轨迹方程的求法(自己的)

1、x y o (1)(1)建系建系: : 建立直角坐标系；建立直角坐标系； (2)(2)设点设点: : 设所求动点设所求动点P(x,y);P(x,y); (4)(4)化简化简: : 化简方程；化简方程； (5)(5)检验检验：检验检验所得方程所得方程的纯粹性和完备性的纯粹性和完备性, , 多余的点要剔除多余的点要剔除, ,不足的点要补充。不足的点要补充。 (3)(3)列式列式: : 根据条件列出动点根据条件列出动点P P满足的关系式满足的关系式; ; 求动点轨迹方程的基本步骤是什么？求动点轨迹方程的基本步骤是什么？ 复习回顾复习回顾 题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平题目中的条件有明显

2、的等量关系，或者可以利用平 面几何知识推出等量关系，列出含动点面几何知识推出等量关系，列出含动点P（x,y）的的 解析式解析式. . 一、直接法一、直接法 【例题例题1 1】 ., 25 9 ,),05(),05( 的的轨轨迹迹方方程程求求顶顶点点于于所所在在直直线线的的斜斜率率之之积积等等 边边，的的两两个个顶顶点点坐坐标标分分别别是是 C BCACBAABC 则则有有的的坐坐标标为为解解：设设顶顶点点),(yxC 5 , 5 x y k x y k BCAC 25 9 55 x y x y 由由题题意意知知 0925259 22 yx化化简简得得 1 925 22 yx 即即 ) 5( x

3、)5( x )5( x 2.与圆与圆x2+y2-4x=0外切，且与外切，且与y轴相切的动圆圆心轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是的轨迹方程是_. y2=8x(x0)或或y=0(x0) 1.已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为距离的比为 1:2的点的轨迹的点的轨迹,则此曲线的方程是则此曲线的方程是_. 22 22 22 1 (1)4 2 (3) xy xy xy 平方化简得: 22 (1)4xy P A Bx y o 22 (2)2 |xyx 解：设动圆圆心为解：设动圆圆心为P(x,y). 由题，得由题，得 222 (2)(2 |)xyx 即即 -4x+y

4、2=4|x| 得动圆圆心的轨迹方程为得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x0) 【练习练习】 二、待定系数法二、待定系数法 题目已知曲线类型题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程正确设出曲线的标准方程, 然后结合问题的条件然后结合问题的条件,建立参数建立参数a,b,c,p 满足的满足的 等式等式,求得其值求得其值,再代入所设方程再代入所设方程. 1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且轴，且 经过点经过点P（-6，-3），则抛物线方程为），则抛物线方程为_ 2 12xy 【练习练习2】 ._4 1 2736 2 22 则双曲线方程为则双曲线方程为线的实轴长为

5、线的实轴长为 且双曲且双曲有共同的焦点有共同的焦点、设双曲线与椭圆、设双曲线与椭圆 ， ， yx 1 54 22 yx 三、定义法三、定义法 分析题设几何条件，根据分析题设几何条件，根据所学所学曲线的定义，曲线的定义， 判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲 线的方程线的方程. 已知圆已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0），），B（2，0），）， 分别求出满足下列条件的动点分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程. （1）PAB的周长为的周长为10; （2）圆）圆P与圆与圆A外切，且点外切，且点B在动圆在动圆P上（上（P为动圆圆心）

6、为动圆圆心）; （3）圆）圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切（相切（P为动圆圆心）为动圆圆心）. 【例题例题3】 【分析分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据 条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点 到A的距离等于P点到直线x=2的距离. 【解析解析】(1)(1)根据题意，知根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10|PA|+|PB|+|AB|=10， 即即|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=64=|AB|4=|AB|，故，故P

7、P点的轨迹是点的轨迹是椭圆椭圆， 且且2a=62a=6，2c=42c=4，即，即a=3a=3，c=2c=2，b=b= ， 因此其方程为因此其方程为 （y0y0）. . （2 2）设圆）设圆P P的半径为的半径为r r，则，则|PA|=r+1|PA|=r+1，|PB|=r|PB|=r， 因此因此|PA|-|PB|=1.|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，P P点的轨迹为点的轨迹为双曲线的右支双曲线的右支， 且且2a=12a=1，2c=42c=4，即，即a=a= ,c=2,b=,c=2,b= ， 因此其方程为因此其方程为 5 22 xy 1 95 1 2 15 2 2 2

8、 4y1 4x1(x) 152 （3）依题意，知动点）依题意，知动点P到定点到定点A的距离等于的距离等于 到定直线到定直线x=2的距离，故其轨迹为的距离，故其轨迹为抛物线抛物线， 且开口向左，且开口向左，p=4. 方程为方程为y2=-8x. 10 5 -5 -10 -15 y -20-101020 P O N M 1.动点动点P到定点到定点(-1，0)的距离与到点的距离与到点(1，0)距离之差为距离之差为2， 则则P点的轨迹方程是点的轨迹方程是_. 的的轨轨迹迹方方程程是是则则圆圆心心 相相内内切切同同时时与与圆圆 外外切切与与圆圆一一动动圆圆如如图图 P yxN yxMP ,100)3(:

9、,4)3(:, 22 22 2. 15 10 5 -5 -10 -30-20-1010 P N AB M . , , )0 , 3(,64)3( 22 的的轨轨迹迹方方程程求求动动点点 为为垂垂足足的的交交点点为为的的中中垂垂线线和和直直线线 线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆为为一一定定点点 的的方方程程为为已已知知圆圆 P NPAM MBAM ByxA 3. 1 3627 22 yx )1(0 xy 【练习练习3】 15 10 5 -5 -10 -30-20-1010 P N AB M ,:PBPM 由已知可得由已知可得解解 ., , ,)0 , 3(,64)3( 22 的的轨轨迹迹

10、方方程程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为 的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆 为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆 PNP AMMBAM ByxA 6, 4 ABAM又又 为为焦焦点点的的椭椭圆圆的的轨轨迹迹是是以以点点BAP, )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 设设椭椭圆圆的的方方程程为为 62 , 82: ca由由题题意意得得 1 716 22 yx P的的轨轨迹迹方方程程为为点点 AMPAPM 且且 ABPBPAPMPA 8 734 222 b 【练习练习3】第第3题题 15 10 5 -5 -10 -15 -20-1010

11、20 P N A B M 【练习练习3】第第3题题-变式变式 ., , ,)0 , 3(,16)3( 22 的的轨轨迹迹方方程程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为 的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆 为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆 PNP AMMBAM ByxA 16 ., , ,)0 , 3(,16)3( 22 的的轨轨迹迹方方程程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为 的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆 为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆 PNP AMMBAM ByxA 16 【练习练习3】

12、第第3题题-变式变式 ,:PBPM 由已知可得由已知可得解解 15 10 5 -5 -10 -15 -20-101020 P N A B M 6, 4 ABAM又又64 PAPBPAPM 为为焦焦点点的的双双曲曲线线的的左左支支的的轨轨迹迹是是以以点点BAP, )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 设设双双曲曲线线的的方方程程为为 62 , 42: ca由由题题意意得得 523 222 b )2(1 54 22 x yx P的的轨轨迹迹方方程程为为点点 AMPAPM 且且 AMPAPM 且且 ABPAPBPAPM 4 四、代入法（相关点法）四、代入法（相关点法） 当所求动点当

13、所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲的运动很明显地依赖于一已知曲 线上的动点线上的动点Q的运动时，可利用的运动时，可利用代入法代入法，其关键是，其关键是 找出两动点的坐标的关系。找出两动点的坐标的关系。 设所求动点设所求动点 P坐标坐标 (x,y)，再设与，再设与P相关的已相关的已 知点坐标为知点坐标为Q(x0,y0)，找出，找出P.Q之间的坐标关系，之间的坐标关系， 并表示为并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点，根据点Q的运动规律得的运动规律得 出关于出关于x0,y0的关系式的关系式,把把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式代入关系式 中中,即得所求轨迹方程即得所求轨迹方程.

14、 此法实际上是利用中间此法实际上是利用中间 变量变量x0,y0求轨迹方程求轨迹方程 【例题例题4】 . )0 , 6(,1 916 22 连连线线的的中中点点的的轨轨迹迹方方程程 求求它它与与定定点点上上移移动动一一动动点点在在椭椭圆圆M yx 【练习练习4】2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -4-3-2-11234 P N O M 的的轨轨迹迹方方程程。 的的中中点点为为垂垂足足，求求线线段段，作作垂垂线线段段 轴轴向向，从从圆圆上上任任意意一一点点已已知知圆圆 PMNNMN xMyx4. 1 22 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10-5510

15、P B A O . , ,2. 2 的的轨轨迹迹方方程程求求点点 且且满满足足上上在在点点轴轴上上滑滑动动和和 轴轴分分别别在在和和两两个个端端点点长长为为线线段段 P BPPAABPy xBAaAB 1 4 2 2 y x 222 ayx 五、参数法五、参数法 如果轨迹动点如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找）的坐标之间的关系不易找 到，也没有相关点可用时，可先考虑将到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一用一 个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数参数 法中常选角、斜率等为参数法中常选角、斜率等为参数. 【例题例题5】 解：解：设动

16、直线方程为：设动直线方程为：y=x+b， 和椭圆方程联立得：和椭圆方程联立得： x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0 设中点设中点M（x，y），），则则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与联立消去参数与联立消去参数b， 得：得：x+4y-2=0 （椭圆内的一段）（椭圆内的一段） 倾斜角为倾斜角为45450 0的直线与椭圆的直线与椭圆 交交于于A A、B B 两点，求两点，求ABAB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。 x y o A B 1 4 )2( 2 2 y x 【练习练习5】 1.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭圆 相交，相交，求求弦中点的轨迹方

17、程。弦中点的轨迹方程。 1 4 )2( 2 2 y x 2. 如图如图,过点过点A(-3,0)的直线的直线l与曲线与曲线C： x2+2y2=4交于交于A,B两点两点.作平行四边形作平行四边形 OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。 A ox y B C P o x y M A 【练习练习5】 解：设解：设OA斜率为斜率为k（kR），）， 由由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（得：（1+4k2）x2-4x=0 设中点设中点M（x，y），则），则 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2） k=y/x 消参数得：消参数得： x2+4y2-2x=0 1.1.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭

18、圆 相交，相交，求求弦中弦中 点的轨迹方程。点的轨迹方程。 o x y M A 1 4 )2( 2 2 y x 2.如图如图,过点过点A(-3,0)的直线的直线l与曲线与曲线C：x2+2y2=4交于交于 A,B两点两点.作平行四边形作平行四边形OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。 A o x y B C P G 解法一解法一：利用韦达定理 解法二解法二：点差法 连PO交CB于G. 设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则 x12+2y12=4 x22+2y22=4 作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0 即x0+y0k

19、=0 又k= 0 0 3 y x 解得， x0= 2 2 3 1 k k 2 3 1 k k y0= x= 2 2 6 1 k k 2 6 1 k k y= 因此 消去k,得(x+3)2+y2=9 故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆. ? 【练习练习5】 直接法直接法 当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时, , 可用可用直接法直接法. . 待定系数法待定系数法 已知曲线的类型和位置已知曲线的类型和位置, ,可设出曲线方程可设出曲线方程, ,利用利用待待 定系数法定系数法求解求解. . 定义法定义法 分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断分析