材力 孙训方 第六章弯曲变形

1、第第 六六 章章 弯 曲 变 形 主要内容 6-1 梁的位移-挠度及转角 6-2 挠曲线的近似微分方程 6-3 用积分法求梁的变形 6-4 用叠加法求梁的变形 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 6-6 梁内的弯曲应变能 【学【学 时时】6 6 【基本要求【基本要求】 了解弯曲变形的描述 理解挠度，转角及梁弯曲近似微分方程 掌握积分法及叠加法求梁的变形。 熟练掌握梁的刚度计算 了解提高梁刚度的措施 【重点【重点】积分法求梁的变形及梁的刚度计算 【难点【难点】叠加法求梁的变形 O B 6-1 6-1 梁的位移梁的位移- -挠度及转角挠度及转角 x y O B A yf x （ ） x y O

2、 B 由于小变由于小变 形，截面形，截面 形心在形心在x x方方 向的位移向的位移 忽略不计忽略不计 y dy tg dx tg () dy fx dx dy dx O B x y 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到： 1M1M EIEI 忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响 1( ) ( ) M x xEI 6-2 6-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 由数学知识可知：由数学知识可知： 32 2 2 )(1 1 dx dy dx yd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得 2 2 1 dx yd 所以所以 2 2 ( )d y

3、M x dxEI 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号相反，所以挠曲线的近似微分方线的二阶导数符号相反，所以挠曲线的近似微分方 程为：程为： 2 2 ( )d yM x dxEI 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。和挠度。 思考：为什么称为思考：为什么称为近近 似似微分方程？微分方程？ 挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为： 2 2 ( )d yM x dxEI 积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为： 2 2 ( ) d y EIM x dx 再积分一次得挠度方

4、程为：再积分一次得挠度方程为： ( )EI yM x dxdxCxD 7-3 ( ) dy EIEIM x dxC dx 6-3 6-3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。条件确定。 A A A A A A A A A A A A A A A A A A 0 A y 0 A y 0 A A y 位移边界条件位移边界条件: :支座处的约束条件支座处的约束条件 积分常数的确定积分常数的确定 弹簧变形弹簧变形 : ALAR yy 光滑连续条件：光滑连续条件：相邻两端梁在交接处的位相邻两端梁在交接处

5、的位 移移光滑连续条件光滑连续条件 A A A A A A ARAL A A A A A A : ALAR yy ， 在在 在在 条件的完备性条件的完备性： 对静定梁，若梁的弯矩分了n段，每段积分有 两个常数，共有2n个常数；而梁有2个边界条件； n段，(n-1)个内点，每一内点有两个光滑连续条 件，共有2(n-1)个光滑连续条件，这样常数的个这样常数的个 数刚好与定常数的条件数相等。数刚好与定常数的条件数相等。 例例6-1 6-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求梁的转角方程和挠度方程，并 求最大转角和最大挠度，梁的求最大转角和最大挠度，梁的EIEI已知。已知。 解解 1 1）由梁的整体平衡分

6、析可得：）由梁的整体平衡分析可得： ,0 Ax F),( FF Ay )(FlM A 2 2）写出）写出x x截面的弯矩方程截面的弯矩方程 )()()(lxFxlFxM 3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分 2 2 ( )() d y EIM xF xl dx 2 1 () 2 dy EIEIF xlC dx 3 1 () 6 EIyF xlCxD 积分一次积分一次 再积分一次再积分一次 4 4）由位移边界条件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数 0, 0 A yx 0, 0 A x 23 11 , 26 CFlDFl 代入求解代入求解 5 5）确定转角方程和挠度

7、方程）确定转角方程和挠度方程 6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度 22 11 () 22 EIF xlFl 323 111 () 626 EIyF xlFl xFl EI Fl yy EI Fl lx BB 3 , 2 , 3 max 2 max 例例6-2 6-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠 度，梁的度，梁的EIEI已知，已知，l=a+b，ab。 解解 1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得： l Fa F l Fb FF ByAyAx ,0 2 2）弯矩方程）弯矩方程 axx l Fb xFxM

8、 Ay 1111 0 , AC AC 段：段： lxaaxFx l Fb axFxFxM Ay 222222 ),()( CB CB 段：段： 3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分 2 1 11 2 1 () d yFb EIM xx dxl 1 2 1 11 1 ( ) 2 dyFb EIEIxxC dxl 1 3 11 11 6 Fb EIyxC xD l AC AC 段：段：ax 1 0 2 2 222 2 2 ()() d yFb EIM xxF xa dxl 2 22 2 222 2 ()() 22 dyFbF EIEIxxxaC dxl 2 33 2222

9、2 () 66 FbF EIyxxaC xD l CB CB 段：段：lxa 2 4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数 0)(, 22 lylx 0)0(, 0 11 yx 代入求解，得代入求解，得 位移边界条件位移边界条件 光滑连续条件光滑连续条件 )()(, 2121 aaaxx )()(, 2121 ayayaxx 3 12 1 66 Fb CCFbl l 0 21 DD 5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程 1 222 1 () 26 FbFb EIxlb ll 1 322 11 () 66 FbFb EIyxlbx ll AC AC 段：段：ax

10、1 0 2222 222 ()() 226 FbFFb EIxxalb ll 3322 2222 ()() 666 FbFFb EIyxxalbx ll CB CB 段：段： lxa 2 6 6）确定最大转角）确定最大转角 令令 得，得， 1 1 0 d dx max () 6 B Fab EIl l a 1 0 x 即，在A A处，截面转角取得极值处，截面转角取得极值 () 6 A Fab EIl l b 令令 得，得， 2 2 0 d dx 2 xl ,说明在B B处，转角取得极值处，转角取得极值 () 6 B Fab EIl l a 因为abab，所以，所以， （ ） 7 7）确定最大挠

11、度）确定最大挠度 令令 得，得， 1 1 0 dy dx 22 0 (2 ) () 33 lba ab xaab 说明在AC段内，挠度取得了极值：，挠度取得了极值： 22 3 1max () () 9 3 Fblb y EIl 经过类似分析，在abab的情况下，的情况下，在CB段内,挠度没有挠度没有 极值点，所以极值点，所以最大挠度为：最大挠度为： 22 3 max () () 9 3 Fblb y EIl 思考思考: : 积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？ （1） 由由 22 0 3 lb x 22 322 max () 0.0642) 9 39 3 FblbFblFbl

12、y EIEIlEI 2 (略b 1 2222 1 2 (34) 0.0625) 4816 l x Fb lbFblFbl yy EIEIEI 2 中点 (略b 知知 b b越小越小,x0越大越大，即荷载越靠近右支座，梁的最大挠度点离即荷载越靠近右支座，梁的最大挠度点离 中点就越远，而且梁的最大挠度与梁中点的差值也随之中点就越远，而且梁的最大挠度与梁中点的差值也随之 讨论讨论 增加。增加。在在b b甚小的极端情况下，有甚小的极端情况下，有 此时，此时， max 0 0 3 yy y 中点 中点 ，所以，在简支梁中，不论所以，在简支梁中，不论 它受什么载荷它受什么载荷，只要挠曲线上无拐点，只要挠曲

13、线上无拐点，总可以总可以 max yy 中点 2 max 16 Fl EI (2) 当集中力当集中力 F作用在作用在 简支梁中点时简支梁中点时,则则 3 max 48 Fl y EI (3)(3)注意注意, ,在积分时在积分时, ,为了保证每段对应常数相等为了保证每段对应常数相等, ,必须遵循必须遵循 以以 下两个原则下两个原则: : 对各段梁对各段梁, ,都是从同一坐标原点到截面之间的梁段上的都是从同一坐标原点到截面之间的梁段上的 外力列出弯矩方程外力列出弯矩方程; ; 对对(x-a)(x-a)项的积分项的积分, ,以以(x-a)(x-a)作为自变量作为自变量 2 2 ( ) d y EIE

14、IyM x dx 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有： ( ) ii EIyM x 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩 为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有： i i y )(xM i 由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()( 1 xMxM n i i 所以，所以， 111 ()( )( ) nnn iii iii EIyEIyM xM x 7-4 6-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法

15、求梁的变形 故故 )( 1 n i i yy 由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此 , 1 n i i n i i yy 1 重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。 1 ( ) n i i EIyM x 比较比较( )EIyM x 与与 12BBB yyy 12BBB 例例6-3 6-3 已知已知简支梁受力如图示，简支梁受力如图示， q q、l、EIEI均为已知。均为

16、已知。求求C C 截面截面 的挠度的挠度y yC C ；B B截面的转角截面的转角 B B 1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解 321CCCC yyyy 321BBBB yC1 yC2 yC3 2 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的 挠度和挠度和B B截面的转角截面的转角。 3 1 24 B ql EI 3 1 16 B ql EI 3 3 3 B ql EI 4 1 5 384 C ql y EI 4 2 48 C ql y EI 4 3 16 C ql y EI 解解 y y y y + + y yC1 yC2 yC3 3 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠

17、加法，将简单载荷 作用时的结果求和作用时的结果求和 444 3 1 4 5 3844816 11 () 384 CCi i qlqlql yy EIEIEI ql EI 333 3 1 3 24163 11 () 48 BBi i qlqlql EIEIEI ql EI + + y y y y 例例6-4 6-4 已知：已知：悬臂梁受力如悬臂梁受力如 图示，图示，q q、l、EIEI均为已知。均为已知。求求 C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C 1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均

18、布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效 果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载 荷。荷。再将处理后的梁分解为再将处理后的梁分解为 简单载荷作用的叠加简单载荷作用的叠加 C y y y y + 2C y 1C y 2B y 4 1 , 8 C ql y EI 222 43 2 , 128482 CBB l yy qlqll EIEI 3 1 6 C ql EI 3 2 48 C ql EI 4 2 1 41 384 CCi

19、i ql yy EI 3 3）将结果叠加）将结果叠加 3 2 1 7 48 CCi i ql EI 2 2）计算各自）计算各自C C截面的挠截面的挠 度和转角。度和转角。 C y + y y y 注意;利用附录的变形表查挠度和转角时, 要注意载荷的方向和变量的含义 例题例题6-56-5：求最大挠度和转角：求最大挠度和转角 例题例题6-66-6已知简支外伸梁抗弯刚度已知简支外伸梁抗弯刚度EIEI。试求：。试求：A A点挠度点挠度 解解 3 1 3 Pa y EI 2 () 3 B Pa l yaa EI 2 () 3 A Pa yal EI 12A yyy 注意;每段梁的受力和 约束要保持不变

20、一一. .刚度条件刚度条件 max max , y y ll 建筑钢梁的许可挠度建筑钢梁的许可挠度： 11 2501000 机械传动轴的许可挠度：机械传动轴的许可挠度： 机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角： 7-5 6-5 6-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 11 500010000 0.0005 0.001rad 例题例题6-76-7：已知：已知：P1=2KNP1=2KN，P2=1KNP2=1KN。L=400mmL=400mm，a=100mma=100mm， 外径外径D=80mmD=80mm，内径，内径d=40mmd=40mm，E=200GPaE=2

21、00GPa，截面，截面C C处挠度不超处挠度不超 过两轴承间距离的过两轴承间距离的10-410-4，轴承，轴承B B处转角不超过处转角不超过10-310-3弧度。弧度。 试校核该主轴的刚度。试校核该主轴的刚度。 2 2 1 16 B P l EI 2 2 11 16 CB Pl a ya EI 1 2 3 B Pal EI 2 1 2 () 3 c Pa yal EI 12 22 12 316 CCC yyy Pa laPl a EIEI （） 2 12 12 316 BB PlaPl EIEI 6 102 . 6 C y 5 103 . 4 54 100 . 410 lyC 3 10 B 4

22、464 1.88 10 64 IDdm （） 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处转角不超过许用数值。处转角不超过许用数值。 B 1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为： EI Fla B 3 解解 例例6-8 6-8 已知钢制圆轴左端受力已知钢制圆轴左端受力 为为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m， E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转 角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求根据刚度要求 确定轴的直

23、径确定轴的直径d d。 例例6-8 6-8 已知钢制圆轴左端受力已知钢制圆轴左端受力 为为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m， E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转 角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求根据刚度要求 确定轴的直径确定轴的直径d d。 B 2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径： B 111mmm10111 5 . 01020633 18064 3 4 29 3 4 E Fla d 180 3EI Fla E Fla I 3 180 E Flad 3 180 64 4 二

24、二. .提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 n l y EI 荷载 系数 即选择合理的截面形状即选择合理的截面形状 改改 变变 支支 座座 形形 式式 改改 变变 载载 荷荷 类类 型型 弹性体在外力作用下，因发生弹性变形 而储存在弹性体内的能量，称为应变能或 变形能。用 V表示。 一一. .应变能应变能 在弹性体变形过程中，储存在弹性体内的应 变能 V在数值上等于外力所做的功W，即 二二. .弹性体的功能原理弹性体的功能原理 WV 三三. .梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能 在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得 6-6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 e MWV 2 1 又 e Ml E l E lM II 1M EI 所以圆心角为: ,且代入顶式得 22 22 e M l V EI M l EI 横力弯曲时，梁内应变能包含两部分,与弯曲变形相 应的弯曲应变能和与剪切变形相应的剪切应变能. 对于弯曲应变能,梁横截面上的弯矩沿轴线变化， 此时，对于微段梁,弯矩的增量，可不计,于是 可用纯弯