高中数学 第三章 概率 3.3.2 均匀随机数的产生学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精33。2均匀随机数的产生导入新知1均匀随机数的产生（1)计算器上产生0，1的均匀随机数的函数是rand函数(2)excel软件产生0,1区间上均匀随机数的函数为“rand(_）”2用模拟的方法近似计算某事件概率的方法（1)试验模拟的方法:制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验结果(2)计算机模拟的方法:用excel的软件产生0，1区间上均匀随机数进行模拟注意操作步骤化解疑难整数随机数与均匀随机数的异同二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现的概率是均等的但是整数随机数是离散的单个整数值，相邻两个整数随机数的步长为1;而均匀随机数是小数或整数，是连续的小数值

2、,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的用随机模拟法估计长度型几何概型例1取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大?解设剪得两段的长都不小于2 m为事件a。法一:（1)利用计算器或计算机产生n个01之间的均匀随机数，xrand；(2)作伸缩变换：yx*(50），转化为0,5上的均匀随机数；(3）统计出2，3内均匀随机数的个数m；（4）概率p(a)的近似值为。法二：(1）做一个带有指针的转盘,把圆周五等分，标上刻度0，5（这里5和0重合）；（2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在2，3内(表示剪断绳子位置在2，3范围

3、内）的次数m及试验总次数n；（3）概率p（a）的近似值为.类题通法利用随机模拟计算概率的步骤(1)确定概率模型;(2）进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到a，b上的均匀随机数；(3)统计计算；（4）得出结论，近似求得概率活学活用已知米粒等可能地落入如图所示的四边形abcd内，如果通过大量的试验发现米粒落入bcd内的频率稳定在附近，那么点a和点c到直线bd的距离之比约为_解析：设米粒落入bcd内的频率为p1，米粒落入bad内的频率为p2,点c和点a到直线bd的距离分别为d1，d2,根据题意得，p21p11，又p1,p2，。答案:用随机模拟估计面积型的几何概型例2如图所示,在墙上

4、挂着一块边长为32 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为3 cm，6 cm，9 cm。某人站在3 m之外向此板投镖,假设投镖击在线上或没有投中木板不算，可重投，用随机模拟的方法估计:(1）“投中小圆内”的概率是多少？(2）“投中小圆与中圆形成的圆环”的概率是多少？解记事件a，事件b。按如下步骤进行：第一步,用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1rand，b1rand;第二步，经过伸缩和平移变换，aa13216，bb13216，得到两组16，16上的均匀随机数；第三步，统计投在小圆内的次数n1(即满足a2b29的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数n2(

5、即满足9a2b236的点(a，b）的个数），投中木板的总次数n(即满足16a16,16b16的点（a,b）的个数）；第四步，计算频率fn（a),fn（b),即分别为概率p（a）,p(b）的近似值类题通法用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别（1）联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同,都需产生随机数；（2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题,一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的横纵坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比活学活用现向

6、图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率解：第一步，利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀随机数a1、b1（共n组);第二步，经过平移和伸缩变换，a（a10.5）2，b（b10.5）*2;第三步，数出满足不等式b2a,即6a3b4的数组数n1.所求概率p.可以发现,试验次数越多,概率p越接近.利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积例3(1)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为(）a.bc. d无法计算（2)利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(抛物线y22xx2与x轴

7、围成的图形）的面积解析(1)选b由几何概型的公式可得，又s正方形4，s阴影4。(2）第一步，利用计算机产生两组0，1上的均匀随机数，a1rand，b1rand;第二步,经过平移和伸缩变换，aa143，bb13，得到一组3,1和一组0,3上的均匀随机数;第三步，统计试验总次数n和落在阴影部分的点数n1（满足条件b22aa2的点(a，b)的个数）；第四步，计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值；第五步,设阴影部分的面积为s,由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为,所以，故s即为阴影部分面积的近似值类题通法利用随机模拟法估计图形面积的步骤(1）把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某规则图

8、形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；(2）利用随机模拟方法在规则图形内任取一点,求出落在阴影部分的概率p(a）；（3)设阴影部分的面积是s，规则图形的面积是s,则有,解得ss，即已知图形面积的近似值为s。活学活用利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分（曲线y2x与直线x1及x轴围成的图形)的面积解：设事件a为“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”,操作步骤如下：第一步，用计数器n记录做了多少次试验,用计数器m记录其中有多少次(x，y）满足1x1,0y2x(即点落在图中阴影部分），首先设置n0,m0;第二步，用变换rand()21产生11之间的均匀随机数x表示所投点的横坐标，用变换

9、rand(）2产生02之间的均匀随机数y表示所投点的纵坐标;第三步,判断点是否落在阴影部分,即是否满足y2x,如果是，则计数器m的值加1,即mm1，如果不是，m的值保持不变；第四步，表示随机试验次数的计数器n的值加1，即nn1，如果还要试验,则返回步骤第二步继续执行，否则结束程序结束后事件a发生的频率作为事件a的概率的近似值设阴影部分的面积为s,正方形面积为4，由几何概型概率计算公式得，p（a），所以，故可作为阴影部分面积s的近似值典例甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟,过时即可离开求甲、乙能见面的概率解题流程规范解答法一（利用几何概型的概率公式）:如图

10、所示：类题通法利用几何概型求解会面问题会面问题是利用数形结合转化为面积型几何概型的问题解决的，步骤如下：（1)将时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点（x,y）；（2）找出会面关系，用式子表示出能够会面的条件；（3）在平面直角坐标系里，画出所有可能的结果表示的区域，并求出面积；(4）用阴影部分表示出能够会面的区域，并求面积；（5)代入几何概型的概率公式求解活学活用两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达,设甲、乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是2小时与4小时,求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率解：如图所示，以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊

11、位时必须等待一段时间的等价条件是甲先到：yx2，乙先到：xy4。在平面直角坐标系内，(x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形,而事件a“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的所有可能结果由图中的阴影部分来表示，a242222202134，242576，所以p(a).故有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为.随堂即时演练1要产生3，3上的均匀随机数y，现有0,1上的均匀随机数x，则y不可取为(）a3xb3xc6x3 d6x3解析：选d法一：利用伸缩和平移变换进行判断,法二：由0x1，得96x33，故y不能取6x3.2设x，y是两个0，1上的均匀随机数,则0xy1的概率为(）a。 bc。

12、d解析：选a如图所示，所求的概率为p。3b1是0，1上的均匀随机数，b6（b10.5）,则b是_上的均匀随机数解析：b10,1，b10.50。5,0.5，6(b10.5)3，3答案：3,34(全国甲卷改编)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，,xn，y1,y2，,yn，构成n个数对(x1，y1），(x2，y2)，（xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为_（用m，n表示）解析:因为x1，x2，xn，y1，y2，yn都在区间0，1内随机抽取,所以构成的n个数对（x1，y1），(x2,y2）,，（xn，yn)都在边长为1的正方形oabc内（包

13、括边界),如图所示若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形oac内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对),故在扇形oac内的数对有m个用随机模拟的方法可得，即，所以.答案：5.如图所示，向边长为2的大正方形内投飞镖，利用随机模拟的方法求飞镖落在中央边长为1的小正方形中的概率(假设飞镖全部落在大正方形内)解：用几何概型概率计算公式得p。用计算机随机模拟这个试验，步骤如下:第一步,用计数器n记录做了多少次投飞镖的试验,用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内，设置n0，m0；第二步，用函数rand（）42产生两个22之间的均匀随机数x，y,x表示所投飞镖的横坐标，y表示所投飞镖的纵坐标；第三步

14、，判断(x,y)是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x1,|y|1，如果是，则m的值加1，即mm1，否则m的值保持不变；第四步，表示随机试验次数的计数器n加1，即nn1，如果还需要继续试验,则返回步骤第二步继续执行，否则，程序结束程序结束后飞镖投在小正方形内的频率作为所求概率的近似值课时达标检测一、选择题1若4x2，则x是负数的概率是()a.bc. d答案：d2已知函数f（x）log2x，x，则在区间上任取一点x0，使f（x0)0的概率为(）a1 bc. d答案:c3设一直角三角形两直角边的长均是区间0,1上的随机数，则斜边的长小于1的概率为(）a。 bc。 d答案:c4欧阳修卖油翁中

15、写到：(翁）乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为1。5 cm的圆，中间有边长为0。5 cm的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）a. bc. d答案:a5。如图，在aob中,已知aob60，oa2，ob5,在线段ob上任取一点c，求aoc为钝角三角形的概率()a0.6 b0.4c0。2 d0.1答案：b二、填空题6如图的矩形,长为5 m，宽为2 m，在矩形内随机撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138,则我们可以估计出阴影部分的面积为_m2.解析：由题意得

16、:，s阴影.答案：7.一个投针试验的模板如图所示，ab为半圆o的直径，点c在半圆上，且cacb.现向模板内任投一针，则该针恰好落在abc内(图中的阴影区域)的概率是_解析:设半圆o的半径为r,则半圆o的面积s半圆r2,在abc中，ab2r，cacbr，sabcrrr2.据题意可知该概率模型是几何概型，所以所求的概率为p。答案：8小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_解析：由题意画出示意图，如图所示表示小波在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书

17、的概率为，因此他不在家看书的概率为1。答案：三、解答题9利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y2x与x轴、x1围成的部分)的面积解:（1）利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1rand，b1rand。（2)经过平移和伸缩变换，a（a10.5)2，bb1n1,n)，即为点落在阴影部分的概率的近似值（3）统计试验总次数n和落在阴影内的点数n1。（4）计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值.(5）用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为p，s，即为阴影部分的面积值10对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分,设此人每项得分在0，100上是等可能出现的若单项80分以上,且总分170分以上才合格，求他合格的概率解:设某人两项的分数分别为x分、y分，则0x100，0y100，某人合格的条件是：80x100,80y100，xy170.在同一平面直角坐标系中,作出上述区域（如图中阴影部分所示）由图可知：0x100,0y100构成的区域面积为10010010 000，合格条件构成的区域面积为s五边形bcdefs矩形abcdsaef4001010350，所以所求概率为p。答:该人合格的概率为.11已知甲、乙两人约定到羽毛球馆去打球,两