高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课后提升训练（含解析）1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精生活中的优化问题举例(45分钟70分）一、选择题（每小题5分,共40分)1。用长为24m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为（）a。8m3b。12m3c。16m3d.24m3【解析】选a.设长方体的底面边长为xm，则高为(62x）m,所以0x3,则v=x2(6-2x）=6x2-2x3，v=12x-6x2,令v=0得x=2或x=0(舍），所以当x（0，2）时，v是增函数，当x（2，3）时，v是减函数，所以当x=2时，vmax=42=8（m3）。2。某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁，则要使

2、砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为（)a。16 m，16 mb。32 m，16 mc.32 m,8 md.16 m,8 m【解析】选b.如图所示,设场地一边长为xm,则另一边长为512xm.因此新墙总长度l=2x+512x(x0)，l=2512x2。令l=0,得x=16或x=-16(舍去).因为l在（0,+）上只有一个极值点,所以它必是最小值点。因为x=16,所以512x=32。故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省。3.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元）与年产量x(单位:万件）的函数关系式为y=-13x3+81x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）

3、a.13万件b.11万件c.9万件d。7万件【解析】选c.y=x2+81，令y=0,解得x=9或x=-9(舍去)。当00)，则获得利润最大时的年产量为()a。1百万件b。2百万件c。3百万件d。4百万件【解析】选c。因为y=x3+27x+123（x0），所以y=-3x2+27=-3（x+3）（x-3）(x0），所以y=x3+27x+123在（0,3)上是增函数,在（3，+）上是减函数，故当x=3时,获得最大利润。5。（2017梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为v,则其表面积最小时，底面边长为()a。3vb.32vc。34vd。23v【解析】选c。如图，设底面边长为x（x0),则底

4、面积s=34x2，所以h=vs=4v3x2。s表=x4v3x23+34x22=43vx+32x2,s表=3x-43vx2,令s表=0得x=34v，因为s表只有一个极值,故x=34v为最小值点。6。如图，在等腰梯形abcd中,cd=40，ad=40,梯形abcd的面积最大时，ab等于()a。40b。60c.80d.120【解析】选c.设bad=，则ab=40+240cos,梯形高h=40sin,从而梯形面积s=1600（1+cos）sin。故s=1600（cos+cos2）。令s=0，得cos=-1（舍)或cos=12，即=3,此时ab=80，即当ab=80时,梯形有最大面积12003.7.某商

5、场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为p元,销售量为q,销售量q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：q=8300170pp2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出）（)a。30元b。60元c.28000元d.23000元【解析】选d.设毛利润为l(p)，由题意知l(p)=pq20q=q(p20)=(8300-170p-p2)（p-20）=-p3150p2+11700p-166000,所以l(p)=-3p2-300p+11700,令l(p)=0，解得p=30或p=130（舍去)。此时，l（30)=23000.根据实际问题的意义知，l(30)是最大值，即零售

6、价定为每件30元时，最大毛利润为23000元。8.(2017昆明高二检测）某公司生产一种产品,固定成本为20000元，每生产一单位的产品,成本增加100元，若总收入r与年产量x的关系是r（x)=-x3900+400x,0x390,90 090,x390,则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（)a。150b。200c.250d。300【解析】选d。因为总利润p（x)=-x3900+300x-20 000,0x390,90 090-100x-20 000,x390,当0x390时,p（x)=-1300x2+300，令p(x）=0,得x=300，当x（0,300)时,p（x)0，p(x）递增，当

7、x(300，390）时,p（x）0，p（x)递减,所以当x=300时，p(x）有最大值40000元,当x390时,p(x）=90090100x2000090090-100390-20000=3109040000,所以当x=300时，总利润最大。二、填空题(每小题5分，共10分)9。(2017河源高二检测)把长为60cm的铁丝围成矩形,长为，宽为时,矩形的面积最大.【解析】设长为xcm，则宽为（30x)cm,此时s=x(30-x）=30x-x2,令s=30-2x=0，所以x=15.当0x15时，s0，当15x30时，s0），所以y=21-40 000x2,令y=0,解得x=200（x=-200舍

8、去),这时y=800.当0x200时,y0,所以当x=200时，y取得最小值,故其周长至少为800m.答案:80010。某公司租地建仓库,每月土地占用费y1（万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2（万元）与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元。那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处。【解析】设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1=k1x，每月库存货物的运费y2=k2x，其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数，于是由2=k110得k1=20；由8=10k2得k2=45。所以两项费用之和为y=20x

9、+4x5(x0）,y=-20x2+45,令y=0,得x=5或x=-5(舍去）。当00）,固定部分为a元.(1）把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域.（2）为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶？【解析】(1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv,全程运输成本为y=asv+bv2sv=sav+bv,故所求函数及其定义域为y=sav+bv,v（0，c。(2)由题意知s,a，b，v均为正数。由y=sb-av2=0得v=ab，0vc.若abc,则v=ab是使y的导数为0的点，即当v=ab时，全程运输成本y最小。若abc，v(0，c,此时yc时,

10、行驶速度v=c。12.某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6x11)，年销量为u万件，若已知5858u与x-2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.（1）求年利润y万元关于售价x的函数关系式.(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.【解析】(1）设5858u=kx-2142，因为售价为10元时，年销量为28万件，所以5858-28=k10-2142，解得k=2。所以u=-2x-2142+5858=-2x2+21x+18.所以y=(2x2+21x+18)（x-6)=2x3+33x2108x108（6x11）。（2）y=6x2+66x-108=6(x2-11x+18)=

11、6(x2）(x-9）.令y=0，得x=2（舍去)或x=9,显然,当x（6,9)时，y0;当x(9,11）时,y0。所以函数y=-2x3+33x2-108x108在(6,9）上是递增的,在（9,11）上是递减的.所以当x=9时，ymax=135，所以售价为9元时，年利润最大,最大年利润为135万元.【能力挑战题】某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x（0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y=3240-x2+2x+53，则当x为何值时,本年度的年利润最大？最大利润为多少？（年利润=（每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量)【解析】由题意得，本年度每辆车的投入成本为10（1+x),每辆车的出厂价为13(1+0.7x)，年利润为f（x）=13(1+0.7x）-10（1+x）y=(30。9x)3240-x2+2x+53=3240（0。9x3-4。8x2+4。5x+5）,则f(x)=3240（2。7x29.6x+4.5)=972(9x-5）(x-3），由f(x）=0,解得x=59或x=3（舍去），当x0,59时,f(x）0,f（x）是增函数;当x59,1时,f（