第一 二节大数定律及中心极限定理5-1,2

1、第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理 教学内容教学内容 1 大数定律大数定律 2 中心极限定理中心极限定理 教学重点教学重点 中心极限定理的应用中心极限定理的应用 大量随机试验中大量随机试验中 大数定律的客观背景大数定律的客观背景 大量抛掷硬币大量抛掷硬币 正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率 生产过程中的生产过程中的 废品率废品率 有有稳稳定定性性测测量量值值的的算算术术平平均均值值具具 某某一一常常数数事事件件发发生生的的频频率率稳稳定定于于 这种这种稳定性稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背静就是本节所要讨论的大数定律的客观背静 一一 依概率收敛定义

2、及性质依概率收敛定义及性质 定义定义 ，有，有若对于任意正数若对于任意正数一个常数一个常数 是是是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，设设 . , 21 aYYY n lim |1 n n P Ya . ., 21 aY aYYY P n n 记记为为依依概概率率收收敛敛于于则则称称序序列列 性质性质 ).,(),(),( ),(, bagYXgba yxgbYaX P nn P n P n 连连续续，则则点点 在在又又设设函函数数，设设 请注意请注意 : . 1 0 可能性很小可能性很小 生的生的的发生，而只是说他发的发生，而只是说他发并不排除事件并不排除事件 ；的概率很大，接近于的概率很

3、大，接近于充分大时，事件充分大时，事件当当 ，意味着对任意给定的，意味着对任意给定的依概率收敛于依概率收敛于 XX XXn aX n n n .定定性性弱弱些些，它它具具有有某某种种不不确确 中中的的普普通通意意义义下下的的收收敛敛依依概概率率收收敛敛比比高高等等数数学学 二、大数定律二、大数定律 定理定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫定理的特殊情况） 切比雪夫切比雪夫 则对任意的则对任意的0，有，有 学学期期望望和和方方差差：独独立立，且且具具有有相相同同的的数数 相相互互，设设随随机机变变量量, 21n XXX 2 1 2(),()(, ,). kk E XD Xk 1| 1 |li

4、m 1 n i i n X n P |lim XP n 1 1 X n n k k X 做前做前 n 个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均 证证 n k k X n E 1 1 由于由于 n n 1 n k k XE n1 )( 1 n k k X n D 1 1 n k k XD n1 2 )( 1 n n n 2 2 2 1 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 2 2 1 1 1 n X n P n k k 上式中令上式中令 n得得 1| 1 |lim 1 n i i n X n P 说明说明 .,2 , 1 XE 1 X ,2 1 1 有有的的稳稳定定性性），这这种种接接近近说说明明其

5、其具具（ ）（接接近近数数学学期期望望的的算算术术平平均均 随随机机变变量量定定理理以以数数学学形形式式证证明明了了、 nk X n XX k n i i n . 1 | 1 |1 1 于于时时，这这个个事事件件的的概概率率趋趋当当 是是指指一一个个随随机机事事件件，、定定理理中中 n X n n i i .常常数数收收敛敛的的意意义义下下逼逼近近某某一一 算算术术平平均均值值是是依依概概率率这这种种稳稳定定性性的的含含义义说说明明 . 1 ), 2 , 1( )(,)( , 1 2 21 P n k k kk n X X n Xk XDXE XXX ，即，即依概率收敛于依概率收敛于，则序列，

6、则序列 差：差：有相同的数学期望和方有相同的数学期望和方 相互独立，且具相互独立，且具，设随机变量设随机变量 1定理 的另一种叙述形式 问题问题 : 伯努利伯努利 设设nA是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生发生 的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率， n n A 是事件是事件A发生的频率发生的频率. 是是否否具具有有稳稳定定性性呢呢？ 替替事事件件的的概概率率，频频率率事事件件发发生生的的频频率率能能否否代代 设设 nA 是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发发 生的次数，生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生在每次试验中发生 的概率，则对于任意

7、正数的概率，则对于任意正数 0 ，有，有 定理定理2（贝努里大数定律）（贝努里大数定律） 1|lim p n n P A n 或或 伯努利伯努利 0|lim p n n P A n 证明证明 nA A XXXn pnbn 21 ),(由此可表示为由此可表示为因为因为 ),1()()(. 10 ppXDpXE p kk ，因因而而分分布布 ）以以为为参参数数的的（从从以以其其中中相相互互独独立立，且且都都服服 即即得得由由定定理理1 1|)( 1 |lim 21 pXXX n P n n |lim p n n P A n 证毕证毕 注注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重

8、复试验次数n充分充分 大时，事件大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较有较 大偏差的概率很小大偏差的概率很小. 0|lim p n n P A n 或或 .替替事事件件的的概概率率事事件件发发生生的的频频率率可可以以代代 此定理说明了频率的稳定性此定理说明了频率的稳定性 下面给出的独立同分布下的大数定律，下面给出的独立同分布下的大数定律， 不要求随机变量的方差存在不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 相互独立，相互独立， 服从同一分布，具有数学期服从同一分布，具有数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对于任意正数则对于任意正数

9、 ，有，有 定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律） 1| 1 |lim 1 n i i n X n P 辛钦辛钦 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望 值提供了一条实际可行的途径值提供了一条实际可行的途径. 注注 2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况. 3、辛钦定理具有广泛的适用性、辛钦定理具有广泛的适用性. 要估计某地区的平均亩产量要估计某地区的平均亩产量 ， 要收割某些有代表性块，例如要收割某些有代表性块，例如n 块块 地地. 计算其平均亩产量，则当计算其平均亩产量，则当n 较较 大时，可用它作为整个地区平均亩大时，可

10、用它作为整个地区平均亩 产量的一个估计产量的一个估计. 例例 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球，的同样的球， 从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下 号码号码. 否则 次取到号码第 0 01k X k 设设 ，k=1,2, 问对序列问对序列Xk能否应用大数定律？能否应用大数定律？ n k k n X n P 1 1| 1 . 0 1 |lim 即即对对任意的任意的0, 解解: , 9 . 01 . 0 01 k Xk=1,2, E(Xk)=0.1, 诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大独立同分布，且

11、期望存在，故能使用大 数定律数定律. 小结小结 大大 数数 定定 律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现大数定律以严格的数学形式表达了随机现 象最根本的性质之一：象最根本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性 2 )( )( k k XD XE )( k XE ),(pnbnA 大大数数定定律律 伯伯努努利利1|lim p n n P A n 大大数数定定律律 切切比比雪雪夫夫1| 1 |lim 1 n i i n X n P 大大数数定定律律 辛辛钦钦1| 1 |lim 1 n i i n X n P 所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈所谓大数定律，简单地说，就是大

12、量数目的随机变量所呈 现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性 来刻画。来刻画。 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和因素的综合（或和)影响所形成的影响所形成的. 例如：炮弹射击的例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差，落点与目标的偏差， 就受着许多随机因就受着许多随机因 素（如瞄准，空气素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个每个随机因随机因 素的对素的对弹着点（随机变量和）弹着

13、点（随机变量和）所起的作用都是很小所起的作用都是很小 的的.那么那么弹着点服从怎样分布哪弹着点服从怎样分布哪 ？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机

14、变量之和所特有现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题的规律性问题. 高斯高斯 当当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们，故我们 不研究不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 机变量机变量. 正正态态分分布布的的极极限限分分布布是是否否为为标标准准讨讨论论 n Y 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分 布这一类定理都叫做布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理. n k kk Xn

15、kX 1 ), 1(的和的和即考虑随机变量即考虑随机变量 11 1 () () nn kk kk n n k k XEX Y DX 一、中心极限定理一、中心极限定理 x n nX PxF n i i n n n 1 lim)(lim 定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理） ，则则随随机机变变量量之之和和 方方差差布布，且且具具有有数数学学期期望望和和 相相互互独独立立，服服从从同同一一分分设设随随机机变变量量 ), 2 , 1( )(,)(: , 2 21 k XDXE XXX kk n n nX Y n k k n 1 满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数

16、xxFn)( 的标准化变量的标准化变量 n k k X 1 x - 2t - dte 2 1 2 )(x 注注 ).1 , 0( ;),( ,1 1 2 1 1 N n nX nnNX n X n k kn k k n k k 近近似似地地近近似似地地 有有和和与与其其标标准准化化变变量量分分别别充充分分大大时时，随随机机变变量量之之当当 布布的的随随机机变变量量之之和和、定定理理表表明明，独独立立同同分分 )1 , 0( ),( 2 2 N n X nNX 近近似似地地近近似似地地 或或 为为定定理理的的另另一一种种形形式式可可写写、独独立立同同分分布布中中心心极极限限 n k k X n

17、X 1 1 其其中中 3、虽然在一般情况下，我们很难求出、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分的分 布的确切形式，但当布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布. n k k X 1 例题 一册400页的书中每一页的错误的个数服从参 数为0.2的泊松分布，各页有多少个印刷错误是相 互独立的，求这册书中的错误不多于88个概率 :,(0.2) ()0.2, ()0.2,1,2,.400 ii ii XiX E XD Xi 解 设第页的印刷错误的个数 400 1 088 i i PX 400 1 400*0.2 808 80400*0.280 i i X P (0.89)(

18、 8.94) 利用独立同 分布中心极 限定理 =0.8133 定理定理6( (棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De LaplaceDe Laplace定理）定理） )1 ( limx pnp np P n n 设随机变量设随机变量 (n=1,2,)(n=1,2,)服从参数服从参数n,p(0p1) 的二项分布，则对任意的二项分布，则对任意x，有，有 n dte x t 2 2 2 1 )(x 证证 之之和和，分分布布的的诸诸随随机机变变量量服服从从同同一一 个个相相互互独独立立、分分解解成成为为由由第第四四章章知知识识知知可可将将 n n XXX n ,)10( 21 n k kn X 1 即即

19、有有 1 , 0,)1( ), 2 , 1( 1 ippiXP nkX ii k k 的的分分布布律律为为其其中中 定理表明定理表明，当，当n很大，很大，0p1是一个定值时（或是一个定值时（或 者说，者说，np(1-p)也不太小时），也不太小时），二项二项变量变量 的的分布分布 近似正态分布近似正态分布 N(np,np(1-p). n ，由由于于), 2 , 1)1()(,)(nkppXDpXE kk 得得由定理由定理4 )1 ( limx pnp np P n n dte x t 2 2 2 1 )(x )1( lim 1 x pnp npX P n k k n )1(,( pnpnpN n

20、 近近似似地地 即即 例例1 20 1 20(1,2,), (0,10) .105. k k k V kn VVP V 一加法器同时收到个噪声电压 设它们是相互独立的随机变量，且都在区间 上服从均匀分布记，求的近似值 20 1 ()5,()100 12(1,2,20). -20 5 4Z(0,1) 100 20 12 kk k k E VD Vk V N 近似地 易知 由定理 知， 于是于是 105P V Z0.387p 解解 20 510520 5 100 1220100 1220 V p 348. 0)387. 0(1 例例2. (供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生

21、产期间由在生产期间由 于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常 需停工需停工. 设开工率为设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独并设每台车床的工作是独 立的，且在开工时需电力立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车的概率保证该车 间不会因供电不足而影响生产间不会因供电不足而影响生产? 用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数， 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作是观察该台车床

22、在某时刻是否工作, 工作的概率工作的概率0.6 , 共进行共进行200次独立重复试验次独立重复试验. 依题意，依题意，XB(200,0.6), 现在的问题是：现在的问题是： P(XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足 设需设需N台车床工作台车床工作， （由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N 台工作所需电力即台工作所需电力即N千瓦千瓦.） 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理 )1 (pnp npX 近似近似N(0,1), 于是于是 P(XN)= P(0XN) 这里这里 np=120, np(1-p)=48 ) 48 120 () 48

23、120 ( N 由由3准则，准则， 此项为此项为0。 ) 48 120N ( 999.0) 48 120 ( N 由由 查正态分布函数表得查正态分布函数表得 999. 0) 1 . 3(即所求即所求N=142. 例例3 12 0.05 0.8 0.15. 400 . 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数 是一个随机变量，设一个学生无家长、 名家长、名 家长来参加会议的概率分别为、 、若学校 共有名学生，设各学生参加会议的家长数相互 独立，且服从同一分布 .34012 4501 的的概概率率生生数数不不多多名名家家长长来来参参加加会会议议的的学学）求求有有（ 的的概概率率；超超过过）求求参参

24、加加会会议议的的家家长长数数（X 解解 15. 08 . 005. 0 210 )400,2 , 1()1( k k k k p X X kkX 的的分分布布律律为为的的家家长长数数，则则 个个学学生生来来参参加加会会议议记记第第以以 .400, 2 , 119. 0)(, 1 . 1)( kXDXE kk 易知易知 400 1 .4, k k XX 而由定理 可知随机变量 400 1 400 1.1 400 0.8 N0 1 400 0.19400 0.19 k k X X 近似地 （ ， ） 于于是是 19. 0400 8 . 0400450 19. 0400 8 . 0400 450 X PXP 147. 1 19. 0400 8 . 0400 1 X P 1257. 0)147. 1(1 2 . 08 . 0400 8 . 0400340 2 . 08 . 0400 8 . 0400 340 Y PXP 5 . 2 2 . 08 . 0400 8 . 0400Y P 9938. 0)5 . 2( Y-400 0.8 N0 1 400 0.16 近似地 （ ， ） 得得，