高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（2）学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精第二课时一元二次不等式及其解法(习题课）1如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系？略2判别式的值对一元二次不等式的解集有何影响?略简单的分式不等式例1解下列不等式：（1）0；(2)2。解(1）由0得0,此不等式等价于（x2）（x1)0,原不等式的解集为x|x2或x1(2）法一:移项得20，左边通分并化简有0,即0，它的同解不等式为x2或x5.原不等式的解集为xx2或x5法二:原不等式可化为0,此不等式等价于或解得x5,解得x2,原不等式的解集为x|x2或x5类题通法1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但

2、要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母)，使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解活学活用解下列不等式：(1)0;（2)1.解：（1)原不等式等价于即2x3。原不等式的解集为x2x0，即0，等价于(3x2）(4x3）0。x.原不等式的解集为.不等式中的恒成立问题例2关于x的不等式（1m)x2mxmx21对xr恒成立，求实数m的取值范围解原不等式等价于mx2mxm10，对xr恒成立，当m0时，0x20x10对xr恒成立当m0时，由题意，得m0。综上，m的取值范围为m0.类题通法不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为r，对于一元二次不等式a

3、x2bxc0,它的解集为r的条件为一元二次不等式ax2bxc0的解集为r的条件为一元二次不等式ax2bxc0的解集为的条件为活学活用若关于x的不等式ax22x20在r上恒成立,求实数a的取值范围解：当a0时,原不等式可化为2x20，其解集不为r,故a0不满足题意,舍去；当a0时，要使原不等式的解集为r，只需解得a.综上,所求实数a的取值范围为。一元二次不等式的实际应用例3某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点（1）写出税收

4、y(万元）与x的函数关系式；(2）要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围解(1）降低税率后的税率为(10x)，农产品的收购量为a（12x%）万担，收购总金额为200a（12x）依题意得,y200a(12x%)（10x）%a(1002x)(10x）(0x10）（2)原计划税收为200a1020a(万元）依题意得,a(1002x)(10x)20a83。2%，化简得x240x840，42x2。又0x10,0x2.x的取值范围是x|0x2类题通法用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；(2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中

5、的一元二次不等式问题；（3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解活学活用某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉（花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(8002x） m,宽为（6002x) m。根据题意可得（8002x)（6002x）800600，整理得x2700x6001000，即（x600）(x100）0，所以0x100或x600,x600不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为(0,100 m.典例已知f(x)x22（a2）x4，如果对一切

6、xr,f（x）0恒成立，求实数a的取值范围解由题意可知，只有当二次函数f(x）x22(a2)x4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x22（a2）x40此时应满足0，即4(a2)2160，解得0a4。故a的取值范围是a|0a4【探究一】解决此类问题要注意三个“二次”之间的相互联系，并能在一定条件下相互转换，若一元二次不等式的解集为r或，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的范围【探究二】若x2的系数为参数，应参考本节例2及活学活用的解法【探究三】对于xa，b，f（x）0(或0)恒成立，应利用函数图象如：是否存在

7、实数a，使得对任意x3，1,f（x)0恒成立若存在，求出a的取值范围；若不存在,说明理由解:若对任意x3,1，f（x）0恒成立,则满足题意的函数f(x)x22（a2）x4的图象如图所示由图象可知，此时a应该满足即解得这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x3，1，f(x)0恒成立【探究四】对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量如：已知函数yx22（a2）x4，对任意a3，1，y0恒成立，试求x的取值范围解：原函数可化为g（a)2xax24x4，是关于a的一元一次函数要使对任意a3,1,y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数x,使函数yx22(a2

8、)x4，对任意a3，1，y0恒成立随堂即时演练1若集合ax12x13，b,则ab等于（)ax1x0bx0x1cx|0x2 dx0x1解析:选bax|1x1,bx|0x2，abx|0x12已知不等式x2ax40的解集为空集，则a的取值范围是（)a4a4 b4a4ca4或a4 da4或a4解析：选a依题意应有a2160，解得4a4,故选a.3不等式3的解集为_解析：3300x(2x1）0且x0x0的解集是(1，)，则关于x的不等式0的解集是(）a. b.c。 d.解析：选a依题意，a0且1.0（axb）（x2)0（x2）0，即（x1）（x2）0x2或x1.4设集合pm|1m0，qmr|mx24mx

9、40对任意实数x恒成立,则下列关系式中成立的是(）apq bqpcpq dpq解析：选a当m0时，40对任意实数xr恒成立；当m0时,由mx24mx40对任意实数xr恒成立可得解得1m0。综上所述，qm|1m0,pq,故选a。5已知关于x的不等式x24xm对任意x（0，1恒成立，则有（）am3 bm3c3m0 dm4解析：选a令f(x)x24x(x2)24,在（0,1上为减函数，当x1时，f（x）最小值3，所以m3.二、填空题6若a0，则不等式0的解集是_解析：原不等式可化为(x4a)(x5a）0，由于a0，所以4a5a，因此原不等式的解集为x|x4a，或x5a答案：x|x4a，或x5a7若关

10、于x的不等式mx2mx10的解集不是空集,则m的取值范围是_解析:假设原不等式的解集为空集当m0时,原不等式化为10,此时不等式无解，满足要求当m0时,有即0m4。综上可得0m4.故当原不等式的解集不是空集时，有m0或m4.答案：m0或m48有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是_解析:设桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x8）（x8)升纯农药液,用水补满后,桶内纯农药液的浓度为。第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为升,此时桶内有纯农药液升依题意，得（x8)28x.由于x0,因而原不等式

11、化简为9x2150x4000，即（3x10）(3x40)0.解得x.又x8，8x。答案：三、解答题9若不等式ax2bx10的解集是x1x2(1）试求a，b的值；(2）求不等式0的解集解：（1)不等式ax2bx10的解集是x1x2,a0，且1和2是方程ax2bx10的两根，由根与系数的关系可得于是得（2)由（1）得不等式0即为0，0,因此(x2)0，解得x2.即原不等式的解集是。10设函数f（x）mx2mx1（m0），若对于x1,3，f（x)m5恒成立，求m的取值范围解：要使f(x)m5在1，3上恒成立，则mx2mxm60,即m2m60在x1，3上恒成立有以下两种方法：法一:令g(x）m2m6，

12、x1,3当m0时，g（x)在1,3上是增函数,所以g（x)maxg（3）7m60.所以m,则0m。当m0时，g（x)在1，3上是减函数，所以g(x)maxg(1）m60。所以m6。所以m0.综上所述,m的取值范围是。法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是。11已知f（x)x22ax2，当x1，）时，f(x）a恒成立，求a的取值范围解：法一：令g（x）f(x)ax22ax2a,x1，），因此当x1，）时要使f(x）a恒成立，只要不等式x22ax2a0恒成立，结合二次函数图象(如图)，4a24（2a）0或解得3a1.法二：f（x)(xa）22a2，此二次函数图象的对称轴为xa。当a(，1时,结合图象知f（x）在1，)上单调递增，f（x）最小值f(1)2a3.要使f（x)a恒成立，只需f(x)最小值a，即2a3a，解得3a1。当a(1，）时，f(x)最小值f(a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，所求a的取值范围为3a1。12已知不等式ax23x64的解集为xx1或xb（1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb）xbc0。解：(1）由题意知,1和b是方程ax23x20的两根，则解得(2)不等式