高中数学 第一章 立体几何初步 1.4 空间图形的基本关系与公理 第1课时 空间图形的公理（公理1、2、3）学案 北师大版

1、学必求其心得，业必贵于专精第1课时空间图形的公理(公理1、2、3）1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的基本构成点、线、面的基本位置关系。2。理解异面直线的概念，以及空间图形的基本关系。（重点、易错点)3。掌握空间图形的公理1、2、3.（重点、难点）基础初探教材整理1空间图形的基本关系阅读教材p22p23“练习”以上部分，完成下列问题.位置关系图形表示符号表示点与线的位置关系点a不在直线a上aa点b在直线a上ba点与面的位置关系点a在平面内a点b在平面外b直线与直线的位置关系平行ab相交abo异面a与b异面直线与平面的位置关系线在面内a线面相交aa线面平行a平面与平面的位置关系面面平

2、行面面相交a(1）不平行的两条直线的位置关系为相交。()（2)两个平面的交线可以是一条线段.()(3)直线l在平面内，可以表示为“l。()（4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线.（）【解析】(1）不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故(1)错.(2）两个平面的交线是直线,故(2)错。(3）正确.（4)可能相交或平行，故（4）错。【答案】（1)(2）（3）(4）教材整理2空间图形的公理阅读教材p23“练习以下至p25“公理4”以上部分,完成下列问题。1.三个公理：名称内容图形表示符号表示公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面)若a,b，c三点不共线,则

3、点a，b，c确定一个平面使a，b，c公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内）若al,bl，a，b，则l 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若a，a，且与不重合，则l，且al.2。公理1的三个推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。推论2：两条相交直线确定一个平面。推论3:两条平行直线确定一个平面.公理1及其推论给出了确定平面的依据。两个平面若有三个公共点，则这两个平面(）a。相交b.重合c。相交或重合d.以上都不对【解析】若三个点在同一条直线上，则两平面可能相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合

4、.【答案】c小组合作型空间点、线、面的位置关系(1)如果a，b，laa，lbb，那么l与的位置关系是_.图1。4.1(2)如图1。4。1，在正方体abcd。abcd中，哪几条棱所在的直线与直线bc是异面直线？【精彩点拨】(1)把文字语言翻译成图形语言，作出判断；（2）可借助空间中的实物模型判断.【自主解答】(1)如图，l上有两点a，b在内，根据公理2，l.【答案】直线l在平面内（2)棱dc,ab，aa，dd，ad，ad所在的直线与直线bc是异面直线。1.判断空间点、线、面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，对位置关系做出判断。2。对于异面直线,它们“不同在任何一个平面

5、内，注意对关键词“任何”的理解。再练一题1.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)a，b；(2)l，ma，al；（3）pl，p;ql,q.【解】(1)点a在平面内，点b不在平面内；（2）直线l在平面内，直线m与平面相交于点a，且点a不在直线l上；（3）直线l经过平面外一点p和平面内一点q.图形分别如图(1）（2)（3)所示.点线共面问题证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内。 【导学号：39292015】【精彩点拨】先说明两条相交直线确定一个平面,然后证明另外一条直线也在该平面内。或利用公理1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面，然后证明,重合

6、。【自主解答】已知：如图所示,l1l2a,l2l3b，l1l3c.求证：直线l1,l2，l3在同一平面内。法一：l1l2a，l1和l2确定一个平面.l2l3b，bl2又l2，b.同理可证c，又bl3,cl3,l3。直线l1，l2,l3在同一平面内。法二：l1l2a，l1，l2确定一个平面。l2l3b，l2,l3确定一个平面.al2，l2，a.al2，l2,a.同理可证,b,b,c,c。不共线的三个点a，b,c既在平面内，又在平面内，平面和平面重合，即直线l1,l2，l3在同一平面内。证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2,常用方法有：(1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这

7、个平面内,即用“纳入法”；（2)先由其中一部分点、线确定一个平面,其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法”；（3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”。再练一题2。已知al,bl,cl，dl(如图1。4。2），求证:直线ad，bd，cd共面.图1。4。2【证明】因为dl，所以d和l可确定一平面，设为.因为al,所以a.又d，所以ad.同理bd，cd，所以ad,bd，cd都在平面内，即它们共面。探究共研型点共线与线共点问题探究1如图14。3所示,在空间四边形各边ad，ab,bc,cd上分别取e，f，g,h四点，如果ef，gh交于一点p,那么点p，b，d共线吗？请说明理由。

8、图1.4。3【提示】连接bd.ef，hg相交于一点p，且ef平面abd，gh平面cbd，p平面abd且p平面cbd.又平面abd平面bcdbd,pbd，点p,b,d共线.探究2如图144，在正方体abcd。a1b1c1d1中,设线段a1c与平面abc1d1交于q，能否判断b，q，d1三点共线？图1。4。4【证明】d1平面abc1d1，d1平面a1d1cb，b平面abc1d1，b平面a1d1cb，平面abc1d1平面a1d1cbbd1。a1c平面abc1d1q，且a1c平面a1d1cb，q平面a1d1cb,q平面abc1d1，q在两平面的交线bd1上，b，q,d1三点共线。 已知abc在平面外，

9、它的三边所在的直线分别交平面于p,q，r(如图1。45）.求证：p，q，r三点共线.图1。45【精彩点拨】解答本题可以先选两点确定一条直线,再证明第三点也在这条直线上.【自主解答】证明：法一：abp，pab,p平面。又ab平面abc，p平面abc。由公理3可知，点p在平面abc与平面的交线上。同理可证q,r也在平面abc与平面的交线上。p，q，r三点共线。法二：apara,直线ap与直线ar确定平面apr.又abp，acr,平面apr平面pr。b平面apr,c平面apr，bc平面apr.又q直线bc，q平面apr。又q，qpr,p,q，r三点共线。证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定

10、两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点,再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上;二是选择其中两点确定一条直线,然后再证明其他的点都在这条直线上.证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点,再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线.再练一题3。如图1。4。6所示，在正方体abcd。a1b1c1d1中,e为ab的中点，f为aa1的中点.求证:ce，d1f,da三线交于一点.图1.46【提示】如图，连接ef，d1c,a1b。e为ab的中点，f为aa1的中点，efa1b.又a1bd1c，efd1c，e，f,d1，c四点共面，且efd1c，d1f与ce相交

11、于点p。又d1f平面a1d1da,ce平面abcd,p为平面a1d1da与平面abcd的公共点.又平面a1d1da平面abcdda，根据公理3,可得pda，即ce，d1f,da三线交于一点。1.下列图形中不一定是平面图形的是(）a.三角形b。菱形c.梯形d。对边相等的四边形【解析】对四边相等的四边形可以是空间四边形.【答案】d2.若点q在直线b上，b在平面内，则q，b,之间的关系可记作（)a。qbb.qbc.qbd.qb【解析】点q（元素)在直线b（集合）上，qb。又直线b(集合)在平面（集合）内，b,qb。【答案】b3.设平面与平面交于直线l，a，b，且直线ablc，则直线ab_。【解析】l,ablc，c，cab，abc。【答案】c4.若a,b是异面直线，b,c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是_.【解析】两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线,则这两条直线平行、相交或异面都有可能。【答案】平行、相交或异面5.已知直线ab,直线l与a,b都相交，求证:过a，b