耦合电感与理想变压器

1、第八章第八章 耦合电感和理想变压器电路分析耦合电感和理想变压器电路分析 8.1 耦合电感元件耦合电感元件 8.2 耦合电感的连接和去耦等效耦合电感的连接和去耦等效 8.3 含耦合电感电路的时域分析含耦合电感电路的时域分析 8.4 含耦合电感电路的正弦稳态分析含耦合电感电路的正弦稳态分析 8.5 空芯变压器电路的正弦稳态分析空芯变压器电路的正弦稳态分析 8.6 理想变压器理想变压器 8.7 含理想变压器的电路含理想变压器的电路分析分析 理想变压器理想变压器 耦合电感耦合电感 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 耦合电感和理想变压器是耦合电感和理想变压器是R、L、C之外的另两之

2、外的另两 种理想电路元件，是从实际耦合线圈和实际变压器种理想电路元件，是从实际耦合线圈和实际变压器 抽象出来的。二者都属于二端口元件（或四端元抽象出来的。二者都属于二端口元件（或四端元 件），为无源、线性元件。件），为无源、线性元件。 本章介绍这两种理想元件的特性，以及含两种本章介绍这两种理想元件的特性，以及含两种 元件的电路的分析。元件的电路的分析。 当当2个或多个电感线圈位置较近时，一个线圈中的个或多个电感线圈位置较近时，一个线圈中的 感应磁场会穿越其他线圈，结果不仅在本身内部产生感应磁场会穿越其他线圈，结果不仅在本身内部产生 感应电压（自感电压），也会在其他线圈中产生感应感应电压（自感电

3、压），也会在其他线圈中产生感应 电压（称为互感电压）。电压（称为互感电压）。 对于电感元件来说，不希望这种互感现象。然而，对于电感元件来说，不希望这种互感现象。然而， 专门利用互感现象制成的元件也有重要应用，包括互专门利用互感现象制成的元件也有重要应用，包括互 感元件和变压器。感元件和变压器。 本节先介绍互感元件，也称耦合电感。本节先介绍互感元件，也称耦合电感。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 8.1 8.1 耦合电感元件耦合电感元件(coupled inductor) 下图示例一个实际耦合线圈。在磁环上用漆包 线绕制1个线圈，形成耦合电感线圈。 第八章第八章 耦合电感

4、与理想变压器耦合电感与理想变压器 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 理想耦合电感元件是实际耦合线圈的理想化模理想耦合电感元件是实际耦合线圈的理想化模 型，即一种理想电路元件。与线性电感一样，耦合型，即一种理想电路元件。与线性电感一样，耦合 电感是一种动态元件。电感是一种动态元件。 耦合电感线圈是根据电感线圈间的磁耦合互耦合电感线圈是根据电感线圈间的磁耦合互 感现象制成的。根据物理学的知识，两个靠近的电感感现象制成的。根据物理学的知识，两个靠近的电感 线圈，当一个线圈流过变动电流时，除了在此线圈两线圈，当一个线圈流过变动电流时，除了在此线圈两 端产生感应电压端产生感应电压(

5、称为自感电压称为自感电压)之外，在另一个电感之外，在另一个电感 线圈两端也将产生感应电压，这种现象称为线圈两端也将产生感应电压，这种现象称为互感现象互感现象。 所产生的感应电压称为所产生的感应电压称为互感电压互感电压。这时说两线圈发生。这时说两线圈发生 了了磁耦合磁耦合(magnetic coupling)。 图8.1-1 耦合线圈 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 一、电感线圈间的磁耦合：一、电感线圈间的磁耦合： 先来讨论与电感线圈之间的磁耦合，即互感现象，先来讨论与电感线圈之间的磁耦合，即互感现象， 以及相关的概念。以及相关的概念。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器

6、耦合电感与理想变压器 当线圈当线圈1通以电流通以电流i1、线圈、线圈2开路时开路时：在线圈：在线圈1中产生中产生 自感磁通自感磁通11，其中有一部分也穿过线圈，其中有一部分也穿过线圈2，记为，记为21，称为，称为 互感磁通互感磁通。显然有，。显然有， 2111 (8.1-1) 电流i1(称为施感电流施感电流)在线圈1、线圈2中产生的自感磁通 链和互感磁通链分别为 对于线性耦合电感，自感和互感磁通链都正比于电流i1， 1111121221 NN 111 12121 1 LiM i(8.1-3) (8.1-2) 式中L1为线圈1的自感系数，M21是互感系数，单位也是亨利。 1. 1. 互感系数：互

7、感系数： 电流的参考方向与磁 通的参考方向符合右 手螺旋法则 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 同理，同理，当线圈当线圈2通以电流通以电流i2、线圈、线圈1开路时开路时：在线圈：在线圈2 中产生中产生自感磁通自感磁通22，其中有一部分也穿过线圈，其中有一部分也穿过线圈1，记为，记为12， 称为称为互感磁通互感磁通。同样有，。同样有， (8.1-4) 电流i2(亦称施感电流)在线圈2、线圈1中产生的自感磁通 链和互感磁通链分别为 对于线性耦合电感，自感和互感磁通链都正比于电流i2， (8.1-6) (8.1-5) 式中L2为线圈2的自感系数，M12是互感系数，单位是亨利。

8、1222 2222212112 NN 222 21212 2 L iM i 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 21 21 1 12 12 2 M i M i 式(8.1-3)和(8.1-6)中的互感系数可写为 可以证明： (8.1-7) 1221 MM 对只有两个线圈的耦合电感，互感系数统一用 M表示， 1221 MMM(8.1-8) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 2. 2. 耦合系数：耦合系数： 耦合系数用于描述两个线圈相互耦合的紧密程 度。定义为 (8.1-9) 1221 1122 k 将式(8.1-3)、(8.1-6)代入上式，有 12 2

9、21 1 1 12 2 12 M i M iM k LiL iL L (8.1-10) 定义式 计算式 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 从k定义式，可得 12211221 11221122 k 由于1222, 2111， 所以 01k (8.1-11) k的大小取决于两线圈的位置和取向。 k k=1=1称为称为全耦合全耦合； k k近于近于1 1时称为时称为紧耦合紧耦合； k k值较小时称为值较小时称为松耦合松耦合； k k=0=0时为时为无耦合无耦合，即两个独立的电感元件。，即两个独立的电感元件。 21L LM 从式(8.1-10)和(8.1-11)，有 (8.1-1

10、2) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 3. 3. 互感电压：互感电压： 若施感电流若施感电流i1是交变的是交变的，则除了在线圈，则除了在线圈1两端产生自感两端产生自感 电压电压u11之外，还将在线圈之外，还将在线圈2两端产生互感电压两端产生互感电压u21， 111211 11121 ddiddi uLuM dtdtdtdt (8.1-13) 注意，注意，u21的参考方向与的参考方向与21成右手螺旋法则。成右手螺旋法则。 当采用关联的电压、电流参考方向 时，电压的参考方向(亦即绕组中电 压降的参考方向)与磁通的参考方向 也符合右手螺旋法则 同理，同理，若第若第2个线圈通以

11、交变电流个线圈通以交变电流i2，亦在第，亦在第1个线圈个线圈 两端产生互感电压两端产生互感电压u12， 222122 22212 ddiddi uLuM dtdtdtdt (8.1-14) u12与与12 12成右手螺旋法则。 成右手螺旋法则。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 1.1.磁通链方程：磁通链方程：当两个线圈同时加有施感电流i1和i2 时，则耦合电感线圈中的磁通链等于自感磁通链和 互感磁通链两部分之代数和。以图8.1-2所示两种情 况为例。 一般情况，两个线圈同时加有施感电流i1和i2。这 时每个线圈中的总磁通链和总电压与施感电流之间的 关系即磁通链方程和伏安

12、特性方程。 二二. .耦合电感的磁通链方程和伏安特性耦合电感的磁通链方程和伏安特性(VCR) (VCR) 同名端同名端 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 图8.1-2 磁通相助和磁通相消的耦合电感 12221222 21112111 MiiL MiiL 111121 12 222212 21 LiMi L iMi 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 1112111 12 22122212 2 LiMi MiL i 或 “”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，互感起号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，互感起“增强增强”作作 用；用；“”号表示互感磁通

13、链与自感磁通链方向相反，互感起号表示互感磁通链与自感磁通链方向相反，互感起“削弱削弱” 作用。作用。 、号的选择取决于两线圈中通入的电流的方向及各线圈绕向。、号的选择取决于两线圈中通入的电流的方向及各线圈绕向。 (8.1-15) 图图a中二施感电流中二施感电流i1、i2在对方线圈内部产生的互感磁通与在对方线圈内部产生的互感磁通与 自感磁通方向相同，磁通增强，称为自感磁通方向相同，磁通增强，称为磁通相助磁通相助；图；图b中二施感中二施感 电流电流i1、i2在对方线圈内部产生的互感磁通与自感磁通方向相在对方线圈内部产生的互感磁通与自感磁通方向相 反，磁通削弱，称为反，磁通削弱，称为磁通相消磁通相消

14、。二线圈内部总磁通链分别如。二线圈内部总磁通链分别如 上二式所示。上二式所示。 或写为或写为 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 2. 2. 耦合电感的耦合电感的VCRVCR方程：方程： 如果两线圈都有施感电流如果两线圈都有施感电流i1、i2且都是随时间变化的，则两且都是随时间变化的，则两 个线圈中会有感应电压，每个线圈的感应电压包括自感电压和个线圈中会有感应电压，每个线圈的感应电压包括自感电压和 互感电压两部分。互感电压两部分。 若各线圈的电压、电流均采用关联参考方向若各线圈的电压、电流均采用关联参考方向，则根据电磁，则根据电磁 感应定律，由磁通链方程可得感应定律，由磁通

15、链方程可得 112 11 221 22 ddidi uLM dtdtdt ddidi uLM dtdtdt 这就是理想耦合电感线圈的伏安关系式。这是两个联立的线性微这就是理想耦合电感线圈的伏安关系式。这是两个联立的线性微 分方程组，表明了分方程组，表明了u1不仅与不仅与i1有关，也与有关，也与i2有关。同样，有关。同样，u2也如此。也如此。 这两式体现了线圈间的耦合作用。由此可见，理想耦合线圈，即这两式体现了线圈间的耦合作用。由此可见，理想耦合线圈，即 耦合电感用三个参数耦合电感用三个参数L1、L2、M来表征来表征。 (8.1-16) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 上

16、两式都表明上两式都表明每个线圈的电压是自感电压和互感电压每个线圈的电压是自感电压和互感电压 的叠加的叠加。当。当i2=0时，时，(8.1-16a)式即与式即与(8.1-13)完全相同。完全相同。 而而i1=0时，时，(8.1-16b)式与式与(8.1-14)式完全相同。式完全相同。 必须着重指出，互感电压项的正负，取决于这一必须着重指出，互感电压项的正负，取决于这一 线圈中互感磁通与自感磁通的参考方向是否一致而定。线圈中互感磁通与自感磁通的参考方向是否一致而定。 而这两者是否一致又要取决于两线圈的相对位置、绕而这两者是否一致又要取决于两线圈的相对位置、绕 向和电流的参考方向。但在实际情况下，线

17、圈往往是向和电流的参考方向。但在实际情况下，线圈往往是 密封的，不能看到具体的情况，并且，要在电路图中密封的，不能看到具体的情况，并且，要在电路图中 给出线圈绕向也很不方便。为此，引入同名端。给出线圈绕向也很不方便。为此，引入同名端。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 当电流分别从两线圈各自的某端同时流入当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出或流出)时，时， 若若两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端。 当给某一线圈施加可变电流而另一线圈开路时，每个线当给某一线圈施加可变电流而另一线圈开路时，每个线 圈上

18、均有一感应电压圈上均有一感应电压(一个自感电压、一个互感电压一个自感电压、一个互感电压)，这，这两个两个 电压实际极性的高电压实际极性的高(或低或低)电位端称为同名端电位端称为同名端。 or 若施感电流为一正的且为增长的电流若施感电流为一正的且为增长的电流(则自感电压正极性则自感电压正极性 在电流进端，故可定义在电流进端，故可定义)，施感电流的进端与互感电压的正极施感电流的进端与互感电压的正极 性端构成同名端性端构成同名端。 同名端用标志同名端用标志“”或或“*”等符号表示。等符号表示。 3. 同名端同名端(corresponding terminals)： 从磁通角度定义 从感应电压角度定义

19、 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 图8.1-3 互感线圈的同名端：a.磁通相助情况 b.磁通相消情况 dt di M dt di Lu dt di M dt di Lu 12 22 21 11 dt di M dt di Lu dt di M dt di Lu 12 22 21 11 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 u2u1 i1i2 L1L2 M 由于同名端反映了两线圈间互感电压与电感电流 之间的对应关系，因此在电路图中就不需要画出线圈 的绕向和磁芯的结构。耦合电感用图8.1-4表示。 图8.1-4 耦合电感的电路符号 dt di M dt d

20、i Lu dt di M dt di Lu 12 22 21 11 对应的VCR方程为 (8.1-17) 此式是在各线圈电流电压为关 联参考方向，二电流由同名端 流入的情况下，写出的。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 图8.1-5 互感线圈同名端的测定 同名端的测定：同名端的测定： 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 实验：耦合线圈初次级波形的观测 在环形磁芯上用漆包线绕一个耦合电感，初级60匝， 次级30匝，如图所示。 在初级加上999kHz正弦信号，用示波器观察到正弦波形。 在耦合电感的次级上，可以观察到正弦波形，其幅度约为 初级电压的一半。 用

21、双踪示波器可以同时观察耦合电感初级和次级线圈上的 正弦电压波形，它们的相位是相同的。 当我们改变次级线圈的绕向时，耦合电感初级和次级 线圈上电压波形的相位是相反的。 为了区别这两种情况，需确定耦合电感的同名端，图示耦 合电感线圈的两个红色(或绿色)端钮是一对同名端。当初次 级电压参考方向的正极都在同名端时，它们的相位相同。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8.1-1 图图8.1-7(a)所示电路，已知所示电路，已知R1=10，L1=5H, L2=2H, M=1H，i1(t)波形如图波形如图8.1-7(b)所示。试求电流源两端所示。试求电流源两端 电压电压uac(t)

22、及开路电压及开路电压ude(t)。 图8.1-7 例8.1-1用图 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 解解 由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R2上电压为零， L2上自感电压为零，L2上仅有电流i1在其上产生的互感电压。 这一电压也就是d , e开路时的电压。根据i1的参考方向及同名 端位置，可知 dt tdi Mtude )( )( 1 dt tdi Ltubc )( )( 1 1 dt tdi LtiRtututu bcabac )( )()()()( 1 111 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 在0t1 s时, Atti10)( 1 (由给

23、出的i1(t)波形写出) V dt td dt di Mtu Vttututu Vt dt d dt di Ltu VtttiRtu de bcabac bc ab 10 )10( 1)( 50100)()()( 50)10(5)( 1001010)()( 1 1 1 11 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 在1t2s时, Atti2010)( 1 在t2s时,0)( 1 ti 0, 0, 0, 0 deacbcab uuuu 1 1 1 1 1 ( )( )10 ( 1020)100200 ( )5( 1020)50 ( )( )( )100150 ( 1020) (

24、)110 ab bc acabbc de utRi tttV did utLtV dtdt utututtV didt utMV dtdt 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 0 150100 50100 )(Vt Vt tuac 0 10 10 )(V V tude 其余 st st 21 10 其余 st st 21 10 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8.1-2 图 8.1-8所示互感线圈模型电路，同名 端位置及各线圈电压、电流的参考方向均标示在 图上，试列写出该互感线圈的电压、电流关系式 (指微分关系)。 第八章第八章 耦合电感与理想变

25、压器耦合电感与理想变压器 u2u1 i1i2 L1L2 M u2u1 i1i2 L1L2 M u2u1 i1i2 L1L2 M u2u1 i1i2 L1L2 M (a)(b) (c)(d) 图 8.1-8 例8.1-2用图 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 dt di M dt di Lu dt di M dt di Lu 12 22 21 11 解解: 12 11 21 22 didi uLM dtdt didi uLM dtdt 12 11 21 22 didi uLM dtdt didi uLM dtdt 12 11 21 22 didi uLM dtdt didi

26、 uLM dtdt (a)(b) (c)(d) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 小结：小结： 线圈电压自感电压互感电压线圈电压自感电压互感电压 1、自感电压的符号由线圈自身电压、电流参自感电压的符号由线圈自身电压、电流参 考方向决定：考方向决定：线圈自身的电压与电流参考方向相 关联，自感电压取正号；两者参考方向不一致， 自感电压取负号。 2、互感电压由两个线圈电流流入方向决定：互感电压由两个线圈电流流入方向决定： 电流都从同名端流入，互感与自感同号；电流从 异名端流入，互感与自感取反号。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 三三. .正弦稳态电路中的

27、耦合电感元件正弦稳态电路中的耦合电感元件 11 12 2221 Uj L Ij MI Uj L Ij MI 在正弦稳态电路中，耦合电感的在正弦稳态电路中，耦合电感的VCR可表示为相量形式，可表示为相量形式， 根据式根据式(8.1-17)，等效电路等效电路为为(互感电压用互感电压用ccvs表示表示)， (8.1-17) 1 U 2 U 2 I 1 I 1 j L 2 j L 2 1 j L I 1 2 j L I 图8.1-6 正弦稳态下耦合电感等效电路 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 8.2 8.2 耦合电感的连接和去耦等效耦合电感的连接和去耦等效 一一. . 耦合电感

28、的串联等效耦合电感的串联等效 8.2-1 互感线圈顺接串联及其等效电感 1.1.顺向串联：顺向串联： u2u1 L1L2 M u i u i Leq (a) (b) 耦合电感中的两个电感线圈在以下几种连接下可以进行耦合电感中的两个电感线圈在以下几种连接下可以进行 去耦等效去耦等效(并不是所有情况都能去耦并不是所有情况都能去耦)。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 由所设电压、电流参考方向及互感线圈上电压、电流关 系，得 式中 1212 12 (2) eq didididi uuuLMLM dtdtdtdt di LLM dt di L dt 12 2 eq LLLM(8.

29、2-1) 因此，两个有顺向串联的耦合电感可以用一个自感为Leq的电 感线圈等效，如图(b)。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 2.2.反向串联：反向串联： 等效电感为 12 2 eq LLLM 8.2-2 互感线圈反接串联及其等效电感 u2u1 L1L2 M u i u i Leq (a) (b) (8.2-2) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 从式(8.2-1)和(8.2-2)可见，两个无耦合电感串联时的等效 电感为 12eq LLL(8.2-3) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 二二. . 耦合电感的并联等效耦合电感的

30、并联等效 8.2-3 互感线圈同侧并联 1.1.同侧并联同侧并联 L1L2 u i M i2i1 u i Leq (b) (a) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 根据KVL，有 由耦合电感VCR (8.2-4) (8.2-5) 按照式(8.2-4)，可得 (8.2-6) 根据KCL，有 (8.2-7) 12 uuu 12 11 21 22 didi uLM dtdt didi uLM dtdt 12 12 ()()0 didi LMLM dtdt 12 iii 或 12 dididi dtdtdt (8.2-8) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器

31、(8.2-9) 将式(8.2-9)代回式(8.2-4)，可得 (8.2-10) 从(8.2-6)和(8.2-8)式可解出 12 12 21 12 2 2 diLMdi dtLLM dt diLMdi dtLLM dt 12 11 121 1212 2 12 12 ()() 22 2 eq didi uuLM dtdt L LMM LMdidi LLM dtLLM dt L LMdidi L LLM dtdt 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 2 12 12 2 eq L LM L LLM 式中 可见，两耦合电感的同测并联可等效为一个电感，如图(b)。 (8.2-11) 第

32、八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 2.2.异侧并联异侧并联 8.2-4 互感线圈异侧并联 L1L2 u i M i2i1 u i Leq (b) (a) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 两耦合电感的异测并联可等效为一个电感，如图(b)。 2 12 12 2 eq L LM L LLM (8.2-12) 从式(8.2-11)和(8.2-12)可见，无耦合时，两个电感线 圈并联的等效电感为 12 12 eq L L L LL (8.2-13) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 三三. . 耦合电感的耦合电感的T T型等效型等效 1.

33、 1. 同名端为公共端的同名端为公共端的T T型去耦等效型去耦等效 图8.2-5 同名端为共端的T型去耦等效 u2u1 i2i2 L1L2 M 1 2 3 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 dt di M dt di Lu dt di M dt di Lu 12 22 21 11 dt iid M dt di ML dt di M dt di M dt di M dt di Lu )( )( 211 1 2111 11 dt iid M dt di ML dt di M dt di M dt di M dt di Lu )( )( 212 2 1222 22 (8.2-1

34、4) (8.2-15) 根据耦合电感VCR，有 上2式可变换为 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 根据式(8.2-14)和(8.2-15)，图8.2-5(a)和(b)可等效为图c或d (c)(d) 12 3 21 3 2. 2. 异名端为公共端的异名端为公共端的T T型去耦等效型去耦等效 图8.2-6 异名端为共端的T型去耦等效 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 u2u1 i2i2 L1L2 M 1 2 3 (a)(b) dt di M dt di Lu dt di M dt di Lu 12 22 21 11 dt iid M dt di ML d

35、t di M dt di M dt di M dt di Lu )( )( 211 1 2111 11 dt iid M dt di ML dt di M dt di M dt di M dt di Lu )( )( 212 2 1222 22 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 耦合电感VCR， 变换为， (8.2-16) (8.2-17) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 (c)(d) 1 2 3 12 3 根据式(8.2-16)和(8.2-17)，图8.2-6(a)和(b)可等效为图c或d 图8.2-7 以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法

36、以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法(耦合电耦合电 感的并联可用感的并联可用8.2.3得到得到)，它们适用于任何变动电压、电流情，它们适用于任何变动电压、电流情 况，当然也可用于正弦稳态交流电路。况，当然也可用于正弦稳态交流电路。 应再次明确，无论是互感串联二端子等效还是应再次明确，无论是互感串联二端子等效还是T型去耦多型去耦多 端子等效，都是对端子以外的电压、电流、功率来说的，其等端子等效，都是对端子以外的电压、电流、功率来说的，其等 效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数、互感系数有关，而效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数、互感系数有关，而 且还与同名端的位置有关。且还与同名端的位置

37、有关。 去耦等效电路消除了原电路各电感之间的耦合，称为去耦等效电路消除了原电路各电感之间的耦合，称为去耦去耦 等效变换等效变换。替换后的电路即可作为一般无互感电路来分析、计替换后的电路即可作为一般无互感电路来分析、计 算算(即在分析电路时不必再考虑其耦合作用即在分析电路时不必再考虑其耦合作用)，这给分析互感电这给分析互感电 路带来不少方便。路带来不少方便。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8.2-1 求图8.2-8所示两个网络的等效电感。 * 4H2H 2H 1H 1H * (a) L1L2 M (b) 图8.

38、2-8 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 方法一方法一、用去耦等效电路替换求等效电感。 解：解： 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 方法二方法二、用去耦等效的方法，理解等效过程。 M12 * L1L2 M23 L3 * 1 u2 u 3 u 1 i 2 i 3 i u 12 1112 321 221223 32 3323 123 23 didi uLM dtdt dididi uLMM dtdtdt didi uLM dtdt iii uu 此外 31221 13112323 ()()(.) dididididi uuuLMLM dtdtdtdtdt

39、 eq L （a）选择3个线圈的电流和电压参考方向如图 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 12 11 21 22 22 12111 1111 22 2 1 2 0 () eq didi uLM dtdt didi uLM dtdt dididididiMM uLMLL dtdtdtLdtLdt M LL L （b）选择初级、次级线圈电流和电压参考方向如图 L1L2 M 1 i 2 i 1 u 2 u 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 方法三方法三、从正弦稳态阻抗计算求等效电感。 答案: (a)1H (b) 2 1 2 eq M LL L 第八章第八章

40、 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8.2-2 求图8.2-9所示电路的谐振谐振频率。 2 L 1 L M C 图8.2-9 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 解解 L1、L2为两线圈的反向串联，等效电感为 Leq=L1+L22M 于是端口阻抗为 2 1 / 1 eq eq eq L Zj Lj j CL C 11 11 (2) eq L CLLM C 当 时，发生并联谐振。 8.3 8.3 含互感的动态电路分析（时域分析）含互感的动态电路分析（时域分析） 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 简单情况的动态分析：初级线圈回路和刺激线圈回路独

41、立， 次级线圈开路或短路的情况。 前一种情况，初级线圈只有自感电压，次级线圈只有互感电压。 初级回路就是普通RL电路，可按三要素求解； 后一种情况可进行去耦等效。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8.3-18.3-1 如图8.3-1所示电路，t0时已处于稳态。当 t=0时开关S闭合，求t0时的开路电压u(t)。 2H4H 1H u _ 3A 6 12 S 图8.3-1 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 解： 由于4H电感始终开路，其电流为零，故2H电感中无互感 电压。 把2H电感所在电路用诺顿等效为3A电流源与2电阻并联， 利用三要素公式求解。

42、 / (0 )(0 )1 ( )3 2 /1sec 2 ( )( ) (0 )( ) 3(1 3)32 ( )2 LL L eq t LLLL tt t L iiA iA L R i tiiie eeA di u tMe V dt 例例8.3-2 图示电路原已稳定，t =0时合上开关。试求 0t 之后的电流 i(t) 。 1.5 6(1) t eA 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 去偶等效 12 11 21 22 22 12111 1111 22 2 1 2 0 () eq didi uLM dtdt didi uLM dtdt dididididiMM uLMLL d

43、tdtdtLdtLdt M LL L 1 i 2 i 1 u 2 u 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 00 00 11 , , , (0 )(0 )0, (0 )(0 ) di uLdiudtdiudt dtLL iiii 即 与其它电感无耦合的电感元件的换路关系： 与另外一个电感有耦合时的换路关系： 00 12 111211121 00 1 121 12 1 121 12 2 2 212 2 1 , , , (0 )(0 ) (0 )(0 )0, (0 )(0 )(0 )(0 ) (0 )(0 )(0 ) didi uLMLdiMdiu dtLdiMdiu dt dt

44、dtL LiMiLiMi LiMiLiMi L L iMiL iM 即 即磁通链守恒 类似的， 的初值由下式确定， 1(0 ) i 即磁通链守恒 例例8.3-2 图示电路原已稳定，t=0时开关K闭合，求 时的电流 和电压 。 1( ) i t 2( ) u t 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 2 1 2 2 1.50.9(0) 1.8(0) t t ieA t ueV t 答案： 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8.4-1 图8.4-1为含 有耦合电感的正弦稳态电 路，电源角频率为。试 写出网孔方程和节点电压 方程。 图8.4-1 8.4 8

45、.4 含互感电路的正弦稳态含互感电路的正弦稳态( (相量法相量法) )分析分析 分析含有耦合电感电路的关键是，要在电感电 压中计入互感电压，并注意其极性。 一一. .方程法：方程法： 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 解：解： 1、网孔电流方程：网孔电流方程： 列写网孔电流方程的方法是：把耦合电感的电 压也作为变量，对各网孔列KVL方程，然后补上耦 合电感的VCR， 11 11 32 22232 31 12131 : 11 : ()0 11 : ()0 LS L L lR IR IUU lRIIU j Cj C lR IIRIU j Cj C 1)对各网孔应用KVL， 第

46、八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 2)设L1、L2的电压 、 均以标记端为正极性端， 由耦合电感的VCR，有 11 312 121 3 22123 2 1223 () () L L Uj L Ij M II j MIj MIj L I Uj L IIj MI j L Ij L Ij MI 1L U 2L U 3)将 、 代入前面三式，整理后有 2L U 1L U 1212213 2 12223 112113 ()() 11 ()()0 11 ()()()0 S Rj L Ij L IRj M IU j L IRjLIjM I CC Rj M IjM IRjLI CC 第八章

47、第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 2.节点电压方程节点电压方程：把耦合电感的电流也作为变量， 对各节点列KCL，然后再补上耦合电感的VCR。 1)将 、 也作为变量，列各节点KCL方程 11 21232 11 3231 2 : 11 : () 1 : () S L L nUU nUj C Uj CUI RR nj CUj C UI R 1L I 2L I 2)耦合电感VCR（ 、 用节点电压表示） 13112 2122 LL LL UUj L Ij MI Uj MIj L I 1L U 2L U 2L U 1L U 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8

48、.4-2 正弦稳态电路如图。设电源的角频率为， 试列写网孔电流方程。 图8.4-2 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 解：解： 方法一、 1)先将 、 也作为变量列写网孔方程 1L U 2L U 112 22 1 0 LLS L RIUUU IU j C 2)根据耦合电感的VCR，并将 、 用网孔电 流表示 1L U 2L U 11 121 112 21221 2122 () () () () L L Uj L Ij M II jLM Ij MI Uj MIj L II jML Ij L I 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 3)将 、 表达式代入前

49、式，整理得 12122 2122 (2)() 1 ()()0 S RjLLMIjML IU jML IjLI C 也可写为矩阵形式， 122 1 222 (2)() 1 ()()0 S RjLLMjML IU jMLjLI C 1L U 2L U 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 方法二、由于本题耦合电感有一端相连，因此可以进 行去耦等效变换，如下图所示。 对该图列写网孔电流方程，直接可得上式结果。 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8.4-3 电路如图，试求 以及电路的输入阻抗。 1212 IIUU 、 、 图8.4-3 第八章第八章 耦合电感

50、与理想变压器耦合电感与理想变压器 网孔1、2的KVL方程为 121 122 (5075)(75)100 (75)(60075)0 jIjIU jIjIU 由耦合电感的VCR 112 212 1020 20100 UjIjI UjIjI 则网孔电流方程为： 12 12 (507510)( 7520)100 ( 7520)(60075100)0 jjIjjI jjIjjI 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 从中解出 将 代入耦合电感的VCR，得12 II 、 1 2 12.0 150.13 26.18 164.02 UV UV 1 2 1.17 49.84 0.10742.5

51、5 IA IA 电路的输入阻抗为 1 55.0365.21 S in U Zj I 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例10-4 图（a）为有耦合电感的电路，试列写电路的回路 电流方程。 例 10 4 （ b ）例 10 4 （ a ） 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 解：设网孔电流如图（b）所示，为顺时针方向，则回路方 程为： 注意：注意： 列写有互感电路的回路电流方程是，注意互感 电压的极性和不要遗漏互感电压。 1111 323 2222 3131 1231 1223132 ()() ()() 1 ()()()0 S Rj L Ij L Ij

52、M IIU Rj L Ij L Ij M IIkI j Lj LIj L Ij L Ij M IIj M II j C 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8.4-4 求图示电路的输入阻抗，设信号源角频率为。 解一、回路方程 1 12 2212 1 0 s j L Ij MIU j L Ij MII j C L1 S U L2 M C 2 I 1 I 可解得 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 1 1 2 32 121 2 2 1 () 1 s eq Uj M Zj Lj M I j L j C L LMCL j L C 解二、采用去耦等效 L1M

53、S U MC L2M 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例8.4-5 求图示正弦稳态网络的等效电感。 L1L2 M Zeq 图8.4-4 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 解解 做出原电路的相量模型如图。 设在端口处施加 ，网孔方程为 S U 1 12 122 0 S j L Ij MIU j MIj L I 1 j L 2 j L j M S U 1 I 2 I 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 可解得 2 2 1 222 1 12 2 0 S S Uj M j Lj L U I j Lj ML LM j Mj L 于是 22

54、22 12 1 122 () S eq UL LMM ZjL Ij LL 从阻抗表达式可以看出，该网络等效于一个电感线圈，等 效电感为， 2 1 2 eq M LL L 此结果与例8.2-1(b) 结果一致。 例例8.4-6 图8.4-5(a)所示互感电路，已知R1=8.5, L1=30, =22.5, R2=60, L2=60, M=30, =150V。求电流 R2上消耗的功率P2。 1 1 C s U , 21 II 图8.4-5 例8.4-5用图 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 解解： 网孔方程 111 1

55、222 1 () 0 LS L RIUU j C R IU 即 11 12 (7.522.5)15 600 L L jIU IU 由耦合电感VCR， 11 1212 222121 3030 6030 L L Uj L Ij MIjIjI Uj L Ij MIjIjI 代入前两式并整理，得网孔方程为 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 12 12 (7.57.5)3015 30(6060)0 jIjI jIjI 可解得 1 2 1530 060(1) 1 0 7.5(1)30 3060(1) 7.5(1)15 300 0.25 2 45 7.5(1)30 3060(1) j

56、j IA jj jj j j IA jj jj WRIP5 . 760)225. 0( 2 2 2 22 R2上消耗的功率 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 例例8.4-7 电路如图所示，为使负载获得最大功率最大功率，求负载阻抗。 j10k S U j10k j2k L Z 10k 解解 只要求出戴维宁等效阻抗即可。将电压源置零，如下图 j10k j10k j2k 10kI U 1 I 图8.4-6 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 列网孔方程 消去 ，可解得 1 I 1 1 (1010)20 102 jIj I jIj IU 2 100.29.8

57、k 5(1) eq U Zjj Ij 当负载阻抗为等效电源内阻抗的共扼时，获得最大功率，故 * 0.29.8 k Leq ZZj 例例8.4-8 如图8.4-7(a)所示正弦稳态电路中含有互感线圈， 已知us(t)=2cos(2t+45) V，L1=L2=1.5H, M=0.5 H，负载电阻 RL=1。求RL上吸收的平均功率PL。 图8.4-7 含有互感的正弦稳态电路 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 二二.用去耦等效分析含有互感的正弦稳态电路：用去耦等效分析含有互感的正弦稳态电路： 解：解：利用T形等效为图b电路，再做出电路b的相量模型如图c A jjjj U I sm

58、 m 022 45 2 1 452 2)2(1/)21 ( A j j I jjj jj I mLm 1352022 11 1 2121 21 WRIP LLmL 212 2 1 2 1 22 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 总电流 负载电阻支路电流 于是，电阻功率为 例例8.4-9 图8.4-8(a)所示正弦稳态电路，已知L1=7H, L2=4H, M=2H，R=8, us(t)=20 cost V，求电流i2(t)。 图 8.4-8 例8.4-9用图 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 A jjj U I sm m 9 .362 9 .3610

59、020 2/258 AI jj j I mLm 9 .3619 .362 2 1 22 2 Atti)9 .36cos()( 2 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 解：解：利用T形等效为图b电路，再做出电路b的相量模型如图c 所以 8.5 8.5 空芯变压器电路的分析空芯变压器电路的分析 (两个回路的互感电路的正弦稳态分析) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 变压器变压器是电子技术中经常用到的部件，它通常有一个初级 (原边)线圈和一个次级(副边)线圈。初级线圈接电源形成初级 回路(或原边回路)，次级线圈接负载形成次级回路(或副边回 路)，能量通过磁场

60、的耦合由电源传递给负载。 变压器可以用铁芯(称为铁芯变压器铁芯变压器)，也可以不用铁芯 (称为空芯变压器空芯变压器)。铁心变压器的耦合系数可接近1，属于紧 耦合；空心变压器的耦合系数则较小，属于松耦合。 变压器是利用电磁感应原理制成的，可以用耦合电感来构 成它的模型。这一模型常用于分析空芯变压器电路。本节说明 这类电路的正弦稳态分析方法。 两个回路由耦合电感相联系。 图8.5-1 空芯变压器电路模型 (两个回路的互感电路) 第八章第八章 耦合电感与理想变压器耦合电感与理想变压器 当变压器磁芯工作在线性区时，其电路模型如图。其中R1、 R2分别为变压器初级、次级绕组的电阻，ZL为负载阻抗。 S