材料细观力学的核心任务 l建立复合材料宏观性能同其组分性能及其细观结构之 间的定量关系，并揭示复合材料结构在一定工况下的 响应规律及其本质，为复合材料优化设计、性能评价 提供必要的理论依据及手段。 l追溯到19世纪爱因斯坦关于两种不同介电性能的电介 质组成的复合电介质等效介电常数预报问题。 l50年代-70年代 l80年代快速发展 l90年代不可缺少 参考教程参考教程 l杜善义、王彪杜善义、王彪 复合材料细观力

5、学复合材料细观力学科学出版社科学出版社 19971997 lMura T. Micromechanics of defects in Mura T. Micromechanics of defects in solids. 1987solids. 1987 l杨卫杨卫 宏微观断裂力学宏微观断裂力学国防工业出版社国防工业出版社 19951995 l基础教程基础教程 弹性力学弹性力学、复合材料力学复合材料力学 复合材料有效性能复合材料有效性能 l有效弹性模量的影响因素 l组分材料的弹性常数 l基体基体 - -各向同性各向同性 l纤维纤维 - -横观各向同性横观各向同性 l微结构特征 l夹杂形状（纤

6、维、颗粒、晶须、孔洞、裂纹）夹杂形状（纤维、颗粒、晶须、孔洞、裂纹） l几何尺寸、分布几何尺寸、分布 l体积含量体积含量 l等等等等 成熟的细观力学方法成熟的细观力学方法 lEshelby 等效夹杂理论 l自洽理论（自相似理论） lMori-Tanaka方法（背应力法） l微分法 lHashin 变分原理求解上下限方法 l其他方法 复合材料有效弹性模量定义复合材料有效弹性模量定义 l两类均匀边界条件 jiji jiji nsT xsu 0 0 )( )( 在均匀边条作用下，除边界点附近可能有扰动存在， 统计均匀复合材料应力场和应变场也是统计均匀的。 即，代表性体积单元内场量=复合材料体积平均值

7、 klijklijklijklij SC * l证明 00 , 0 , 0 00 00 )( 2 1 ),(),( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 i V i V ijji V ijji s ijji ijji sV ijij VdV dVxx dVxx dsnxnx dsnunudVV 1)( 1 0 1 000 1 0 0 0* n r r n r r klijkl r ijklrklijkl n r r ijrijklijkl ffCCfC ffC 式中上标0代表复合材料基体相，r代表复合材料第r类增强相 n r r klijkl r ijklrklijkl n r r ijrijk

8、lijkl SSfS ffS 1 000 1 0 0 0* )( l利用散度定理可以证明复合材 料的应变能和余能分别是 dVSdVU dVCdVU klijijkl V ijijc klijijkl V ijij 00* 00* 2 1 2 1 2 1 2 1 第二章 复合材料有效性能 l第一节 Eshelby等效夹杂理论 1957年Eshelby在英国皇家学会会刊 发表了关于无限大体内含有椭球夹杂弹性 场问题的文章，证明了在均匀外载作用时， 椭球夹杂内部弹性场亦均匀。（椭圆积分 形式） 2.1Eshelby相变问题 将应变分解为两部分 * ijijij e 根据虎克定律，弹性体应力场 )(

9、* klklijklij C 扰动应变扰动应变 本征应变本征应变 将上式代入平衡方程0 , jij V jimklmjkl V imjklmjkli xdVxxGC xdVxxGCu ) () ,( ) () ,( , * * , 分布体力问题 ) ,(xxG im 利用格林函数方法和高斯定理： 格林函数，表示在x处沿方向作 用单位集中力，点x处产生的位移i分量 )( 2 1 ,ijjiij uu 上述位移对应的应变场（几何方程） ) () () , ( * ln, * xxdVxxGCC in mnmkjiijklpqmnpq ) ,( ln, * dVxxGCC out mkjiijklp

10、qmnpq * klijklij S 得到各向同性介质椭球体中，存在 0 )1(15 )54( )1(15 )51( )1(15 57 313123231212 331122331122 333322221111 321 其余分量为 SSS SSS SSS aaa S是四阶Eshelby张量，与材料性能和夹杂形状 有关，具有椭圆积分形式，并可推广到各向异 性介质和本征应变不均匀情况。对于特殊形状 夹杂，可以写出解析表达式： l对于球形夹杂，具有下列形式： outC inC klklijklijij klklklijklijij )( )( 000 *000 2.2 等效夹杂原理 由于椭球夹杂存

11、在，则 * ij 假定远场受均匀应力作用，椭球夹杂内场均 匀，给定一均匀本征应变 * *00 010) 1 ( 0000 ) ( ) ( ) ( S C C C 已知 在夹杂中 在基体中 ）（ 无夹杂存在 000 000 010 )( )( klijklij klklijklijij klklijklijij C outC inC *000 *000 )1()0(0 )() ( )() ( )1( ISfCC fCC ff 作业：求解复合材料内部弹性场作业：求解复合材料内部弹性场 l第二节 Mori-Tanaka方法 1973年Mori and Tanaka在研究弥散 硬化材料的加工硬化问题时

12、，提出求解材 料内部平均盈利的背应力法，即Mori- Tanaka方法 l设给定复合材料在其边界上受到远场均匀应 力场作用 001110* *0001 * )()( )()( CCSCISC CC S klklklijklklklijkl mnijmnij 联立求解 已知 复合材料的体积平均应力应等于其远场作用的 均匀应力 *0 )( ISfCf 10* 0 1 0 *0)1()0( )( )( )1( fAICC CfAI fff 复合材料等效弹性模量 补充方程 )()1 ()( 101010 0* CCSffICCCA A * )( ISf 复合材料内部体平均应变场 )( )( )()(

13、1 2 * * * 1 1 1 * IS ISCC CCCISCC mf mffmf 算例：含缺陷纤维复合材料热膨胀系 数预报 l含圆币型基体裂纹的单向复合材料，假定定 向分布的微裂纹垂直于纤维方向 T T mcom com / 胀系数作用下，复合材料热膨在温差 将（4）是代入（1，3）式中 * 2 2* 1 *2 * * 0) ( )( ) () ( SS C T CC m mf mf 已知 在圆币型裂纹夹杂中 配应变是纤维与基体之间热失 在纤维夹杂中 * 1 * 1 )(SLLL pt 复合材料体平均应变场 * 1 pt * 22 * 11 *2 2 * 1 )()( 0)()( ISfI

14、Sf ff 平衡（背应力法）得：由材料内部扰动应力自 l第三节 复合材料性能的自洽理论 50年代，Hershey and Kroner研究多 晶体材料的弹性性能时，先后提出了Self- consistent method . 思想：在计算夹杂内部应力场时，为了考 虑其他夹杂的影响，认为夹杂单独处于一 有效介质中，而夹杂周围有效介质的弹性 常数就是复合材料的弹性常数。 在远场均匀应力作用下，夹杂内应力为： LLLPLSSILSL 1* )()( 为了表征夹杂外部材料对夹杂变形的约束 作用，Hill引入一个约束张量使其满足： )()( )()( ) ( 1 ) ( 1 1 22 * 1 1 11

15、* 1 * 2121 ISfISCC CCCISCCff dV V dV V dV V mf mffmf vvvvv 夹杂中的应变 * 1 )()(ISLL pt 得由 222111 2 * 2 1 * 1 , )( )( LL L L 对于两相复合材料夹杂与基体中平均应力、应变： klijklijklijklij SC * 约束张量满足系列关系 0)()( )( 0)()( 0)()( 222111 2211 2211 2211 LfLf ffLL ff ff N r rr rr rr N r N r rrrrr N r rr N r rrr N r rrrrrr N r rr I N r

16、N r I rrrr LLLfL LLALL LLPIALLP LAfALLf IAfALfL AfAAA AfAff 1 * 0 11* 0 0 * 0 * 0 1 00 1 0 * 00 1 *1 1 * 0 11 1 1 1 1 11 )( ) ()(,)( )()( )( )( )( 简化上式 （恒等变换 自洽理论）其中 根据 比较与 为复合材料体平均应变场 lBudiansky指出，当离散相为空洞时，按自洽 理论计算的等效剪切模量 f f V V VfVfVdffV 1 )( 0 00 整理得 原因：仅考虑了单夹杂与周围有效介质的作用，而 当夹杂体积分数或裂纹密度较大时，预报的有效弹

17、 性模量过高（含硬夹杂）或过低（含软夹杂），特 别是夹杂与基体弹性模量相差较大时，等明显。随 机取向微裂纹密度=9/16，有效杨氏模量=0 lKerner提出广义自洽模型 l上海交通大学 罗海安 三相模型 夹杂 基体基体 等效介质等效介质 合理原因： 考虑夹杂、基体壳和有效介质相互作用，比重平衡 广义自洽理论放宽了相介质之间界面约束 缺点：解题难度增加 l第四节 微分法 1952年, Roscoe研究悬浊液体性质时提出微分 等效介质概念，设某一时刻复合材料增强相体积比率 f，等效模量L，经过一个取出与添入过程后，f增至 f+df，L增至L+dL 01 1 1 1 1 )( )( VVALLL

18、LLSLIA AA 为应变集中因子张量 由上节已知夹杂应变 0 0 1 0 0 1 )( 1 1 )( 1 1 0 SS BSS fdf dS LL ALL fdf dL f f f 初始条件 柔性张量 初始条件 注意：在取出与添入dV时，取出部分中含有体积为fdV的 增强相材料，添入dV后复合材料实际的增强相材料为： V VVV VVV dVLLVL dVL V dVL V dV V dV V LL )(1 11 11 )( 10 1 00 00 0 0 确定等效弹性模量的微分方程 )/()(1 (1 )( 3 4 1 * 001 01 0 0 0 0 * 1 * 1 * 1 KKKKf K

19、Kf KK KK GKK KK KK KK f KK df dK f 求解边界条件 引入的约束张量， 为增强相体模量，为复合材料体积模量， 其中, A,B均可由自洽模型确定 算例 l对于各向同性球形颗粒增强复合材料，微分方程为： 模量、体积分数相材料体积模量、剪切为第if GK GfGKfK iii N i i iV N i iiV , , 0 * 0 * l第五节 复合材料有效性能的上、下限 5.1 Voigt and Reuss上下限 1889年，Voigt根据晶体内常应变假设研究 了多晶体有效模量问题。 Voigt等应变假设和Reuss等应力假设 混合律基础 复合材料各组成相都是各向同性

20、材料 给定远场应变，由Voigt假设有 )( )( ), 0 * 0 0 * rrrrrrrr rrr r LLV LL V onpolarizatiL 内的平均值，在是 内有：是分片均匀的，在体积设 体力有关它与比较材料内的分布 称为应力极化张量（ 给定远场应力，由Reuss假设有 VS klijijklc 00* 2 1 uVoigt and Reuss假设适用于长纤维复合材料沿纤维方向的拉伸 刚度，分别对应真实解的上下限 证 明 复合材料代表性单元内力势能为：复合材料代表性单元内力势能为： v N r r ijklrijkl v ijklklij v ijklv CCdvC v CVC

21、0 ) (00 1 2 1 根据等应变假设，势能根据等应变假设，势能Voigt近似值为近似值为 0)( 2 1 00* klij v ijklijkl CC 根据最小势能原理，有根据最小势能原理，有 v ijklijkl CC * N r r ijklr vijkl R ijklklij R ijklR SCdvS v SVS 0 ) (00 1 2 1 复合材料代表性单元余能为：复合材料代表性单元余能为： V ijklijkl R ijkl R ijklijkl CCCSS * 复合材料平均应变，复合材料等效弹性模量 L dVLVL N r V r r 1 2 1 2 1 根据等应力假设，余

22、能根据等应力假设，余能Reuss近似值为近似值为 根据最小余能原理，有根据最小余能原理，有 VC klijijkl 00* 2 1 5.2 Hashin and Shtrikman上下限 1963年Hashin and Shtrikman对于各向异性均 匀体采用变分法研究了材料应变能的极值条件。 设有一n相统计均匀各向同性复合材料，它的第r 相体积与弹性模量分别为Vr ,Lr (r=1,2,3.n)。 取一均匀的各向同性比较材料，弹性模量为L0, 只要在该比较材料中作用适当分布体力，复合材 料的弹性场就可以在该比较材料中实现，作用应 变的边界条件，应力场为： 1 0 * 0 1* )()( N i i i R N i i i R G f G K f K 根据最小势能原理，任意给定位移边条应变情况下 N r rrr N r V rrr N r rrrrr N r V rrr N r rrrr V ALfL dVLL V LL IAfAA dVLLLVVL dV r r 1 1 0 1 1 0 1