高中数学 第三章 导数及其应用学业水平达标检测 选修1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精第三章导数及其应用学业水平达标检测时间：120分钟满分:150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若函数f（x)2x21的图象上一点(1,1）及邻近一点(1x,1y），则等于()a4 b42xc4x d4x(x)2答案：b2f(x)ax32x23,若f（1）5，则a等于(）a5 b4 c2 d3解析:f(x)3ax24x，f(1)3a45,a3。答案：d3过抛物线yx2上一点p的切线的倾斜角是(）a90 b60 c45 d30解析:y2x,f21，令tan1，则45。答案:c4曲线y在点(1，1)处

2、的切线方程为（)ay1 by2x1cy2x3 dyx解析：y。kyx12,所求切线方程为y12（x1），即y2x1.答案：b5若f(x）x3ax在（0，1)上是增函数，则实数a的取值范围是（)aa3 ba3c0a3 d1a0解析：f(x)3x2a，3x2a0在(0，1）上恒成立，即a3x2在(0，1）上恒成立3x23，a3。答案：a6函数yln（3xx3）的单调递增区间是（)a（0,1） b（1，1）c（,1） d（1,）解析:由3xx30,得0x或x.令f(x）3xx3,则f(x）33x20，得0x1。答案：a7函数yf(x)lnxx在区间（0，e上的最大值为（)ae b1e c1 d0解析

3、：f（x)1,令f(x）0,即x1.当x变化时，f（x),f(x)的变化情况如下表:x(0,1）1(1,e）ef(x）0f(x）单调递增极大值1单调递减1e由于f（e)1e,而11e，从而f(x)maxf（1)1。答案:c8函数f（x）在其定义域内可导，yf（x）的图象如图，则导函数yf(x）的图象为下列选项中的（)a b c d解析:由f(x)图象知,f（x)值应是先正再负，然后又正答案：d9当a取下列哪个值时，函数f（x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点()a8 b6 c4 d2解析:f（x)6x218x126(x1）(x2)，知可能的极值点x1，x2，且f（1）5a，f(2)4a

4、，可见当a4时，函数f(x）恰好有两个不同的零点答案:c10把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱；当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为(）a12 b21 c1 d2解析：设圆柱高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积v2x（x312x236x）（0x6），v（x2)（x6)当x2时，v最大此时底面周长为6x4(cm)，该圆柱的底面周长与高的比为4221，故选b。答案:b11设函数f(x）ax2bxc（a，b,cr），若x1为函数f(x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是（)a b c d解析：令g(x)f（x）ex,则g（x）f(x）exf(x)ex.x1为函数

5、g（x）的一个极值点,g（1)f（1)e1f（1）e10.f（1)f（1)d选项中，f（1）0，f(1）f(1）0，这与图象不符答案:d12设f(x）、g（x）分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当x0时，f（x）g(x)f(x)g（x)0，且g(3)0,则不等式f(x)g（x）0的解集是（)a(3,0）（3，） b(3,0）(0,3)c(，3）(3，） d(，3)(0，3）解析：设f(x）f（x)g（x)，则当x0时，f(x)0，即f(x）在(，0)上是增函数又g（x）是偶函数,g（3)g(3）0。在x（，3)上，f(x)f（3)f（3）g(3）0，即f（x）g（x）0.又可证得f（x）是奇函

6、数,在x(0，3)上，f（x）g(x)0.故选d.答案:d二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知三次函数yx3x2axb在（0,1）处的切线方程为y2x1，则ab_。解析：y3x22xa，由题意可知当x0时,y1，y2，得a2，b1，故ab1。答案：114已知函数yf(x）的图象在点m(1，f(1)处的切线方程为yx2，则f(1）f(1）_。解析：由题意可知f(1)12，f(1)k，所以f(1)f(1）3。答案:315已知函数f（x）的导函数f(x)2x9，且f(0)的值为整数，当xn，n1（nn)时，f(x）所有可能取的整数值有且只有1个，则n_.解析：由题意可设f(x）x

7、29xc（cr），又f(0）的值为整数,即c为整数,f（n)n29nc为整数，f(n1)（n1)29（n1）cn27nc8为整数又xn，n1(nn）时，f（x）所有可能取的整数值有且只有1个,n27nc8n29nc，即n4。答案：416设函数f（x)ax33x1(xr），若对于任意x1,1，都有f(x）0成立,则实数a的值为_解析：由题意得f（x)3ax23，当a0时，有f(x）3ax230,f（x）在1，1上为减函数，f（x）最小值f(1)a20，解得a2（与条件a0矛盾），不符合题意当a0时，令f（x）0可得x，当x时，f(x）0，f（x）为减函数；当x，时，f（x)0,f（x)为增函数由

8、f（1)4a0可得0a4,又由fa110可得a4.综上可知a4。答案：4三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分)已知函数f（x）x3ax2bx(a，br），若yf（x）图象上的点处的切线斜率为4，求yf(x)在区间3，6上的最值解析:易得f(x)x22axb,f(1）4，12ab4。又在f（x)的图象上，ab，即ab40。由解得f(x）x3x23x，f（x)x22x3(x3）（x1)令f(x)0，解得x1或3.在x3,6上，当x变化时，f（x）,f(x）的变化情况如下表x3(3，1）1（1,3）3(3,6)6f(x）00f(x)9单调

9、递增极大值单调递减极小值9单调递增18当x3,6时，f(x)maxf(6）18，f(x）minf（3)f（3)9。18（本小题满分12分)已知函数f（x）x3ax2bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线y3x2，试求函数的极大值与极小值的差解析:f（x)3x22axb.由于f（x)在x2处有极值，f（2)0,即124ab0.又f（1)3,2ab33。由，得a3，b0.f（x）x33x2c。令f(x）3x26x0，得x10，x22。由于x(，0）或x(2，）时，f(x）0；x(0，2)时，f(x)0，f(0）是极大值，f（2）是极小值，f(0)f（2)4。19（本小题满分12分）已

10、知函数f（x)x2lnx。（1)求函数f(x）在1，e上的最大值和最小值；(2）求证：当x（1，)时，函数f（x）的图象在g(x）x3x2的图象的下方解析：（1）f(x)x2lnx,f（x)2x。当x1时，f（x)0，故f(x)在1,e上是增函数f(x)的最大值是f（e)1e2，最小值是f（1）1.(2)证明：令f(x)f（x）g（x）x2x3lnx，f（x）x2x2.x1，f（x)0。f(x)在(1，)上是减函数f(x）f(1）0.f(x）0，f（x）g(x）故当x（1,)时，函数f（x)的图象在g(x)的图象的下方20(本小题满分12分)已知一长方体的交于一顶点的三条棱长之和为1，其表面积

11、为。（1）将这个长方体的体积v表示成一条棱长x的函数v(x)，并写出其定义域;(2）求v（x）的最大值与最小值；（3)求v(x）取最大值时三条棱的长解析：（1）设三条棱长分别为x、y、z，则yzx(1x）故v（x）xyzx3x2x.又得0x1.v(x）x3x2x，x（0,1)(2)令v（x)3x22x0,解得x，或x。当x时，v(x)0；当x时，v（x）0;当x时，v（x)0。结合实际意义知，v既是v（x）的极大值也是最大值，v既是v（x）的极小值也是最小值故vmaxv，v(x）minv。(3）由（2）知，x时,v(x）取最大值解得或v(x）取最大值时，三条棱的长分别为、。21（本小题满分12

12、分)已知函数f（x)x3ax2bxc，曲线yf（x）在x1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，若x时,yf（x）有极值(1)求a，b,c的值；(2）求yf(x）在3，1上的最大值和最小值解析:(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3,可得2ab0。当x时,yf（x)有极值，则f0,可得4a3b40.由解得a2，b4。设切线l的方程为y3xm，由原点到切线l的距离为，得，解得m1。因为切线l不过第四象限,所以m1,所以y3x1.由于切点的横坐标为x1，所以f(1）4，所以1abc4，所以c5。故a2，b4，c5。(2)由(1

13、）可得f(x)x32x24x5，所以f（x)3x24x4。令f（x)0,得x2或x,当x变化时，f（x），f(x）的变化情况如下表：x（3，2)2f(x）00f（x)极大值极小值所以f（x)在x2处取得极大值f(2)13,在x处取得极小值f.又f(3）8，f(1)4，所以f（x）在3，1上的最大值为13，最小值为.22（本小题满分12分）函数f（x）x2ex1ax3bx2，已知x2和x1为f(x)的极值点(1）求a和b的值；(2)讨论f（x)的单调性；（3）设g（x)x3x2,试比较f(x)与g(x)的大小解析：（1）因为f（x）ex1（2xx2)3ax22bxxex1(x2)x(3ax2b)又x2和x1为f(x）的极值点,所以f（2)f(1）0。因此解方程组得（2)因为a,b1，所以f(x）x(x2）（ex11）令f（x)0，解得x12，x20,x31.因为当x(，2）(0，1）时，f（x）0;当x（2，0）(1,）时，f（x）0,所以f(x）在(2,0)和(1,)上单调递增，在（，2）和(0，1)上单调递减（3)由（1)可知f（x)x2ex1x3x2,故f（x）g（x)x2ex1x3x2（ex1x）令h（x)ex1x，则h(x）ex11，令h(x)0，得x1。因为x(,1时，h（x）0，所以h（x)