选修4-1几何证明选讲选修4-1几何证明选讲 几何证明选讲 配套教师用书+教案

1、选修41几何证明选讲选修41几何证明选讲第一节平行截割定理与相似三角形(见学生用书第228页)考纲传真内容要求ABC相似三角形的判定与性质定理射影定理1平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等推论：经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰(2)平行截割定理及其推论定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度

2、的比(4)梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半2相似三角形(1)相似三角形的判定判定定理()两角对应相等的两个三角形相似()两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似()三边对应成比例的两个三角形相似推论：如果一条直线与三角形的一条边平行，且与三角形另两条边相交，则截得的三角形与原三角形相似直角三角形相似的判定定理：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似(2)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积；斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积1(夯基释疑)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)一组平行线在

3、一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等()(2)两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两三角形相似()(3)三角形相似不具有传递性()(4)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质()解析根据平行线等分线段定理知(1)正确；两组对边成比例，且夹角相等的一组三角形相似，故(2)错；三角形相似具有传递性，故(3)错；相似多边形具有面积比等于相似比的平方的性质，故(4)错。答案(1)(2)(3)(4)2(教材习题改编)图1如图1，EFBC，FDAB，AE1.8 cm，BE1.2 cm，CD1.4 cm，则BD_cm.解析因为EFBC，所以，又因为FDAB，所以，即BDDC2

4、.1.答案2.13.图2如图2所示，C90，A30，E是AB的中点，DEAB于E，则ADE与ABC的相似比是_解析令BC1，则AEBE1，DE，所以.答案4(2014广东高考)图3如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_.解析由CDAE，得CDFAEF，于是()29.答案95.图4(2013陕西高考)如图4，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_.解析因为PEBC，所以CPED.又因为CA，所以APED.又PP，所以PDEPEA，则，即PE2PDPA236，故PE.答案高三一轮总复习理科数学(江

5、苏专版)(见学生用书第229页)考向1平行线分线段成比例定理【典例1】图5(1)如图5所示，已知在ABC中，C90，正方形DEFC内接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2，则AFFC_.(2)(2013惠州调研)如图6，在ABC中，DEBC，DFAC，AEAC35，DE6，则BF_.图6(3)图7如图7，在四边形ABCD中，EFBC，FGAD，则_.解析(1)EFBC，即得CF，AF，故.(2)由DEBC，得.DE6，BC10.DFAC，即BF4.(3)EFBC，FGAD，.1.答案(1)(2)4(3)1,【规律方法】1利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定

6、所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用2比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的【变式训练1】图8如图8，等边三角形DEF内接于ABC，且DEBC，已知AHBC于点H，BC4，AH，则DEF的边长为_解析设DEx，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，又DEBC，则，解得x.答案考向2相似三角形的判定与性质【典例2】图9(2014辽宁模拟)已知：如图9，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E.

7、求证：(1)ABCDCB；(2)DEDCAEBD.解证明：(1)四边形ABCD是等腰梯形，ACDB.ABDC，BCCB，ABCDCB.(2)ABCDCB，ACBDBC，ABCDCB.ADBD，DACACB，EADABC，EDAC，EDADAC.EDADBC，EADDCB.ADECBD.DEBDAECD，DEDCAEBD.,【规律方法】1证明乘积式通常改为比例式，然后根据比例式，找出相应的三角形，证明三角形相似2相似三角形的性质可用来证明线段成比例，角相等；也可间接证明线段相等图10【变式训练2】如图10，ABC中，ABAC，AD是中线，P为AD上一点，CFAB，BP延长线交AC、CF于E、F，

8、求证：PB2PEPF.【证明】连结PC，易证PCPB，ABPACP.CFAB，FABP，从而FACP.又EPC为CPE与EPC的公共角，从而CPEFPC，.PC2PEPF.又PCPB，PB2PEPF.考向3射影定理及其应用(高频考点)命题视角射影定理及其应用是历年高考重点主要命题角度：(1)证明线段成比例、角相等；(2)证明三角形相似；(3)证明线段相等，求线段的比值【典例3】图11(2013湖北高考题改编)如图11，ABC中，ACB90，CD为斜边AB边的高，O为AB的中点，DECO，AB3AD.求.【思路点拨】分别在RtABC，RtCDO中，利用射影定理求解解ACBC，AB3AD，O是AB

9、中点，ADAB，BDAB，ODAB，OCAB.在RtABC中，利用射影定理得CD2ADBDABABAB2.在RtCDO中，利用射影定理得CD2CECOCEAB，CEABAB2，CEAB.在RtCDO中，利用射影定理得OD2OEOC，AB2OEAB，得OEAB.由得8.,【通关锦囊】1应用射影定理有两个前提条件：(1)是直角三角形；(2)是斜边上的高，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”2证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法【变式训练3】已知，RtABC中，BAC90，ADBC，垂足为D，DFAC，垂足为F，DEAB，垂足为E.图12求证：(1)ABACADB

10、C；(2)AD3BCBECF.解证明：(1)ABDCBA，即ABACADBC.(2)由射影定理知AD2AEAB，又由三角形相似可知，且DFAE，AEABADBCCFBE，结合射影定理，AD3BCBECF.抓住1个关键平行线分线段成比例定理，射影定理是通过三角形相似证明的，故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键做到2个防范1.防止写三角形相似时，两个三角形的顶点不对应2.防止应用射影定理时，线段的位置记错熟记3种方法判定三角形相似有三种常用的方法：1两组对应角分别相等，两三角形相似2.一组对应角相等，且角的两边对应成比例，两三角形相似3.三边对应成比例，两三角形相似(见学生用书第230页)

11、规范解答之16利用线段的等量关系证明三角形相似 (12分)(2012课标全国卷)如图13，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：图13(1)CDBC；(2)BCDGBD.规范解答示例构建答题模板(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.(1分)又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.(3分)而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(5分)(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.(8分)由BCCD

12、知CBDCDB，又因为DGBEFCDBC，所以BCDGBD.(12分),第一步证明四边形BCFD是平行四边形，从而CFAD；第二步证明四边形ADCF是平行四边形，从而CDAF；第三步根据CFAB，得到BCAF，从而CDBC；第四步证明BGDBDG，CBDCDB；第五步通过证明DGBDBC，从而BCDGBD.【智慧心语】易错提示：(1)不能证明四边形ADCF是平行四边形，从而得不到CDAF.(2)在证明BCDGBD时，不能根据BGDEFC，得到BGDDBC，从而无法证明结论成立防范措施：(1)根据平行四边形得到边角之间的关系是证明中常用的方法，证明时要注意挖掘条件中的平行关系和相等关系(2)在圆

13、中利用同弧所对的圆周角相等，可把一些看似无关的角联系起来，达到证明的目的【类题通关】图14(2014河南开封一模)如图14，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且BFEC.(1)求证：ABFEAD；(2)若BAE30，AD3，求BF的长解(1)证明：ABCD，BAFAED.又BFEC，BFEBFACEDA，BFAADE.ABFEAD.(2)BAE30，AEB60，sin 60，又，BFAD.课后限时自测(见学生用书第363页)A级基础达标练一、填空题1.图15如图15，在ABC中，DEBC，EFCD，且AB2，AD，则AF_.解析设AFx，解得x1.答

14、案12如图16，平行四边形ABCD中，AEEB12，AEF的面积为6，则ADF的面积为_图16解析AEFCDF且相似比为13，由AEF的面积为6，得CDF的面积为54，又SADFSCDF13.SADF18.答案18图173(2014湖北三校联考)如图17，矩形ABCD中，E是BC上的点，AEDE，BE4，EC1，则AB的长为_解析由题意知，AB2BEEC4，AB2.答案24.图18如图18，在梯形ABCD中，ADBC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EPPF12，AD7 cm，则BC_cm.解析EF是梯形中位线，得EFADBC，又PEPF12，BC2PF14.答案145.图19如图19，在A

15、BC中，ACB90，M是BC的中点，CDAM，垂足为D.则AMB_.解析在RtACM中，根据射影定理有CM2MDMA，又CMBM，故有BM2MDMA，即，又BMDAMB，所以AMBBMD.答案BMD6.图20如图20，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则BE_.解析由BD，AEBACD90得ABEADC，AE2，BE4.答案47在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC5，点E，F分别在AB，CD上，且EFAD，若，则EF的长为_解析如图，过点D作DGAB交EF于H，交BC于G，则CG3，在DGC中，HFGC，则有，HF.故EFEHHF2.答案8(2013陕西高考)如图21

16、，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD2DA2，则PE_.图21解析BCPE，CPED.CA，APED.在PED和PAE中，PEDA，PP，PEDPAE，.PAPDDA3，PD2，PE2PAPD326，PE.答案二、解答题9.图22如图22，在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F.求证：CEFCBA.【证明】CDAB，DEAC，由射影定理得CD2CECA，又CDAB，DFBC，由射影定理得CD2CFCB，由得CECACFCB，又ECFBCA，CEFCBA.图2310已知：如图23，在ABC中，M、E分别是AC、AB上的点，ME、CB延长

17、线交于一点D，且.求证：AMDB.【证明】过M作MNDC交AB于点N.，.，且；，AMDB.B级能力提升练一、填空题1.图24如图24，在四边形ABCD中，E是AB上一点，ECAD，DEBC，若SBEC1，SADE3，则SCDE_.解析ECAD，SDCESADEECAD，DEBC，SBCESCDEBCED，又因为ECBDECADE，BECEAD，BECEAD，ECADBCED.SDCESADESBCESCDE，于是SCDE.答案2.图25(2013广东高考)如图25，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.解析因为tanBCA，所以BCA30，ECD90BCA60.在Rt

18、BCE中，CEBCcosBCA3cos 30.在ECD中，由余弦定理得ED.答案二、解答题3如图26，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F.图26(1)求的值；(2)若BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1S2的值解(1)取BC中点H，连结EHBEED，BHCH，EH綊CD.ADDC，EHAC.又，FHFC.CHBH3FH，.(2)BEED，由(1)知FC2BF，.S1S215.第二节圆周角定理与圆的切线、直线与圆(见学生用书第232页)考纲传真内容要求ABC圆的切线的判定与性质定理圆周角定理，弦切角定理相交弦定理，割线定理，切割线定理圆内接四边形的判定与

19、性质定理1圆周角定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半(2)圆周角定理的推论推论1同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2半圆(或直径)上的圆周角等于90；反之，90的圆周角所对的弦为直径2圆的切线(1)圆的切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线(2)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1过圆心垂直于切线的直线必经过切点推论2过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等3弦切角定理与推论(1)定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半(2)推论：同弧(或等弧)上的弦切角相

20、等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等4与圆有关的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等PAPBPCPD割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等PAPBPCPD切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项PAPBPC21(夯基释疑)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)相等的圆周角所对的弧也相等()(2)在同圆或等圆中同一条弦所对的圆周角相等()(3)任意一个四边形，三角形都有外接圆()(4)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数()解析根据圆周角定理的推论知(1)错；(

21、2)中的圆周角相等或互补故错；只有对角互补的四边形才有外接圆，所以(3)错；根据弦切角定理知(4)错答案(1)(2)(3)(4)2(选修41P40习题9改编)如图27，点P在圆O直径AB的延长线上，且PBOB2，PC切圆O于C点，CDAB于D点，则PC_，CD_.图27解析连结OC，由切割线定理得PC2PBPA12，PC2又OCOP，P30，CDPC.答案3如图28，已知O的弦AB交半径OC于点D.若AD3，BD2，且D为OC的中点，则CD_.图28解析延长CO交O于点E，设O半径为r，由相交弦定理得CDDEADDBr(rr)32r2，CD.答案图294(2014湖南高考)如图29，已知AB，

22、BC是O的两条弦，AOBC，AB，BC2，则O的半径等于_解析设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BDCDADDE，即()22r1，解得r.答案5如图30所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC_.图30解析由弦切角定理得DCAB60，又ADl，故DAC30.答案30(见学生用书第233页)考向1圆周角与弦切角定理及应用(高频考点)命题视角圆周角与弦切角定理及应用是历年高考重点主要命题角度：(1)证明角相等；(2)证明线段相等；

23、(3)证明三角形相似【典例1】(2014江苏高考)如图31，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：OCBD图31【思路点拨】只需证明OCB和D都和B相等解B、C是圆O上的两点，OBOC.OCBB.又C，D是圆O上位于AB异侧的两点，B，D为同弧所对的两个圆周角BD.OCBD.,【通关锦囊】1圆周角定理常用的三种转化(1)圆周角与圆周角之间的转化(2)圆周角与圆心角之间的转化(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化2圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段的长度或角的大小【变式训练1】图32(2012江苏高考)如图32，AB

24、是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求证：EC.解连结AD.AB是圆O的直径，ADB90，ADBD.又BDDC，AD是线段BC的中垂线ABAC，BC，又E和B为同弧所对的圆周角，BE，EC.考向2圆内接四边形的判定与性质【典例2】如图33，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60，F在AC上，且AEAF.证明：图33(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分DEF.【证明】在ABC中，因为B60，所以BACBCA120.因为AD、CE分别是BAC、DCF的平分线，所以HACHCA60，故AHC120.于是EHDAH

25、C120.所以EBDEHD180，所以B、D、H、E四点共圆(2)连结BH，则BH为ABC的平分线，得HBD30.由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以CEDHBD30.又AHEEBD60，由已知可得EFAD，可得CEF30.所以CE平分DEF.,【规律方法】1(1)要证四点共圆，关键是证四边形BDHE的一组对角互补所以要从角的关系入手(2)证明CE平分DEF，就是要证CEDCEF，可从找这两个角的关系入手2判断四点共圆的步骤(1)观察几何图形，找到一对对角或一外角与其内对角；(2)判断四边形的一对对角的和是否为180或判断四边形一外角与其内对角是否相等；(3)下结论【变式训练2】图34如图3

26、4，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆解(1)因为ECED，所以EDCECD.因为A、B、C、D四点在同一圆上，所以EDCEBA，故ECDEBA.所以CDAB.(2)由(1)知，AEBE，因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连结AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180，故A，B，G，F四点共圆考向3相交弦定理、切割线定理的应用【典例3】(2014课标全国卷)如图35，P是O

27、外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：图35(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.解(1)连结AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，DCAPAB，所以DACBAD，从而.因此BEEC.(2)由切割线线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.,【规律方法】1(1)连结AB，AC，由条件易知PDPA，得PADPDA，利用弦切角性质可得DACBAD，从而有BEEC.(2)利用切割线定理及PC2PA，可得PBP

28、A，进而有BDPA.再结合相交弦定理ADDEBDDC得证2解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握【变式训练3】(2014南京盐城高三数学二模数学试卷)如图36，ABC为圆的内接三角形，ABAC，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.图36(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；(2)若AE6，BD5，求线段CF的长解(1)因为AE与圆相切于点A

29、，所以BAEACB.因为ABAC，所以ABCACB.所以ABCBAE.所以AEBC.因为BDAC，所以四边形ACBE为平行四边形(2)因为AE与圆相切于点A，所以AE2EB(EBBD)，即62EB(EB5)，解得BE4.根据(1)有ACBE4，BCAE6.设CFx，由BDAC，得，即，解得x，即CF.掌握1个结论切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心；熟记3种方法与圆有关的比例线段(等积式)的证明常有以下三种方法：1.利用相似三角形；2.利用切割线定理、相交弦定理；3.利用角平分线定理.(见学生用书第234页)规范解答之17与圆有关的证明与计算问题 (12分)图37

30、(2014辽宁高考)如图37，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.规范解答示例构建答题模板(1)PDPG，PDGPGD.PD为切线，PDADBA.(1分)又PGDEGA，DBABADEGABAD.BDAPFA.(3分)AFEP，PFA90，BDA90.AB是直径(5分)(2)连结BC，DC.由(1)知AB是直径，BDAACB90.(7分)在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD，RtBDARtACB.DABCBA.DCBDAB，DCBCBA.DCA

31、B.(10分)ABEP，DCEP，DCE为直角ED为直径，由(1)得EDAB.(12分),第一步根据弦切角定理证明DBAPGD，从而证明了BDAPFA.第二步根据已知条件ABEP及圆周角定理推论得AB是圆的直径第三步根据(1)中结论，证明RtBDARtACB，从而得DABCBA.第四步再利用圆周角定理证明DCAB，从而证明ED为直径【智慧心语】易错提示：(1)遇到圆的切线问题时不注意弦切角的转化，导致无法求解(2)不会利用ABEP这一条件，从而无法入手防范措施：(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要

32、注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弦)两端画圆周角或作弦切角【类题通关】图38A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上(1)若，1，求的值；(2)若EF2FAFB，证明：EFCD.解(1)A，B，C，D四点共圆，EDCEBF，又AEB为公共角，ECDEAB，.()2.(2)EF2FAFB，.又EFABFE，FAEFEB，FEAEBF，又A，B，C，D四点共圆，DECEBF，FEAEDC，EFCD.课后限时自测(见学生用书第365页)A级基础达标练一、填空题1一个圆的两弦相交，一条弦被分为12 cm和18 cm两段，另一弦被分为38

33、，则另一弦的长为_解析设另一弦被分的两段长分别为3k,8k(k0)，由相交弦定理得3k8k1218，得k3，所求弦长为3k8k33(cm)答案33 cm2.图39(南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试)如图39，AB，CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PC，OP，则PD_.解析P为AB中点，OPAB，PB，又PCPDPAPBPB2，由PC，得PD.答案3.图40(2014陕西高考)如图40，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_.解析B，C，F，E四点在同一个圆上，AEFACB，又AAAEFACB，即，EF3.答案3图

34、414(2014江南十校联考)如图41，在圆的内接四边形ABCD中，ABC90，ABD30，BDC45，AD1，则BC_.解析连结AC，ABC90，AC为圆的直径，又ACDABD30，AC2AD2.又BACBDC45.故BC.答案5.图42如图42所示，AB是O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作O的切线，切点为C，PC2，若CAP30，则O的直径AB等于_解析连结OC，则由PC是切线知OCPC.由CAP30，知COP60，故CPA30.PC2.OC2，AB4.答案46.图43(2014湖北高考)如图43，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D

35、两点，若QC1，CD3，则PB_.解析由切割线定理得QA2QCQD4，QA2则PBPA2QA4.答案47.图44(2013重庆高考)如图44，在ABC中，ACB90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_解析在RtACB中，ACB90，A60，ABC30.AB20，AC10，BC10.CD为切线，BCDA60.BDC90，BD15，CD5.由切割线定理得DC2DEDB，即(5)215DE，DE5.答案58.图45(2013广东高考)如图45，AB是圆O的直径，点C在圆O上延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED

36、2，则BC_.解析因为AB为圆O的直径，所以ACBC.又BCCD，所以ABD是等腰三角形，所以ADAB6，DACBAC.因为CE切圆O于点C，所以ECAABC.又因为BACABC90，所以DACECA90，故CEAD.故CD2DEDA2612，所以BCCD2.答案2二、解答题图469(2014苏、锡、常、镇四市调研)如图46，O为四边形ABCD的外接圆，且ABAD，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切求证：.解证明：连结AC.EA是圆O的切线，EABACB.ABAD，ACDACB.ACDEAB.圆O是四边形ABCD的外接圆，DABE.CDAABE.，ABAD，.图4710(苏州市2014届

37、高三调研测试)如图47，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A，B，C，D，E，求证：ABCDBCDE.证明由相交弦定理，得ACCDMCNC，BCCEMCNC，ACCDBCCE，即(ABBC)CDBC(CDDE)，即ABCDBCCDBCCDDCDE.ABCDBCDE.B级能力提升练一、填空题1.图48如图48所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB_.解析由弦切角定理得PABACB，又BACAPB，PABACB，将PB7，BC5，代入得AB.答案2(2014天津高考)图49如图49，ABC是圆的内接三角形，BAC

38、的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是_解析BADFBD，DBCDAC，又AE平分CBFBADDAC，FBDDBC，BD平分CBF.结论正确；易证ABFBDF，ABBFAFBD，结论正确；由，得BF2AFDF，结论正确答案二、解答题3.图50(2013课标全国卷)如图50，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F

39、，求BCF外接圆的半径解(1)如图，连结DE，交BC于点G.由弦切角定理，得ABEBCE，又ABECBE，故CBEBCE，所以BECE.又因为DBBE，所以DE为圆的直径，DCE90.由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC边的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连结BO，则BOG60，从而ABEBCECBE30，所以CFBF.故RtBCF外接圆的半径等于.选修42矩阵与变换选修42矩阵与变换第一节二阶矩阵、平面变换与矩阵的乘法(见学生用书第236页)考纲传真内容要求ABC矩阵的概念二阶矩阵与平面向量常见的平面变换矩阵的乘法1矩阵的概念(1)矩阵：排成的矩

40、形数字(或字母)阵列称做矩阵组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素(2)二阶矩阵：2行2列的矩阵称为二阶矩阵通常记为22矩阵(3)零矩阵：所有元素都为0的矩阵叫做零矩阵，记为0.(4)单位矩阵：矩阵称为单位矩阵记为E.(5)矩阵相等，对于两个矩阵A、B，只有当A、B的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A和B才相等，记作AB.2二阶矩阵与平面向量的乘法(1)行矩阵与列矩阵的乘法规则为 a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则为 .3二阶矩阵的乘法(1)设A，B，则AB.(2)矩阵乘法满足结合律(AB)CA(BC)，但不满足交换律和消去律4常见的平面变换(1)

41、常见的平面变换有恒等变换、伸压变换、旋转变换、反射变换、投影变换、切变变换(2)性质：二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)1(夯基释疑)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知A，B都是零矩阵，那么它们相等()(2)矩阵为单位矩阵()(3)矩阵的乘法满足交换律，ABBA.()(4)变换的几何意义为关于x轴的反射变换()解析(1)中A为列矩阵，B为二阶矩阵，故(1)错；单位矩阵为，故(2)错；矩阵的乘法不满足变换律，ABBA，故(3)错答案(1)(2)(3)(4)2(教材习题改编)求点A(3,6)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标_解析，故点A(3,

42、6)变为A(3,3)答案(3,3)3已知点P(x，y)在矩阵M的作用下变换为点P(y，x)，求矩阵M.解设M，则M，即即M.4(南京市、盐城市2014届高三第一次模拟)已知曲线C：xy1，若矩阵M对应的变换将曲线C变为曲线C，求曲线C的方程解设曲线C上一点(x，y)对应于曲线C上一点(x，y)，xyx，xyy，x，y，xy1，曲线C的方程为y2x22.5在直角坐标系中，已知椭圆x24y21，矩阵M，N，求椭圆x24y21在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积解MN.设(x0，y0)为椭圆x24y21上任一点，它在MN的作用下所对应的点为(x，y)，则，即，代入x4y1，得x2y21，S.高三一

43、轮总复习理科数学(江苏专版)(见学生用书第237页)考向1几种常见的变换【典例1】(苏北四市2014届高三第一次质量检测)设矩阵M(其中a0，b0)，若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C：y21，求ab的值解设曲线C：x2y21上任意一点P(x，y)，在矩阵M所对应的变换作用下得到点P1(x1，y1)，则，即.又点P1(x1，y1)在曲线C：y21上，所以y1，则by21为曲线C的方程又曲线C的方程为x2y21，故a24，b21，因为a0，b0，所以ab3.,【规律方法】1本题可先求出曲线C在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C的方程再与方程y21加以比较得出a，b的值，也可

44、在曲线C上取两特殊点经阵M所对应的变换作用下得到点在曲线C上，代入C方程，求出a，b的值2二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵，变换前的曲线方程，变换后的曲线方程三个要素，知其二可求第三个【变式训练1】(2014届苏州市高三调研测试)矩阵与变换已知a，bR，若M所对应的变换TM把直线2xy3变换成自身，试求实数a，b.解设，则2xy3，2(xay)(bx3y)3.即(2b)x(2a3)y3.此直线即为2xy3.2b2,2a31.则a1，b4.考向2矩阵的乘法【典例2】(2014江苏高考)已知矩阵A，B，向量，x，y为实数，若AB，求x，y的值解由已知得A，B因为AB，所以，故解得所以xy.,【规律方法】1利用矩阵乘法规则进行矩阵与向量的运算2这类题目一般先作矩阵的乘法，再根据矩阵相等列方程组求解【变式训练2】已知矩阵A，向量.求向量，使得A2.解A2，设，由A2得，从而解得x1，y2，所以.考向3矩阵与变换的综合应用(高频考点)命题视角矩阵与变换的综合应用是历年高考重点主要命题角度：(1)二阶矩阵的乘法；(2)矩阵与向量的乘法；(3)平面曲线的变换【典例3】(2014通州高级中学期中试题)变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应用的变换矩阵是M2.(1)求点P(2,1)在T1作用下的点P的坐