大学物理D第4章

1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 1 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 4-1 4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 4-4 4-4 力矩作功力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 2 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 1.1.理解刚体和转动惯量的概念，能算简单规则刚体的转动惯量理解刚体和转动惯量的概念，能算简单规则刚体的转动惯量 2.2.理解理解力矩的概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理力矩的概念，掌握刚体绕

2、定轴转动的转动定理 3.3.理解理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转 5.5.能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的单系统的 4.4.理解刚体运动中的功能关系，理解刚体运动中的功能关系，掌握刚体绕定轴转动的掌握刚体绕定轴转动的功能功能 动情况下的角动量守恒问题动情况下的角动量守恒问题 原理和机械能守恒定律原理和机械能守恒定律 力学问题力学问题. . 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 3 4-1 4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 一、刚体的平动与定轴转动一、刚体的平动与定

3、轴转动 1.1.刚体：形状和大小都不发生变化的物体。刚体：形状和大小都不发生变化的物体。 刚体的运动形式：平动、转动。刚体的运动形式：平动、转动。 2.2.平动：刚体内任意两点间的连线总是保持平行。平动：刚体内任意两点间的连线总是保持平行。 3.3.转动：刚体中所有的点都绕同一直线做转动：刚体中所有的点都绕同一直线做 圆周运动，圆周运动， 转动又分定轴转动和非定轴转动，转动又分定轴转动和非定轴转动， 二、刚体转动的角速度和角加速度二、刚体转动的角速度和角加速度 1.1.角坐标：角坐标：)(t 12 2.2.角位移：角位移： 刚体的平面运动刚体的平面运动。 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1

4、4 d dt dt d 3.3.角速度：角速度： 4.4.角加速度：角加速度： 角速度的方向：右手螺旋方向角速度的方向：右手螺旋方向 角加速度的方向：角速度增量方向角加速度的方向：角速度增量方向 0 z 0d 0 0 z 0d 0 与与 一致，加速转动一致，加速转动 0 z 0d 0 与与 相反，减速转动相反，减速转动 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 5 O o 三、刚体定轴转动的特点三、刚体定轴转动的特点 1.1.定轴转动的刚体可用一转动平面代表定轴转动的刚体可用一转动平面代表 i dm A A 直线直线AA 作平动作平动 2.2.每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周

5、运动，圆面为转动平面； 3.3.任一质点运动的任一质点运动的d 、 、 均相同，均相同， i dm o 但线量但线量v、a不同不同 4.4.运动描述仅需一个坐标变量运动描述仅需一个坐标变量角度角度 四、匀变速转动公式四、匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时， v 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 at 0 vv 2 2 1 00 attxxv )(2 0 2 0 2 xxa vv t 0 )(2 0 2 0 2 2 2 1 00 tt 刚体做匀变速转动刚体做匀变速转动 第四章第四章 刚体的转动刚体

6、的转动1 6 2 tn ar ere 五、角量与线量关系五、角量与线量关系 dt d 2 2 dt d dt d rs rv ra 2 ran r v 角量：角量： 线量线量: : r t e v t a n a a 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 7 例例. 一绕中心轴高速转动的飞轮，起动时一绕中心轴高速转动的飞轮，起动时 0 0=0=0，经，经300s300s后，其转后，其转 速达到速达到18000r/min18000r/min，已知飞轮的角加速度与时间成正比，求在这，已知飞轮的角加速度与时间成正比，求在这 段时间内，飞轮转过多少转？段时间内，飞轮转过多少转？ 解：解： ct d c

7、t dt 得得 2 2 1 ct 当当t=300s t=300s 时时18000min600 rad /sr/ 33 22 srad 75 srad 300 60022 t c 00 t dctdt 飞轮的角速度飞轮的角速度 22 1 2150 ctt 由角速度定义由角速度定义 d dt 2 00 150 t dt dt 3 450 t 在在 300s300s内飞轮转过的转数内飞轮转过的转数 34 (300)3 10 22 450 N 圈圈 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 8 4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 MFdd =力臂力臂 刚体绕刚体绕OZOZ轴旋转轴

8、旋转, , 力力 作用在刚体作用在刚体F FrM 对转轴对转轴Z Z的力矩的力矩 F 0,0 ii FM i F i F 一、力矩一、力矩 P z * O M F r d M r 上点上点P,P,且在转动平面内，且在转动平面内， 为由点为由点O O到到 力的作用点力的作用点P P的径矢。的径矢。 sinFr 1.1.力矩的定义式力矩的定义式 F F 0,0 ii FM sinMrF 方向是右手定则方向是右手定则 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 9 O 2.2. 说明说明 (1)(1)若力不在转动平面内，把力分解为平行若力不在转动平面内，把力分解为平行 和垂直于和垂直于转轴方向的两个分量：

9、转轴方向的两个分量： k F z O r z F F FFF z sin rFM z (2)(2)合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和 321 MMMM (3)(3)刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 j r i r d ij M ji M i j ij F ji F sin ijiijiiij MrFrF sinsin iiijjj rFrF sin jijjijjji MrFrF Fd jiij MM i j 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 10 二、转动定律二、转动定律 1.1.定律导出：定律导出： O z i dmi r i

10、F ij f i iii d Ffdm dt v iij ij ff Fi与与fi是已经在平面上的外力和内力是已经在平面上的外力和内力 i i 2 () i i Jdm r 圆周运动的切向分量圆周运动的切向分量 ： sinsin iiiiii i Ffdm adm r 二边乘二边乘ri，得，得 2 sinsin i iii iii i Frf rdm r 2 iii i MMdm r 2 () iii i MMdmr . 其中其中0 i M dt d JJM M 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 11 2.2. 转动定律意义转动定律意义 (1)(1)其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动

11、中地位相当其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当 (2)(2)转动定律定义了物体转动的惯性大小量度转动定律定义了物体转动的惯性大小量度 即即J 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性 就越大；反之，就越大；反之，J 越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态 的能力越弱，或者说转动惯性越小。的能力越弱，或者说转动惯性越小。 三、转动惯量三、转动惯量 MJFma 1.1.定义：定义： 22 i i Jdm rr dm 2.2.转动惯性与质量有关、与质量分布有关、与转动轴有关转动惯性与质

12、量有关、与质量分布有关、与转动轴有关 物理意义：转动惯性的量度物理意义：转动惯性的量度 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 12 3.3.转动惯量的计算转动惯量的计算 (1)(1)质量离散分布质点系的转动惯量质量离散分布质点系的转动惯量 222 1 12 2i i Jmrmrm r (1)(1)质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量 22 i i Jdmrr dm 例例1.1.如图示，一正方形边长为如图示，一正方形边长为l，它的四个顶点各有一个质量为，它的四个顶点各有一个质量为 m的质点，求此系统对的质点，求此系统对(1)z(1)z1 1轴；轴；(2)z(2)z2 2轴；轴；(

13、3)z(3)z3 3轴的转动惯量。轴的转动惯量。 解解： 22 2 ) 2 (4ml l mrmJ ii (1)(1) 1 z (2)(2) 222 3 2) 2 2 (4mllmrmJ ii 2 z 2 2 2mlJ 3 zo (3)(3) 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 13 例例2. 2. 有一匀质细杆长度为有一匀质细杆长度为l，质量为，质量为m m。求细杆对于与杆垂直的。求细杆对于与杆垂直的 转轴的转动惯量，转轴的转动惯量，(1)(1)轴在杆的一端；轴在杆的一端；(2)(2)轴在杆的中心轴在杆的中心。 解解： x (1)(1) l m dmdx 22 dJx dmx dx 232

14、 1 0 11 33 L JdJx dxlml (2)(2) dx x 2 2 2 2 L L Jx dx 2 32 2 2 11 33 412 l l m l xml dx x 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 14 例例3.3.如图有一质量均匀分布的细圆环，半径为如图有一质量均匀分布的细圆环，半径为r r，质量为，质量为m m，求，求 圆环对过圆心并与环面垂直的转轴的转动惯量。圆环对过圆心并与环面垂直的转轴的转动惯量。 r o 解解： dmrdJ 2 2 rdl 2 rdl 2 r rd 2 322 0 2Jr dr rmr 例例4.4.如图所示有一质量均匀分布的圆盘，如图所示有一质量

15、均匀分布的圆盘，半径为半径为R，质量为，质量为m，求求 圆盘对过圆心并与圆盘垂直的转轴的转动惯量。圆盘对过圆心并与圆盘垂直的转轴的转动惯量。 解解：R o rdr 2 /mR drrdmrdJ 32 2 利用上题结果利用上题结果 342 0 11 2 22 R JdJr drRmR 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 15 2 mdJJ CO 补充平行轴定理补充平行轴定理 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置。转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置。 质量为质量为m的刚体，如果对其质心的刚体，如果对其质心 d C O m 22 2 1 mRmRJP 圆盘对圆盘对P P

16、轴的转动惯量轴的转动惯量 P RmO 轴的转动惯量为轴的转动惯量为JC ,则对任一与该轴则对任一与该轴 平行，相距为平行，相距为d的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量 1.1.平行轴定理内容平行轴定理内容 2.2.说明说明 C / 2l O 细杆对细杆对O O 轴的转动惯量轴的转动惯量 22 1 ( ) 122 O l Jmlm 2 1 3 ml 3. 回转半径的概念回转半径的概念 如圆柱体的转动惯量为：如圆柱体的转动惯量为： 2 O Jm O J m 2 1 2 O JmR 2 R 4.4.转动惯量叠加定理转动惯量叠加定理 若一个复杂形状的物体是由许多简单形体若一个复杂形状的物体是由许多简单形体

17、 组成，则这个复杂物体的对某轴的转动惯量组成，则这个复杂物体的对某轴的转动惯量 等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加等于各简单形体对同一转轴的转动惯量之叠加. 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 16 绳索的张力各为多少？绳索的张力各为多少？(2)(2)物体物体B从静止下落距离从静止下落距离y 时，其速率是时，其速率是 2 1 2 C Jm R 多少？多少？(3)(3)若滑轮与轴承间的摩擦力矩为若滑轮与轴承间的摩擦力矩为Mf，再求加速度及张力。，再求加速度及张力。 A B C A m B m C m 例例5 5 质量为质量为m mA A的物体的物体A A静止在光滑水平面上，和一质量不计的

18、绳索静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索 相连接，绳索跨过一半径为相连接，绳索跨过一半径为R,质量为质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在，并系在 另一质量为另一质量为mB的物体的物体B上上. 滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计承间的摩擦力可略去不计. . 问问:(1):(1)两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 解：解：(1)(1) 2T F B m g B m y o A m g T1 F N F A m T2 F T1 F C m g C F xo amF AT1 amFgm BT2B JRFRF T1T2 Ra

19、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动1 17 2 CBA B mmm gm a 2 CBA BA T1 mmm gmm F 2 )2( CBA BCA T2 mmm gmmm F 如令如令 ，可得，可得0 C m A B C A m B m C m 1T F 2T F BA BA T2T1 mm gmm FF （2 2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落由静止出发作匀加速直线运动，下落y的速率的速率v 2/ 2 2 CBA B mmm gym ay v 0 y 22 00 2 ()a yyvv 00 0,0,0tyv (3)(3)考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩Mf ，则结果为，则结果为 结合结合(1)(1)中其它方程中其它方程 JMRFRF fT1T2 amF AT1 amFgm BT2B Ra JMRFRF fT1T2 2/ )/( CBA fBA T1 mmm RMgmm F 2 )2( CBA fCAB T2 mmm RMgmmm F 2/ CBA fB mmm RMgm a 2 1 2 C Jm R A m g T1 F N F A m a T2 F T1 F C m g C F f M 2T F B m g B m a 第四