高中数学 第三章 函数的应用阶段通关训练

1、学必求其心得，业必贵于专精第三章 函数的应用阶段通关训练(三）(60分钟100分）一、选择题(每小题5分，共30分)1.（2017烟台高一检测)函数y=1+1x的零点是（)a.（1，0)b.1c。1d.0【解析】选b.令y=1+1x=0得x=-1,故函数y=1+1x的零点是1.2.(2017长春高一检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间（0，1)内的零点个数是（)a.0b.1c。2d.3【解题指南】可以利用等价转化、数形结合等思想把判断函数f(x)零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，然后利用数形结合即可判断.也可以用函数零点的存在性定理判断.【解析】选b.方法一：函数f（x)=2x+

2、x3-2在(0,1）的零点个数,即可转化为函数h（x）=x3与函数g（x）=2-2x在区间（0,1)的交点情况。如图:存在一个交点，即函数f(x）=2x+x3-2在（0，1)上的零点个数为1个.方法二:因为f（0)=10，f(1)=10,所以f（0)f(1）0，又因为f（x)=2x+x3-2在区间（0，1）上单调递增且连续,所以函数在区间（0，1)上只有一个零点.3。(2017广州高一检测)若函数f（x)=2x+a2x2a的零点在区间（0,1）上，则a的取值范围是(）a。-,12b.(-，1）c。12,+d。(1，+)【解析】选c。因为f（x)单调递增,所以根据零点的存在性定理,得f（0)f（

3、1）=(12a)（2+a22a）0，所以a12。4。某市的出租车的收费标准如下：3千米以内收费6元；3千米到10千米部分每千米加收1.3元；10千米以上的部分每千米加收1.9元.那么出租车收费y（元)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系用图象表示为()【解析】选b.根据题意可得出租车收费y(元）与行驶的路程x（千米)之间的函数关系:y=6,0x3,6+1.3(x-3),310.画出函数图象,知b正确。5.下列图象表示的函数能用二分法求零点的是(）【解析】选c。由函数图象可得，a中图象所对应的函数没有零点，故不能用二分法求零点，排除a。b和d中图象所对应的函数有零点，但函数值在零点附近两侧的符号

4、相同，故不能用二分法求零点,故排除b和d.c中图象所对应的函数存在零点且函数值在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点。6.某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2，x(0,240）,若每台产品的售价为25万元,则生产不亏本时(销售收入不小于总成本）的最低产量为（)a。100台b.120台c。150台d.180台【解析】选c。由题意,生产者不亏本,应有3000+20x0.1x225x，即x2+50x300000，所以x150或x200(舍去）。又0x240,xn*,所以当最低产量为150时,生产者不亏本。二、填空题（每小题5分,共20分）7。（

5、2015湖南高考）若函数f（x)=|2x-2b有两个零点，则实数b的取值范围是_.【解析】由函数f（x)=|2x-2|-b有两个零点,可得|2x2|=b有两个不同的根,从而可得函数y=2x-2与函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得,0b2时符合条件.答案：(0,2）8.某化工厂生产一种溶液,按市场要求，杂质含量不能超过0.1，若初时含杂质2，每过滤一次可使杂质含量减少13,为使产品达到市场需求,至少过滤_次。(已知lg20。3010，lg30.4771)【解析】依题意,得210023n11 000,即23n120,则n(lg2lg3)(1+lg2），故n1+lg2lg3-lg27.4

6、，考虑到nn,即至少要过滤8次才能达到市场要求.答案：89。（2017上海高一检测）定义在（0,+)上的函数f（x）满足:当x1,3）时，f（x)=x-1,1x2,3-x,2x3,f（3x)=3f（x）,设关于x的函数f（x）=f（x）1的零点从小到大依次记为x1,x2，x3,x4，x5，则x1+x2+x3+x4+x5=_。【解析】由条件当x1,3)时,f(x)=x-1,1x2,3-x,2x3,及f（3x)=3f(x）可得函数f（x）=3fx3,f(x)=x-1(1x2),3-x(2x3),313x-1(3x6),33-13x(6x9),919x-1(9x18),93-19x(18x27),函

7、数f（x)=f(x)1的零点个数等价于f（x)=1的根的个数。即由x1=1，所以x=2;当3x=1，x=2，此时在定义域内无解;313x-1=1，所以x=4；33-13x=1,x=8；919x-1=1，所以x=10;93-19x=1，所以x=26,所以x1+x2+x3+x4+x5=50。答案：50【补偿训练】一位设计师在边长为3的正方形abcd中设计图案，他分别以a，b，c,d为圆心,以b(0b32）为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线）构成了丰富多彩的图形,则这些图形中实线部分总长度的最小值为_。【解析】由题意，实线部分的总长度为l=4(32b）+2b=(

8、28)b+12,l关于b的一次函数的一次项系数280，所以函数g(x)在区间0,9上零点的个数为1个。12.（12分)已知a,b为常数,a0,f(x）=ax2+bx且f（2)=0，方程f（x)=x有两个相等的实数根.（1)求f(x）的解析式。（2）是否存在实数m，n（mn),使f(x)在区间m，n上的值域是2m，2n?如果存在，求出m，n的值;如果不存在，请说明理由。【解析】（1)由f（2)=0，方程f（x）=x有两个相等的实数根，得4a+2b=0,b=1,解得a=-12,b=1.所以f（x)=12x2+x.（2)存在.理由如下:易知函数f（x）图象的对称轴为直线x=1,当1mn时，f（x)在

9、m，n上单调递减，所以f(m)=2n,f(n)=2m,即-12m2+m=2n,-12n2+n=2m,无解。当mn1时，f（x）在m,n上单调递增,所以f(m)=2m,f(n)=2n,即-12m2+m=2m,-12n2+n=2n,解得m=-2,n=0.当m1n时,f(1）=2n，即n=141，不合题意.综上，m=2，n=0。13.(13分)(2017唐山高一检测）有甲、乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同.甲健身中心每小时5元(不足1小时按1小时收费)；乙健身中心按月计费,一个月30小时以内(含30小时）90元,超过30小时的部分每小时2元（不足1小时按1小时收费）。某人准备下个

10、月从这两家健身中心中选择一家进行健身活动，其活动不少于15小时,也不超过40小时.（1)设在甲健身中心健身x小时的收费为f（x）元,在乙健身中心健身x小时的收费为g(x）元.试求f（x)和g（x)（15x40)。(2）选择哪家比较合算?为什么？【解析】(1）f（x）=5x,15x40，g(x）=90,15x30,30+2x,30x40.(2）当5x=90时，x=18，即当15x18时，f（x)g（x）,当x=18时，f（x)=g(x)，当18x40时,f(x）g(x)。所以当15x18时,选甲健身中心比较合算；当x=18时,两家健身中心一样合算;当18x40时，选乙健身中心比较合算.14。(1

11、3分)(2017太原高一检测)某公司是一家专做某产品国内外销售的企业，第一批产品在上市40天内全部售完，该公司对第一批产品的销售情况进行了跟踪调查,其调查结果如图，图，图所示,其中图中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图中的抛物线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同）.(1)求该公司第一批产品日销售利润q（t）(单位：万元）与上市时间t(单位：天)的函数关系式.（2)该公司第一批产品上市后,从哪一天开始国内市场日销售利润不小于国外市场？【解析】(1)设国内市场的日销售量为f(t)万件，由题干图得函数f(

12、t)的解析式为f（t）=2t,0t30且tn,240-6t,30t40,且tn.设国外市场的日销售量为g（t)=at（t40）万件，由g(20）=20a(20)=60，解得a=320,则g(t）=320t2+6t（0t40且tn）。设每件产品的销售利润为q（t)元,则由题干图得q（t)=3t,0t20,tn,60,20t40,tn.从而这家公司第一批产品的日销售利润q(t)（单位:万元)与上市时间t(单位：天）的函数关系式为q（t）=q(t）f(t)+g(t)=-920t3+24t2,0t20,-9t2+480t,20t30,-9t2+14 400,30t40,tn。（2)由题意可得国内外每件

13、产品的销售利润与上市时间之间的关系相同,要使国内市场日销售利润不小于国外市场，只需国内市场日销售量f（t）不小于国外市场日销售量g(t).当0t30且tn时,令f（t）g(t)，得2t-320t2+6t,解得803t30且tn；当30t40且tn时，令h（t）=f(t)g(t）=320t212t+240,由h（t)0,可得30t40且tn.由可得该公司第一批产品上市后,从第27天开始国内市场日销售利润不小于国外市场。【能力挑战题】高一某个研究性学习小组进行市场调查，某生活用品在过去100天的销售量和价格均为时间t的函数,且销售量近似地满足g(t）=t+110（1t100，tn)，前40天的价格

14、为f（t)=t+8（1t40,tn)，后60天的价格为f(t)=0。5t+69(41t100,tn）.（1)试写出该种生活用品的日销售额s与时间t的函数关系式。(2）试问在过去100天中是否存在最高销售额，若存在是哪天?【解析】(1)s=g(t）f（t）=(-t+110)(t+8),1t40,(-t+110)(-0.5t+69),41t100=-t2+102t+880,1t40,0.5t2-124t+7 590,41t100.(2)当1t40时,s=-t2+102t+880=-(t-51）2+880+512,在1,40上为增函数，所以当t=40时，smax=402+10240+880=3360；