高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2.3 指数函数与对数函数的关系学案

1、学必求其心得，业必贵于专精3.2。3指数函数与对数函数的关系学习目标1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2。利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异。3。利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题。知识链接在同一坐标中，作出函数y2x与ylog2x的图象，两图象关于直线yx对称.预习导引1.反函数（1）互为反函数的概念当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。称这两个函数互为反函数.(2）反函数的记法：函数yf（x)的反函数通常用yf1(x）表示.2。指数函数与对数函数的关

2、系（1）指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数.(2)指数函数yax与对数函数ylogax的图象关于yx对称.要点一求反函数例1写出下列函数的反函数：（1)ylg x；(2)ylogx；(3）y()x；（4)yx。解（1）ylg x的底数为10，它的反函数为指数函数y10x.(2)ylogx的底数为，它的反函数为指数函数yx.(3)y(）x的底数为，它的反函数为对数函数ylogx(x0).（4）yx的底数为，它的反函数为对数函数ylogx(x0).规律方法指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数。跟踪演练1求下列函数的反函数：（1）ylog2x；(2)yx;(3)y5x1.解（1

3、)由ylog2x，得yr，x2y，f1(x）2x，xr。(2）由yx，得xlogy且y0.f1(x)logx(x0）.（3）由y5x1，得x且yr，f1(x），xr.要点二互为反函数的性质应用例2已知函数yaxb（a0且a1)的图象过点（1，4)，其反函数的图象过点（2,0)，求a，b的值。解yaxb的图象过点(1,4)，ab4.又yaxb的反函数图象过点（2，0)，点(0,2)在原函数yaxb的图象上.a0b2。联立得a3，b1.规律方法互为反函数的图象关于直线yx对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于yx对称,所以若点（a，b)在函数yf(x)图象上，则点（

4、b,a）必在其反函数yf1（x)图象上。跟踪演练2已知f(x）log3x，则f1（4)_。答案81解析由log3x4,得x3481。即f1（4）3481。要点三指、对数函数的图象性质应用例3设方程2xx30的根为a，方程log2xx30的根为b，求ab的值。解将方程整理得2xx3，log2xx3。如图可知，a是指数函数y2x的图象与直线yx3交点a的横坐标，b是对数函数ylog2x的图象与直线yx3交点b的横坐标.由于函数y2x与ylog2x互为反函数，所以它们的图象关于直线yx对称，由题意可得出a、b两点也关于直线yx对称，于是a、b两点的坐标为a(a，b)，b（b，a）.而a、b都在直线y

5、x3上,ba3(a点坐标代入），或ab3,故ab3。规律方法形如axkxb（a0且a0)或logaxkxb(a0且a1）的方程的求解常借助于函数图象，求两函数图象的交点。跟踪演练3函数f（x）lg xx3的零点所在区间为(）a.（0,1） b。(1，2）c.(2，3） d。（3，)答案c解析在同一平面直角坐标系中，画出函数ylg x与yx3的图象。它们交点的横坐标x0显然在区间(1，3）内，由此可排除a，d。至于选b还是选c,由于手工画图精确性的限制，单凭直观很难做出判断.实际上这是要比较x0与2的大小.当x2时，lg xlg 2,x31，由于lg 21,因此x02,从而得到x0(2，3)，故

6、选c.1。函数ylogx(x0)的反函数是（)a。yx，x0 b。y(）x，xrc.yx2，xr d。y2x，xr答案b解析互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同。2。若函数yf（x)是函数yax（a0，且a1)的反函数，且f（2）1，则f（x）等于（)a.log2x b。 c。logx d.2x2答案a解析yax的反函数f（x)logax，则1loga2，a2.3。已知函数yax与ylogax（a0且a1)，下列说法不正确的是()a.两者的图象关于直线yx对称b.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域c.两函数在各自的定义域内的增减性相同d。yax的图象经过平移可得到ylogax的

7、图象答案d解析由反函数的定义及互为反函数的函数图象间的对称关系可知a、b、c选项均正确。4。已知y（)x的反函数为yf（x），若f(x0），则x0等于()a。2 b.1 c。2 d。答案c解析y（）x的反函数是f(x）logx，f（x0)logx0。x0（）2.5.已知f（x）a是r上的奇函数,则f1的值是_。答案2解析由f（x)为奇函数知a1,f（x）由，得x2.1.对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数。它们的图象关于直线yx对称。2。求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成:(1）求出原函数的值域,这就是反函数的定义域；(2）从yf(x)中解出x；（3)x、y互换并注明反函数定义域.3。反函数的定义域是原函