马尔科夫链预测方法

1、马尔可夫预测马尔可夫预测（Markov Forecasting Model ） 马尔可夫（Markov）法是以俄国数学家 A A Markov名字命名的一种方法.它将 时间序列看作一个随机过程，通过对事 物不同状态的初步概率和状态之间转移 概率的研究，确定状态变化趋势，以预 测事物的未来。 马尔可夫预测方法马尔可夫预测方法 对事件的全面预测，不仅要能够指出事对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生件发生 的各种可能结果的各种可能结果，而且还必须给出，而且还必须给出每一种结果每一种结果 出现的概率出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出，说明被预测的事件在预测期内出 现每一种结果的可能性程度。这

2、就是关于事件现每一种结果的可能性程度。这就是关于事件 发生的发生的概率预测概率预测。 马尔可夫（马尔可夫（Markov)Markov)预测法，就是一种关于预测法，就是一种关于事事 件发生的概率件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前预测方法。它是根据事件的目前 状况来预测其将来各个时刻（或时期状况来预测其将来各个时刻（或时期) )变动状变动状 况的一种预测方法。马尔可夫预测法是地理预况的一种预测方法。马尔可夫预测法是地理预 测研究中重要的预测方法之一。测研究中重要的预测方法之一。 一、几个基本概念 （一（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程状态、状态转移过程与马尔可夫过程 l1.1.状态状态

3、在马尔可夫预测中，在马尔可夫预测中，“状态状态”是一个重要的术语。是一个重要的术语。 所谓状态，所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期就是指某一事件在某个时刻（或时期) )出现的某出现的某 种结果种结果。一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不。一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不 同，状态可以有不同的划分方式。譬如，在商品销售预测同，状态可以有不同的划分方式。譬如，在商品销售预测 中，有中，有“畅销畅销”、“一般一般”、“滞销滞销”等状态；在农业收等状态；在农业收 成预测中，有成预测中，有“丰收丰收”、“平收平收”、“欠收欠收”等状态；在等状态；在 人口构成预测中，有人口构成预测

4、中，有“婴儿婴儿”、“儿童儿童”、“少年少年”、 “青年青年”、“中年中年”、“老年老年”等状态；在经济发展水平等状态；在经济发展水平 预测中，有预测中，有“落后落后”、“较发达较发达”、“发达发达”等状态；等等状态；等 等。等。 一、几个基本概念 2.2.状态转移过程状态转移过程 在事件的发展过程中，在事件的发展过程中，从从 一种状态转变为另一种状态，就称为状态转一种状态转变为另一种状态，就称为状态转 移移。譬如，天气变化从。譬如，天气变化从“晴天晴天”转变为转变为“阴阴 天天”、从、从“阴天阴天”转变为转变为“晴天晴天”、从、从“晴晴 天天”转变为转变为“晴天晴天”、从、从“阴天阴天”转变

5、为转变为 “阴天阴天”等都是状态转移。等都是状态转移。 事件的发展，随着时间的变化而变化所作的事件的发展，随着时间的变化而变化所作的 状态转移，或者说状态转移，或者说状态转移与时间的关系状态转移与时间的关系， 就称为状态转移过程，简称就称为状态转移过程，简称过程过程。 一、几个基本概念 3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前 一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或 者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状 态转移过程就称为马尔可夫过程。 在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状 态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的 发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。 假定池中有N张荷叶，编号为

6、1，2， 3,N，即蛙跳可能有N个状态（状态 确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目 前所处的状态；因此它未来的状态，只 与现在所处状态有关，而与以前的状态 无关（无后效性成立） 。 一、几个基本概念 （二)状态转移概率与状态转移概率矩阵 l1.状态转移概率状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一在事件的发展变化过程中，从某一 种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称 为状态转移概率为状态转移概率。根据条件概率的定义，由状态。根据条件概率的定义，由状态Ei转转 为状态为状态Ej的状态转移概率的状态转移概率P（EiEj)就是条件概率就是条件概率

7、P （Ej/Ei)，即，即P（EiEj)=P ( Ej/Ei)= Pij l客观事物可能有客观事物可能有u1，u2,un共共n种状态，其每次种状态，其每次 只能处于一种状态，则每一状态都具有只能处于一种状态，则每一状态都具有n个转向包括个转向包括 转向自身，即转向自身，即uiu1，uiu2 , uiun，将这种转，将这种转 移的可能性用概率描述移的可能性用概率描述,就是状态转移概率就是状态转移概率 。 一、几个基本概念 2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测 的事件有E1，E2，En，共n个可能 的状态。记Pij为从状态Ei转为状态Ej的状 态转移概率，作矩阵 则称则称P为状态转移概率矩阵；（

8、为状态转移概率矩阵；（n阶方阵）阶方阵） 一、几个基本概念 如果被预测的某一事件目前处于状态 Ei，那么在下一个时刻，它可能由状 态Ei转向E1，E2，EiEn中的任一 个状态。所以Pij满足条件： 非负性；行元素和为1 一、几个基本概念 一般地，我们将满足条件（3)的任何矩阵都称为 随机矩阵，或概率矩阵。不难证明，如果P为概 率矩阵，则对任何数m0，矩阵Pm都是概率矩 阵。 如果P为概率矩阵，而且存在整数m0，使得概 率矩阵Pm中诸元素皆非零，则称P为标准概率矩 阵。可以证明，如果P为标准概率矩阵，则存在 P= （4) 这样的向量这样的向量称为称为平衡向量平衡向量，或，或终极向量终极向量。

9、一、几个基本概念 3.3.状态转移概率矩阵的计算状态转移概率矩阵的计算 计算状态转移概率矩阵计算状态转移概率矩阵P P，就是要求每个状态转，就是要求每个状态转 移到其它任何一个状态的转移概率移到其它任何一个状态的转移概率PijPij（i i，j=1j=1， 2 2，n)n)。为了求出每一个。为了求出每一个PijPij，我们采用频，我们采用频 率近似概率的思想来加以计算。率近似概率的思想来加以计算。 考虑某地区农业收成变化的三个状态，即考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰丰 收收”、“平收平收”和和“欠收欠收”。记。记E1E1为为“丰收丰收” 状态，状态，E2E2为为“平收平收”状态，状态，

10、E3E3为为“欠收欠收”状态。状态。 表表2-182-18给出了该地区给出了该地区1950198919501989年期间农业收年期间农业收 成的状态变化情况。以下，我们来计算该地区成的状态变化情况。以下，我们来计算该地区 农业收成变化的状态转移概率矩阵。农业收成变化的状态转移概率矩阵。 一、几个基本概念 表 某地区农业收成变化的状态转移情况 一、几个基本概念 从表从表2-18中可知，在中可知，在15个从个从E1出发（转移出去出发（转移出去)的状态的状态 转移中，有转移中，有3个是从个是从E1转移到转移到E1的（即的（即12，2425， 3435)，有，有7个是从个是从E1转移到转移到E2的（即

11、的（即23，910， 1213，1516，2930，3536，3940)，有，有5个个 是从是从E1转移到转移到E3的（即的（即67，1718，2021， 2526，3132)。 故故 按照上述同样的办法计算可以得到按照上述同样的办法计算可以得到 一、几个基本概念 所以，该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为所以，该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为 二、马尔可夫预测法 为了运用马尔可夫预测法对事件发展过程中 状态出现的概率进行预测，还需要再介绍一 个名词：状态概率j（k)。 j（k)表示事件在初始（k=0)时状态为已知 的条件下，经过k次状态转移后，第k个时刻 （时期)处于状态Ej的概率。

12、根据概率的性 质，显然有： 二、马尔可夫预测法 从初始状态开始，经过k次状态转移后到达 状态Ej这一状态转移过程，可以看作是首先 经过（k-1)次状态转移后到达状态Ei（i=1， 2，n)，然后再由Ei经过一次状态转移 到达状态Ej。 根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件 概率公式，有 二、马尔可夫预测法 若记行向量若记行向量(k)=1(k)(k)=1(k)，2(k)2(k)，n(k)n(k)， 则由则由(7)(7)式可得逐次计算状态概率的递推公式：式可得逐次计算状态概率的递推公式： （8)式中，式中，（0)=1（0)，2（0)，n（0)为为 初始状态概率向量初始状态概率向量。 （一)第

13、k个时刻（时期)的状态概率预测 由上述分析可知，如果某一事件在第由上述分析可知，如果某一事件在第0个时刻（或时期个时刻（或时期) 的初始状态已知（即的初始状态已知（即（0)已知已知)，则利用递推公式（，则利用递推公式（8) 式，就可以求得它经过式，就可以求得它经过k次状态转移后，在第次状态转移后，在第k个时刻个时刻 （时期（时期)处于各种可能的状态的概率（即处于各种可能的状态的概率（即（k)，从而得，从而得 到到该事件在第该事件在第k个时刻（时期个时刻（时期)的状态概率预测。的状态概率预测。 在前例中，如果将在前例中，如果将1989年的农业收成状态记为年的农业收成状态记为 （0)=0，1，0（

14、因为（因为1989年处于年处于“平收平收”状态状态)，则，则 将状态转移概率矩阵（将状态转移概率矩阵（5)式及式及（0)代入递推公式（代入递推公式（8) 式，就可以求得式，就可以求得19902000年可能出现的各种状态的年可能出现的各种状态的 概率（见表概率（见表2-19)。 二、马尔可夫预测法二、马尔可夫预测法 二、马尔可夫预测法 表表2-19 2-19 某地区某地区1990200019902000年农业收成状态概率预测值年农业收成状态概率预测值 二、马尔可夫预测法 （二)终极状态概率预测 经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状 态概

15、率，或称平衡状态概率。态概率，或称平衡状态概率。如果记终极状态概率向量如果记终极状态概率向量 为为=1，2，n，则，则 即：即： 二、马尔可夫预测法 按照极限的定义可知： 将（将（11)式代入马尔可夫预测模型的递推公式（式代入马尔可夫预测模型的递推公式（8)式得式得 即：即： =P （12) 这样，就得到了终极状态概率应满足的条件这样，就得到了终极状态概率应满足的条件 （1）=P （2）0i1（i=1，2，n) 以上条件（以上条件（2)2)与（与（3)3)是状态概率的要求，其中，条是状态概率的要求，其中，条 件（件（2)2)表示，在无穷多次状态转移后，事件必处在表示，在无穷多次状态转移后，事件

16、必处在n n 个状态中的任意一个；条件（个状态中的任意一个；条件（1)1)就是用来计算终极就是用来计算终极 状态概率的公式。状态概率的公式。终极状态概率是用来预测马尔可终极状态概率是用来预测马尔可 夫过程在未来会出现什么趋势的重要信息。夫过程在未来会出现什么趋势的重要信息。 二、马尔可夫预测法 在前例关于某地区农业收成状态概率的 预测中，设终极状态的概率为=1， 2，3，则 即即 二、马尔可夫预测法 求解方程组（求解方程组（13)13)式得：式得：1=0.36531=0.3653， 2=0.35252=0.3525，3=0.27993=0.2799。这说明，该地区农。这说明，该地区农 业收成的

17、变化，在无穷多次状态转移后，业收成的变化，在无穷多次状态转移后，“丰丰 收收”和和“平收平收”状态出现的概率都将大于状态出现的概率都将大于“欠欠 收收”状态出现的概率。状态出现的概率。 在地理事件的预测中，被预测对象所经历的过在地理事件的预测中，被预测对象所经历的过 程中各个阶段（或时点程中各个阶段（或时点) )的状态和状态之间的的状态和状态之间的 转移概率是最为关键的。马尔可夫预测的基本转移概率是最为关键的。马尔可夫预测的基本 方法就是利用状态之间的转移概率矩阵预测事方法就是利用状态之间的转移概率矩阵预测事 件发生的状态及其发展变化趋势。马尔可夫预件发生的状态及其发展变化趋势。马尔可夫预 测

18、法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有 一定的稳定性。因此，必须具有足够多的统计一定的稳定性。因此，必须具有足够多的统计 数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话 说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计 数据的基础之上。这一点也是运用马尔可夫预数据的基础之上。这一点也是运用马尔可夫预 测方法预测地理事件的一个最为基本的条件。测方法预测地理事件的一个最为基本的条件。 例例4 设某地区设某地区1600居民，只有甲、乙、丙三厂的某产居民，只有甲、乙、丙三厂的某产 品在该地销售品在

19、该地销售. 据查据查8月份买甲、乙、丙三厂产品的分月份买甲、乙、丙三厂产品的分 别为别为480、320、800，9月份调查发现原买甲转买乙的月份调查发现原买甲转买乙的 有有48户，转买丙的有户，转买丙的有96户，原买乙转买甲的有户，原买乙转买甲的有32户，户， 转买丙的有转买丙的有64户；原买丙转买甲的有户；原买丙转买甲的有64户，转买乙的户，转买乙的 有有32户，求转移概率矩阵，并求户，求转移概率矩阵，并求10月、月、12月市场占有月市场占有 率及极限分布率及极限分布. 解：频数转移矩阵为解：频数转移矩阵为 得转移概率矩阵为得转移概率矩阵为 n个月的市场占有率为个月的市场占有率为 p(n)= p(0)