第2章 内力篇-弯曲杆件-2013级

1、第第 2 2 章章 应力状态分析应力状态分析-内力篇内力篇 2.1.3 2.1.3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 2.1.4 2.1.4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2.1.5 2.1.5 载荷、剪力与弯矩间的关系载荷、剪力与弯矩间的关系 2.1.1 2.1.1 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 2.1.2 2.1.2 扭转杆件的内力扭转杆件的内力 弯曲（弯曲（bending ) 工程中有许多发生弯曲的构件工程中有许多发生弯曲的构件 弯曲（弯曲（bending ) 工程中有许多发生弯曲的构件工程中有许多发生弯曲的构件 肋梁楼板肋梁楼板 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 弯曲（弯曲（be

2、nding ) 平面弯曲（平面弯曲（plane bending ) 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 弯曲（弯曲（bending ) 受力特点受力特点： （集中力、分布力、集中力偶、（集中力、分布力、集中力偶、 分布力偶）作用在杆过轴线的对称分布力偶）作用在杆过轴线的对称 平面内，并垂直于轴线。平面内，并垂直于轴线。 变形特点变形特点： 轴线由直线变成了在轴线由直线变成了在过轴线过轴线 对称平面内的平面对称平面内的平面曲线。曲线。 平面弯曲（平面弯曲（plane bending ) 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时， 梁的挠曲线与外力所在平面相重合梁的挠曲

3、线与外力所在平面相重合，这种，这种 弯曲称为弯曲称为平面弯曲。平面弯曲。 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 弯曲（弯曲（bending ) 受力特点受力特点： （集中力、分布力、集中力偶、（集中力、分布力、集中力偶、 分布力偶）作用在杆过轴线的对称分布力偶）作用在杆过轴线的对称 平面内，并垂直于轴线。平面内，并垂直于轴线。 变形特点变形特点： 轴线由直线变成了在轴线由直线变成了在过轴线过轴线 对称平面内的平面对称平面内的平面曲线。曲线。 平面弯曲（平面弯曲（plane bending ) 发生弯曲变形的杆件称为发生弯曲变形的杆件称为梁梁 （beam）。）。 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 载荷的简化

4、：载荷的简化：集中荷载，集中力偶，分布荷载集中荷载，集中力偶，分布荷载 梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到 轴线上。轴线上。 2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 一端是固定铰支约束，另一一端是固定铰支约束，另一 端可动铰支约束，为端可动铰支约束，为简支梁简支梁 梁的支承的简化梁的支承的简化 简支梁的计算简图简支梁的计算简图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 一端为固定约束，另一端自一端为固定约束，

5、另一端自 由，即没有约束，为由，即没有约束，为悬臂梁悬臂梁 梁的支承的简化梁的支承的简化 悬臂梁悬臂梁计算简图计算简图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 简支梁简支梁如图所示，若约束反如图所示，若约束反 力力 、 已求出，用截面法可已求出，用截面法可 求梁任意横截面求梁任意横截面 II 上的内力上的内力 剪力剪力（shearing force） 弯矩弯矩（bending moment） A F B F ( )0 y AS FqxFx0 y F ( ) y sA FxqxF 0 c M （对过截面形心（对过截面形心 C 的的 轴轴 取矩，今后写为取

6、矩，今后写为 ） z C M ( )0 2 AZ x F xqxMx 2 ( ) 2 zA q MxF xx 剪力、弯矩的正负号剪力、弯矩的正负号 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 ( ) y sA FxqxF 2 ( ) 2 zA q MxF xx 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 建议：求截面FS和Mz时，均按规定正向假设。 剪力剪力F FS Sy：作用线平行于横截面；：作用线平行于横截面； 大小大小等于该截面左侧或右侧（保等于该截面左侧或右侧（保 留部分）梁上所有横向外力的合留部分）梁上所有横向外力的合 力值；力值；正负号正负号：使杆件发生逆时

7、使杆件发生逆时 针转动的趋势为正，反之为负。针转动的趋势为正，反之为负。 弯矩弯矩M Mz z：矩失沿：矩失沿z轴；其值等于轴；其值等于 该截面左侧或右侧（保留部分）该截面左侧或右侧（保留部分） 梁上所有外力向截面形心取矩的梁上所有外力向截面形心取矩的 代数和；代数和；正负号正负号：使杆件下部受使杆件下部受 拉为正，反之为负。拉为正，反之为负。 2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 例例1 1 外伸梁受力与支承情况如下图所示，求1-1、2-2两 截面的剪力与弯矩。 解： 1）求约束反力 2）求1-1截面上的剪力、弯矩 3）求2-2截面上的剪力、弯矩 0 2 54 1.5 4 20

8、 BA MF 5.5kN A F 0 4 1.5 4 22 10 AB MF 2.5kN B F 1 0 2kN y ys FF 1 0 2kN m cz MM 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 2-1-3 梁的内力梁的内力 剪力与弯矩剪力与弯矩 例例1 1 外伸梁受力与支承情况如下图所示，求1-1、2-2两 截面的剪力与弯矩。 解： 1）求约束反力 2）求1-1截面上的剪力、弯矩 3）求2-2截面上的剪力、弯矩 5.5kN A F 2.5kN B F 1 0 2kN y ys FF 1 0 2kN m cz MM 2 0 2.5 1.5 20.5kN y y s F F 2 0 2.5 2 1.

9、5 2 12kN m c z M M 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 1)内力方程：梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变 化的，描述这种变化的数学表达式 ss ( ) ( ) yy zz FFx MMx 分别称为剪力方程和弯矩方程。分别称为剪力方程和弯矩方程。 FSy 、Mz为纵坐标; x轴为 横坐标，与梁的轴线一致 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 2）剪力图和弯矩图： 剪力图剪力图剪力方程剪力方程 Fsy（x）的图线表示；）的图线表示； 弯矩图弯矩图弯矩方程弯矩方程 Mz（x）的图线表示；）的图线表示； 注意：内力方程的分段！分段点设在外力有突变的截面处。注意：内力方程的分段！分

10、段点设在外力有突变的截面处。 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 例例2 2 下图所示简支梁，受集中力下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力方作用，试列出梁的剪力方 程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。 解： 1） 求支座约束反力并验算求支座约束反力并验算 2） 分段列剪力与弯矩方程分段列剪力与弯矩方程 分分AC段和段和BCBC段段建立内力方程。建立内力方程。 ( ) yy ss FFx剪力方程剪力方程 ( ) zz MMx 剪力图剪力图 21 33 AB FFFF 根据力平衡方程得根据力平衡方程得 ，AC段段： 11 2 (

11、) (0) 33 y s l FxFx 11 2 ( ) (0) 33 z l MxFxx 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 注意：内力方程的分段！注意：内力方程的分段！ 分段点设在外力有突变分段点设在外力有突变 的截面处。的截面处。 弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 例例7-2 7-2 下图所示简支梁，受集中力下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力作用，试列出梁的剪力 方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。 解：解： 1） 求支座约束力求支座约束力 2） 分段列剪力与弯矩方程分段列剪力与弯矩方程 ( ) yy ss

12、 FFx剪力方程剪力方程 ( ) zz MMx 剪力图剪力图 21 33 AB FFFF 22 1 () () 33 y s l FxFxl 222 ()() () 33 z Fl Mxlxxl 分分AC段和段和BCBC段段建立内力方程。建立内力方程。 根据力平衡方程得根据力平衡方程得 ，BC段段： 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 注意：内力方程的分段！注意：内力方程的分段！ 分段点设在外力有突变分段点设在外力有突变 的截面处。的截面处。 弯矩方程 弯矩图 例例2 2 下图所示简支梁，受集中力下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力方作用，试列出梁

13、的剪力方 程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。 解：解： 1） 求约束反力并验算求约束反力并验算2） 分段列剪力与弯矩方程分段列剪力与弯矩方程 AC段段 ： BC段段 ： ( ) yy ss FFx剪力方程 ( ) zz MMx 剪力图 11 2 ( ) (0) 33 y s l FxFx 11 2 ( ) (0) 33 z l MxFxx 22 1 () () 33 y s l FxFxl 222 ()() () 33 z Fl Mxlxxl 3） 作剪力图与弯矩图作剪力图与弯矩图 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 注意：

14、内力方程的分段！注意：内力方程的分段！ 分段点设在外力有突变分段点设在外力有突变 的截面处。的截面处。 弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 例例2 2 下图所示简支梁，受集中力下图所示简支梁，受集中力F作用，试列出梁的剪力方作用，试列出梁的剪力方 程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。 解：解： 1） 求约束反力并验算求约束反力并验算2） 分段列剪力与弯矩方程分段列剪力与弯矩方程 ( ) yy ss FFx剪力方程剪力方程 ( ) zz MMx 剪力图剪力图 3） 作剪力图与弯矩图作剪力图与弯矩图 在集中力作用处，剪力在集中力作用处，剪力 发生突变，其突变量就等于发生

15、突变，其突变量就等于 集中力的数值；弯矩连续，集中力的数值；弯矩连续， 但弯矩图在此出现折点（斜但弯矩图在此出现折点（斜 率不连续的点）。率不连续的点）。 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 弯矩方程弯矩方程 ( ) yy ss FFx剪力方程剪力方程 ( ) zz MMx 1 2 2 (0) 33 ( ) 1 () 33 y s l Fx Fx l Fxl 1 22 2 (0) 33 ( ) () () 33 z l Fxx Mx Fl lxxl 步骤：沿坐标为步骤：沿坐标为x x的横截面将梁截开，取出其中一段，分别应的横截面将梁截开，取出其中一段，分别应

16、 用用力的平衡方程力的平衡方程和和力矩的平衡方程力矩的平衡方程，即可得到剪力，即可得到剪力F FS Sy y( (x x) )和弯和弯 矩矩M Mz z( (x x) )的表达式，即剪力方程的表达式，即剪力方程F FS Sy y ( (x x) )和弯矩方程 和弯矩方程M Mz z( (x x) )。 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 步骤：沿坐标为步骤：沿坐标为x x的横截面将梁截开，取出其中一段，分的横截面将梁截开，取出其中一段，分 别应用别应用力的平衡方程力的平衡方程和和力矩的平衡方程力矩的平衡方程，即可得到剪力，即可得到剪力 F FQ Q( (x

17、x) )和弯矩和弯矩M M( (x x) )的表达式，即剪力方程的表达式，即剪力方程F FQ Q( (x x) )和弯矩方程和弯矩方程 M M( (x x) )。 弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 ( ) yy ss FFx剪力方程剪力方程 ( ) zz MMx 剪力图剪力图 练习练习: : 确定图中所示梁的剪力确定图中所示梁的剪力 方程和弯矩方程矩图。方程和弯矩方程矩图。 解：解：1. 1. 求支座约束力求支座约束力 RR 2 AB ql FF 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 弯矩方程弯矩方程 弯矩图弯矩图 ( ) yy ss FFx剪力方程剪力方程 (

18、 ) zz MMx 剪力图剪力图 练习：练习： 确定图中所示梁的剪力确定图中所示梁的剪力 方程和弯矩方程方程和弯矩方程, ,并作内力图。并作内力图。 解：解：1 1） 求支座约束力求支座约束力 RR 2 AB ql FF 2 2） 分段列剪力和弯矩方程分段列剪力和弯矩方程 无需分段建立剪力方程和弯矩方程无需分段建立剪力方程和弯矩方程 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 3 3） 确定剪力方程和弯矩方程确定剪力方程和弯矩方程 由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 0 y F RS 0 Ay Fqx Fx+ R 0 2 A x M xFxqx 0M 以以A、B之

19、间坐标为之间坐标为x的任的任 意截面为假想截面，将梁意截面为假想截面，将梁 截开，取左段为研究对象截开，取左段为研究对象 ，在截开的截面上标出剪，在截开的截面上标出剪 力力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x)的正方的正方 向。向。 SR 0 2 yA ql FxqxFqxxl 2 0 22 qlxqx M xxl 第第7章章 弯曲弯曲 解： 4）画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图 x =l/2，弯矩有极大值Mzmax=ql2/8 ( ) (0) 2 y s ql Fxqxxl 2 ( ) (0) 22 z qlq Mxxxxl 3 3） 确定剪力方程和弯矩方程确定剪力方程和弯矩方程 0 2d )(d

20、qx ql x xM z 求极值 剪力为零处，弯矩出现极值剪力为零处，弯矩出现极值 例例3 3 如图所示外伸梁，F、a已知，试作其 、Mz图。 解：解： 1）求支座约束力）求支座约束力 2）分段列内力方程）分段列内力方程 y S F 53 22 AB FFFF 11 111 ( ) (0) ( ) (0) y s z FxFxa MxFxxa 分AC段、AD段、BD段建立内力 方程。 根据力平衡方程得 ， CA段： 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 例例7-3 7-3 如图所示外伸梁，F、a已知，试作其 、Mz图。 解：解： 1）求支约束力）求支约束力 2

21、）分段列内力方程）分段列内力方程 y S F 53 22 AB FFFF 22 2221 53 () (2 ) 22 5 ()() (2 ) 2 y s z FxFFFaxa MxFxF xaaxa 分AC段、AD段、BD段建立内力 方程。 根据力平衡方程得 ，AD段： 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 解：解： 33 333 3 () (23 ) 2 3 ()(3) (23 ) 2 y s z FxFaxa MxFaxaxa 例例7-3 7-3 如图所示外伸梁，F、a已知，试作其 、Mz图。 y S F 2）分段列内力方程）分段列内力方程 分分AC段、段

22、、AD段段、BD 段段建立内力方程。建立内力方程。 根据力平衡方程得根据力平衡方程得 ， DB段段： 2-1-4 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 3）绘剪力图和弯矩图绘剪力图和弯矩图 在集中力偶作用处，在集中力偶作用处，剪力连续，弯矩发生突变，剪力连续，弯矩发生突变， 其突变量就等于集中力偶矩的值。其突变量就等于集中力偶矩的值。 1 2 3 11 221 33 (0) 53 ( ) (2 ) 22 3 (23 ) 2 (0) 5 ( )() (2 ) 2 3 (3) (23 ) 2 y s z Fxa FxFFFaxa Faxa Fxxa MxFxF xaaxa F

23、axaxa 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 2-1-5 载荷、剪力与弯矩间的关系载荷、剪力与弯矩间的关系 0 y F ( )( )( )d( )0 yyy SSS q x dxFxFxFx 0 C M d ( )( )d( )d( )d( )0 2 y zSzz x MxFxxq xxMxMx 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 内力突变规律内力突变规律 2-1-5 载荷、剪力与弯矩间的关系载荷、剪力与弯矩间的关系 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 一段梁上的一段梁上的 外力情况外力情况 剪力图的特征剪力图的特征 弯矩图的特征弯矩图的特征 最大弯矩所在截最大弯矩所在截 面的可能位置面的可能位置 q0 向下

24、的均布荷载向下的均布荷载 无荷载无荷载 集中力集中力 F C 集中力偶集中力偶 m C 上凸的二次抛上凸的二次抛 物线物线 在在FS=0的截面的截面 一般斜直线一般斜直线 或或 在在C处有突变处有突变 F 在在C处有尖角处有尖角 在剪力突变的在剪力突变的 截面截面 在在C处无变化处无变化 C 在在C处有突变处有突变 m 在紧靠在紧靠C的某一的某一 侧截面侧截面 向左下倾斜的直线向左下倾斜的直线 水平直线水平直线 2 各种荷载下剪力图与弯矩图的形态各种荷载下剪力图与弯矩图的形态： 弯曲杆件的内力弯曲杆件的内力 F FAy Ay 0.89 kN 0.89 kN F FFy Fy 1.11 kN 1.11 kN FBY BA 1.5m1.5m1.5m FAY 1kN.m 2kN D C （+） （-） Fsy（ kN） 0.89 1.11 练习练习1： 作图示梁的作图示梁的FSyMz图。图。 （-）（-） M