高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精3。4 基本不等式：基本不等式提出问题问题1：若a，br，则代数式a2b2与2ab有何大小关系？提示：(a2b2)2ab（ab）20，a2b22ab.问题2：上述结论中，等号何时成立？提示：当且仅当ab时成立问题3：若以，分别代替问题1中的a,b,可得出什么结论？提示:ab2.问题4：问题3的结论中,等何时成立?提示:当且仅当ab时成立导入新知1重要不等式当a,b是任意实数时,有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式（1）有关概念:当a,b均为正数时,把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a,b的几何平均数（2）不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的

2、几何平均数不大于它们的算术平均数，即，当且仅当ab时，等号成立（3)变形：ab2,ab2（其中a0，b0，当且仅当ab时等号成立）化解疑难1基本不等式成立的条件：a0且b0；其中等号成立的条件：当且仅当ab时取等号，即若ab时，则，即只能有。2从数列的角度看，a，b的算术平均数是a,b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项利用基本不等式证明不等式例1已知a，b，cr，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2。证明：由基本不等式可得a4b4(a2)2(b2）22a2b2，同理，b4c42b2c2，c4a42a2c2，（a4b

3、4)(b4c4）（c4a4)2a2b22b2c22a2c2,从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2。类题通法1利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而收到放缩的效果2注意多次运用基本不等式时等号能否取到活学活用设a0，b0，证明：ab。证明：a0,b0，a2b，b2a，ab。利用基本不等式求最值例2（1)已知m，n0，且mn16，求mn的最大值；(2）已知x3,求f(x)x的最小值；（3）设x0,y0，且2xy1,求的最小值解(1）m,n0且mn16，由基本不等式可得mn2264，当且仅当mn8时,mn

4、取得最大值64.（2）x3，x30，0,于是f（x)xx332 37，当且仅当x3即x5时,f（x)取得最小值7。（3）法一：x0，y0，2xy1，332 32,当且仅当，即yx时，等号成立,解得x1,y1,当x1，y1时，有最小值32。法二：1(2xy)332 32，以下同法一类题通法1利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则（1)一正：符合基本不等式成立的前提条件：a0，b0。(2)二定：化不等式的一边为定值(3）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立以上三点缺一不可2若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值;若是求积的最大值，通常化(或利用）和为定值，其解答技巧是

5、恰当变形，合理拆分项或配凑因式活学活用（1)已知lg alg b2，求ab的最小值；（2）已知x0,y0,且2x3y6,求xy的最大值；（3)已知x0，y0,1，求xy的最小值解：(1）由lg alg b2可得lg ab2，即ab100，且a0，b0,因此由基本不等式可得ab22 20，当且仅当ab10时，ab取得最小值20。(2)x0，y0,2x3y6,xy（2x3y)22，当且仅当2x3y，即x，y1时,xy取得最大值。（3）1,xy(xy)1910.又x0,y0,102 1016,当且仅当，即y3x时，等号成立由得即当x4,y12时，xy取得最小值16.利用基本不等式解应用题例3如图所示

6、，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成（1)现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大？(2）若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?解(1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件得4x6y36，即2x3y18，设每间虎笼面积为s，则sxy.由于2x3y22,218,得xy，即s,当且仅当2x3y时,等号成立,由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时,可使面积最大（2）设每间虎笼第为x m，宽为y m。法一:由条件知sxy24，设钢筋网总长为l，则l

7、4x6y。2x3y2224，l4x6y2(2x3y）48，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小法二:由xy24，得x。l4x6y6y662 48，当且仅当y,即y4时，等号成立此时x6。故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小类题通法在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法: (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4)根据实际背景写出答案活学活用某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用

8、于长途客运,预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元(1)写出4辆车运营的总利润y（万元）与运营年数x(xn)的函数关系式(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大?解：(1）依题意，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为20016（12x）200x（x1）16.y4 16（2x223x50）(2）年平均利润为1616.又xn*，x2 10，当且仅当x5时，等号成立，此时16（2320）48。运营5年可使年平均运营利润最大,最大利润为48 万元典例已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()a.b4c. d5

9、解析ab2,1。2 。故y的最小值为.答案c易错防范1解答本题易两次利用基本不等式，如：a0,b0，ab2，ab1.又y2 4 ，又ab1，y44.但它们成立的条件不同，一个是ab，另一个是b4a，这显然是不能同时成立的，故不正确2使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可3在运用重要不等式时，还要特别注意“拆”“拼“凑”等技巧,使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件成功破障（福建高考）下列不等式一定成立的是（)alg（x2)lg x(x0)bsin x2（xk，kz)cx212|x（xr)d.1（xr）解析：选c

10、取x，则lg（x2）lg x，故排除a;取x，则sin x1，故排除b；取x0，则1，故排除d。随堂即时演练1已知f(x）x2(x0），则f(x)有（）a最大值为0b最小值为0c最大值为4 d最小值为4解析：选cx0，f(x)2224,当且仅当x，即x1时取等号2若ab0，则下列不等式成立的是（）aab babcab dab解析：选ba b，因此只有b项正确3若x，yr，且x4y1，则xy的最大值为_解析：1x4y24，xy，当且仅当x4y时等号成立答案：4已知x0,y0，lg xlg y1，则z的最小值为_解析:由已知条件lg xlg y1，可得xy10.则2 2，故最小值2，当且仅当2y5

11、x时取等号又xy10，即x2，y5时等号成立答案：25已知a，b,c均为正数,a，b，c不全相等求证：abc。证明：a0，b0，c0，2 2c，2 2a，2 2b.又a,b,c不全相等，故上述等号至少有一个不成立abc。课时达标检测一、选择题1下列不等式中正确的是(）aa4ba2b24abc。 dx22解析：选da0,则a4不成立，故a错；a1，b1,a2b24ab,故b错;a4，b16，则，故c错；由基本不等式可知d项正确2已知0x1，则x（33x)取得最大值时x的值为()a。 b。c。 d.解析：选b由x（33x)3x（1x）32,当且仅当x1x，即x时，等号成立3设a，b是实数，且ab3

12、，则2a2b的最小值是（)a6 b4c2 d8解析：选ba,b是实数，2a0，2b0，于是2a2b222 4，当且仅当ab时取得最小值4。 4已知x0，y0，且xy8，则（1x）(1y）的最大值为(）a16 b25c9 d36解析：选b(1x)（1y)22225,因此当且仅当1x1y即xy4时，(1x)(1y）取最大值25，故选b.5若4x1,则f（x）（)a有最小值1 b有最大值1c有最小值1 d有最大值1解析：选df（x)，又4x1，x10，所以x2。当且仅当x1时取等号,所以有，即的最大值为，故a.答案：8设a0，b0,给出下列不等式：a21a;4；（ab）4；a296a.其中恒成立的是

13、_(填序号)解析：由于a21a20，故恒成立；由于a2,b2，4，故恒成立;由于ab2,2 ，故（ab）4，故恒成立；当a3时,a296a,故不能恒成立答案：三、解答题9求下列函数的最小值(1）设x，y都是正数，且3，求2xy的最小值；（2)设x1,求y的最小值解：(1)2xy(2xy）（24)。当且仅当时等号成立,即y24x2。y2x.又3，得x,y。当x,y时，2xy取得最小值为.(2)x1，x10.设x1t0，则xt1，于是有yt52 59，当且仅当t,即t2时取等号,此时x1.当x1时，函数y取得最小值为9。10(1)已知0x,求yx(12x）的最大值；(2）已知x0，求y2x的最大值

14、;(3)已知x，yr，且xy4，求的最小值解：（1）0x，12x0。y2x(12x）2。当且仅当2x12x，即x时，y最大值.(2)x0，y2x2242，当且仅当x,即x2时等号成立,y的最大值为2.(3)法一：x,yr,(xy)442.当且仅当，即x2（1），y2（3）时取等号又xy4，1,故的最小值为1.法二：x，yr,且xy4，112 1.当且仅当，即x2（1），y2(3）时取等号的最小值为1。11.如右图，某公园计划建一块面积为144平方米的矩形草地,一边靠墙，另外三边用铁丝网围住,现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙,求：（1)x的取值范围；（2）最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则另一边长为米，则矩形草地所需铁丝网长度为yx2.令yx244(x0)，解得8x36，则x的取值范围是8,36(2)由基本不等式，得yx24。当且仅当x，即x17.0时，等号成立,则y最小值2434