第4章弯曲应力

1、第第四四章章 弯曲应力弯曲应力 4.1 弯曲的概念及弯曲的概念及计算计算简图简图 一、受力变形特点一、受力变形特点 车削工件车削工件 火车轮轴火车轮轴 4、梁、梁 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. 1、 受力特点受力特点 2、 变形特征变形特征 变形前为直线的轴线变形前为直线的轴线,变形后成为曲线变形后成为曲线. 3、平面弯曲、平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形弯曲变形 后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这

2、种弯曲这种弯曲 称为平面弯曲称为平面弯曲. 对称轴对称轴 纵向对称面纵向对称面 梁变形后的轴线与梁变形后的轴线与 外力在同一平面内外力在同一平面内 梁的轴线梁的轴线 FRA F1F2 FRB 平面弯曲平面弯曲 3、支座的类型、支座的类型 1、 梁的简化梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。 2、载荷类型、载荷类型 集中力集中力 集中力偶集中力偶 分布载荷分布载荷 （1）可动铰支座）可动铰支座 1个约束，个约束，2个自由度。个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，如：桥梁下的辊轴支座， 滚珠轴承等。滚珠轴承等。 F A A A A 二、静定梁的三种基本形式二、静定梁的三种基本形式

3、（2）固定铰支座）固定铰支座 （3）固定端）固定端 A A A FRAy A FRAx F F M 2个约束，个约束，1个自由度。个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。推滚珠轴承等。 3个约束，个约束，0个自由度。个自由度。 如：游泳池的跳水板支座如：游泳池的跳水板支座、车刀架、车刀架、 木桩下端的支座等。木桩下端的支座等。 （4）静定梁的基本形式）静定梁的基本形式 悬臂梁悬臂梁 外伸梁外伸梁 简支梁简支梁 梁的力学模型的简化梁的力学模型的简化 一、内力计算一、内力计算 例例4.1 已知已知 如图，如图，F，a，l. 求距求距A端端x处截面上内力处截面上内

4、力. 解解: 求支座反力求支座反力 4-2 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 B A a l F F F FRB AB F , , () , R R R 00 0 0 xAx AB yAy FF Fa MF l F la FF l 求内力求内力截面法截面法 弯曲构件内力弯曲构件内力 剪力剪力 弯矩弯矩 1.1.弯矩弯矩M 构件受弯时，横截面上其作用面构件受弯时，横截面上其作用面 垂直于截面的内力偶矩垂直于截面的内力偶矩. . M FRAx F AB Fm m x RAy Q C F FRB Q C M () , , Q R R 0 0 yAy CAy F la

5、FF l MMFx 2. 剪力剪力Q 构件受弯时，横截面上其作用线构件受弯时，横截面上其作用线 平行于截面的内力平行于截面的内力. Q dx m m Q + 1.1.剪力符号剪力符号 使使dx 微段有左端向上而右端向下微段有左端向上而右端向下的相对的相对 错动时错动时,横截面横截面m-m上的剪力为正上的剪力为正.或使或使dx微段微段 有顺时针转动趋势的剪力为正有顺时针转动趋势的剪力为正. 二、内力的符号规定二、内力的符号规定 使使dx微段有左端向下而右端向上的相对错微段有左端向下而右端向上的相对错 动时动时,横截面横截面m-m上的剪力为负上的剪力为负.或使或使dx微段有微段有 逆时针转动趋势的

6、剪力为负逆时针转动趋势的剪力为负. dx m m Q Q - 当当dx 微段的弯曲下凸微段的弯曲下凸（即该段的下半部即该段的下半部 受拉受拉 ）时）时,横截面横截面m-m上的弯矩为正；上的弯矩为正； 2.弯矩符号弯矩符号 m m + MM 当当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时部受压）时,横截面横截面m-m上的弯矩为负上的弯矩为负. m m M M 解：解：（1）求梁的支反力）求梁的支反力 FRA 和和 FRB 例例4.2 图示梁图示梁的计算简图的计算简图.已知已知 F1、F2,且且 F2 F1 ,尺寸尺寸a、b、c 和和 l 亦均为已知亦均为已知.试求

7、梁在试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩点处横截面处的剪力和弯矩. 0 AM FRB B d E D A a b c l C F F1 F2 FRA 0 21R bFaFlF B 0 B M 0)()( 21R blFalFlF A l blFalF F A )()( 21 R l bFaF F B 21 R 设设 E 截面处的剪力截面处的剪力QE 和弯矩和弯矩ME 的指向和转向均的指向和转向均 为正值为正值. A E c QE FRA R 00 yAE F,FQ 0, 0 R cF MM A EE 解得解得 REA QF R E A Fc M FRB B d E D A a b c

8、 l C F F1 F2 FRA 取右段为研究对象取右段为研究对象 a-c b-c CD l-c B E QE F1 F2FRB 12 00 yERB FQFFF 解得解得 + + R E A Fc M REA QF A E c QE FRA 12 0()()()0 ERBE MFlcF acF bcM 计算计算F点横截面处的剪力点横截面处的剪力QF 和弯矩和弯矩MF . F d B QF MF FRB , , R R 00 00 yFB FFB FQF MMFd 解得：解得： - + RFB QF dF M B F R FRB B d E D A a b c l C F F1 F2 FRA

9、三、计算规律三、计算规律 1、剪力、剪力 梁的任意横截面的剪力在数值上等于该截面一侧（左梁的任意横截面的剪力在数值上等于该截面一侧（左 侧或右侧）所有的竖向外力（包括斜向外力的竖直分量、侧或右侧）所有的竖向外力（包括斜向外力的竖直分量、 支座反力）的代数和；其中与该剪力同方向的外力取负号支座反力）的代数和；其中与该剪力同方向的外力取负号 ，反之取正号；亦左侧向上的外力引起的剪力为正，右侧，反之取正号；亦左侧向上的外力引起的剪力为正，右侧 向下的外力引起的剪力为正。（左上右下为正）向下的外力引起的剪力为正。（左上右下为正） 2、弯矩、弯矩 梁的任意横截面上的弯矩在数值上等于该截面一梁的任意横截面

10、上的弯矩在数值上等于该截面一 侧（左侧或右侧）所有的外力（包括外力偶）对该截侧（左侧或右侧）所有的外力（包括外力偶）对该截 面形心的力矩的代数和。其中与该弯矩同方向的外力面形心的力矩的代数和。其中与该弯矩同方向的外力 偶取负号，反之取正号；亦不论是左侧还是右侧向上偶取负号，反之取正号；亦不论是左侧还是右侧向上 的外力引起的弯矩为正。左侧力偶顺时针引起的弯矩的外力引起的弯矩为正。左侧力偶顺时针引起的弯矩 为正，右侧力偶逆时针引起的弯矩为正。（左顺右逆为正，右侧力偶逆时针引起的弯矩为正。（左顺右逆 为正）为正） 例例4.3 轴的计例算简图如图所示，已知轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2

11、= F = 60kN， a = 230mm，b = 100 mm 和和c = 1000 mm. 求求 C 、D 点处横截面点处横截面 上的剪力和弯矩上的剪力和弯矩. F2=F A C D B b a c F1=F FF 解解：（1 1）求支座反力）求支座反力 kN60 RR FFF BA （2）计算）计算C 横截面上的剪力横截面上的剪力QC和弯矩和弯矩 MC 取左侧取左侧 F2=F A C D B b a c F1=F FRB 1 60kN C QF 1 6 0kN m C Mb. F （3）计算）计算D横截面上的剪力横截面上的剪力QD 和弯矩和弯矩 MD 1 R 60600 DA QF F

12、1 R ()13.8kN m DA MFcacFa F 取左侧取左侧 Q= Q(x) M= M(x) 四、剪力方程和弯矩方程四、剪力方程和弯矩方程 用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律， 分别称作剪力方程和弯矩方程分别称作剪力方程和弯矩方程. . 1、剪力方程、剪力方程 2.弯矩方程弯矩方程 弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在 x 轴下侧轴下侧, ,负值画在负值画在x 轴上侧轴上侧 五、剪力图和弯矩图五、剪力图和弯矩图 剪力图为正值画在剪力图为正值画在 x 轴上侧轴上侧, ,负值画在负值画在x 轴下侧轴下侧 以平行于梁轴的横坐

13、标以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置表示横截面的位置,以纵坐以纵坐 标表示相应截面上的剪力和弯矩标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力这种图线分别称为剪力 图和弯矩图图和弯矩图 例例4.4 图图a所示悬臂梁受集度为所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。的满布均布荷载作用。 试作梁的剪力图和弯矩图。试作梁的剪力图和弯矩图。 (a) 根据截面右侧梁段上的载荷有根据截面右侧梁段上的载荷有 2 0 0 22 Q xqxxl xqx M xqxxl 解：解：1. 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 M x Q(x) 2. 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 (c) (b) Q 都发

14、生在固定端右侧都发生在固定端右侧 横截面上。横截面上。 2 2 max ql M (c) (a) (b) Q Qmax=ql 例例4.5 图图a所示简支梁受集度为所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的满布荷载作用。试作梁 的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。 解：解：1. 求约束力求约束力 2 ql FF BA (a) 2. 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 0 2 A ql Q xFqxqxxl lx qxqlxx qxxFxM A 0 222 2 xM Q(x) max 2 ql Q 8 2 max ql M 3. 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 2 0 ql Q xqx

15、xl lx qxqlx xM 0 22 2 Q 例例4.6 图图a所示简支梁受集中荷载所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。和弯矩图。 F (a) 解：解：1. 求约束力求约束力 l Fa F l Fb F BA , 2. 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程 F AC段梁段梁 0 0 A A Fb QxFxa l Fb M xF xxxa l xM Q(x) CB段梁段梁 F lbFb Q xF ll Fa axl l F F x xM Q(x) lxaxl l Fa axFx l Fb xM 3. 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 max Fb Q

16、 l l Fab M max lxaxl l Fa xM)( 0 Fb Q xxa l axx l Fb xM0 Fa Q xaxl l (c) (b) Q 例例4.7 简支梁受力如图简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程所示。试写出梁的剪力方程 和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：解：1. 求支座约束力求支座约束力 得和由 00 AB MM qlFqlF BA 8 1 , 8 3 可利用平衡方程可利用平衡方程 对所求约束力进行校核。对所求约束力进行校核。 0 y F (a) x B A l/2l/2 C q FA FB 2. 建立剪力方程和弯矩方程建立剪力

17、方程和弯矩方程 AC段：段： CB段：段： 3 ( ) 8 Q xqlqx 2 2 1 8 3 )(qxqlxxM 1 ( ) 8 Q xql ) 2 (lx l ) 2 0( l x ) 2 0( l x )( 8 1 )(xlqlxM ) 2 (lx l (a) x B A l/2l/2 C q FA FB 3求控制截面内力，绘求控制截面内力，绘Q , M图图 Q图图：AC段内段内 剪力方程是剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直的一次函数，剪力图为斜直 线，故求出两个端截面的剪力值即可线，故求出两个端截面的剪力值即可 3 8 A Qql 右 1 8 C Qql 左 CB段内段内 剪力方程为

18、常剪力方程为常 数，求出其中任一截数，求出其中任一截 面的内力值连一水平面的内力值连一水平 线即为该段剪力图。线即为该段剪力图。 1 8 B Qql 左 (a) x B A l/2l/2 C q (b) FS x 3 8 l 1 8 ql 3 8 ql Q M图：图：AC段内段内 弯矩方弯矩方 程是程是x的二次函数，表明弯矩的二次函数，表明弯矩 图为二次曲线，需求出两个图为二次曲线，需求出两个 端截面的弯矩。端截面的弯矩。 需判断顶点位置，该处弯矩需判断顶点位置，该处弯矩 取得极值。取得极值。 0 A M 2 16 1 qlM C 1 d( ) 0( )0) d M x Q x x 2 1 1

19、28 9 ) 8 3 (qllM lx 8 3 (a) x B A l/2l/2 C q (c) M x 9 128ql 2 1 16 ql2 (b) FS x 3 8 l 1 8 ql 3 8 ql Q 对于该梁来说有对于该梁来说有 2 2 d d d d d d Q x q x M x Q x x M x q x CB段内段内 弯矩方程是弯矩方程是x的一次函数，分别求出两个端点的的一次函数，分别求出两个端点的 弯矩，并连成直线即可。弯矩，并连成直线即可。 0 B M 2 16 1 qlM C (a) x B A l/2l/2 C q (c) M x 9 128ql 2 1 16 ql2 (

20、b) FS x 3 8 l 1 8 ql 3 8 ql Q （a） 当梁上有向下的均布荷载时，剪力图为一条 直线，其斜率 为负； d d Qx x 微分关系体现在该梁的剪力图和弯矩图中：微分关系体现在该梁的剪力图和弯矩图中： (a) x B A l/2l/2 C q (c) M x 9 128ql 2 1 16 ql2 (b) FS x 3 8 l 1 8 ql 3 8 ql Q (a) x B A l/2l/2 C q (c) M x 9 128ql 2 1 16 ql2 （b）从剪力图可见，随x的增大剪力Q由正值逐渐变 为负值，故弯矩图切线的斜率 也应随x的增大而由 正值逐渐变为负值；且在

21、 的截面处 ，即 弯矩图切线的斜率为零而弯矩有极值； x xM d d 0Q 0 d d x xM (b) FS x 3 8 l 1 8 ql 3 8 ql Q （c）由 可知，弯矩图的曲率 为 负，亦即在弯矩图的纵坐标如图中那样取向下为正时， 弯矩图为下凸的二次曲线。 q x xM 2 2 d d 2 2 d d x xM (a) x B A l/2l/2 C q (c) M x 9 128ql 2 1 16 ql2 (b) FS x 3 8 l 1 8 ql 3 8 ql Q 作业：作业：4-1 (b) (d) 4-2 (b) (c) 设梁上作用有任意分布荷载其集度设梁上作用有任意分布荷载

22、其集度 六、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系六、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系 规定规定 q (x)向上为正向上为正. . 将将 x 轴的坐标原点取在梁的左端轴的坐标原点取在梁的左端. . x y q(x) F M 1.1.弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系的推导弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系的推导 x y q(x) F M Q(x) M(x) Q(x)+dQ(x) M(x)+dM(x) 取取dx 微段微段 m m n n q(x) C x+dx 截面内力：截面内力： Q(x)+dQ(x) ， M(x)+dM(x) . 略去略去q(x) 沿沿dx的变化的变化 m-m截面上内力

23、截面上内力: : Q(x) , ,M(x) n x m m n dx 0 d ( )d( ) ( )( ) d( )d0 2 C M x M xM xM xQ xxq xx Q(x) M(x) Q(x)+dQ(x) M(x)+dM(x) m m n n q(x) C 平衡方程平衡方程 0 ( ) ( )d ( )( )d0 y FQ xQ xQ xq xx 得到得到 d ( ) ( ) d Q x q x x 略去二阶无穷小量即得略去二阶无穷小量即得 d( ) ( ) d M x Q x x 公式的几何意义公式的几何意义 （1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小）剪力图上某点处的

24、切线斜率等于该点处荷载集度的大小; （2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小; d ( ) ( ) d Q x q x x d( ) ( ) d M x Q x x 2 2 d( ) ( ) d M x q x x 3）弯矩图斜率的变化率等于点处荷载集度的大小。弯矩图斜率的变化率等于点处荷载集度的大小。 （根据根据q(x)0或或q(x) 0来判断弯矩图的凹凸性来判断弯矩图的凹凸性）. 常见载荷下常见载荷下Q，M图的一些特征图的一些特征 向上）(0 cq向下）(0 cq0q (0)Qcxb c )0( 2 1 2 cdbxcxM (0)Qc

25、xb c )0( 2 1 2 cdbxcxM Qc bcxM 集中力作用处集中力作用处集中力偶作用处集中力偶作用处 若某截面的剪力Q(x)=0，根据 ，该 截面的弯矩为极值。 d( ) ( )0 d M x Q x x 例例4.7 一简支梁在其一简支梁在其 中间部分受集度为中间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均的向下的均 布载荷作用，如图布载荷作用，如图a所所 示。试利用弯矩、剪力示。试利用弯矩、剪力 与分布载荷集度间的微与分布载荷集度间的微 分关系校核图分关系校核图b及图及图c所所 示的剪力图和弯矩图。示的剪力图和弯矩图。 x + - 100 kN 100 kN Q x Q 图 +

26、 100 150 100 x M M图（kNm） y FA FB A B CDE 2 m 1 m 4 m q - kN100 m2 m kN 100 2 1 BA FF 剪力图应当是水平直线剪力图应当是水平直线 100 kN A QF 1. 校核剪力图 解：解： + - 100 kN 100 kN Q x Q 图 y FA FB A B CDE 2 m 1 m 4 m q AC段内无载荷，段内无载荷， d 100kN/m d Q x x 斜直线的斜率为斜直线的斜率为 CD段，分布载荷集度q为 常量，为负值，即 q = -100 kN/m + - 100 kN 100 kN Q x Q 图 y

27、FA FB A B CDE 2 m 1 m 4 m q 剪力图为向右下方倾斜的斜直线剪力图为向右下方倾斜的斜直线 支座支座B偏左横截面上的剪力偏左横截面上的剪力 100 kN B QF + - 100 kN 100 kN Q x Q 图 y FA FB A B CDE 2 m 1 m 4 m q DB段，梁上无载荷，段，梁上无载荷， 剪力图是水平直线剪力图是水平直线 2. 校核弯矩图 mkN100 m1kN1000 C M AC段内，剪力为常量，M 图为斜率为正值的斜直线。 d 100kN d M x Q x x + - 100 kN 100 kN Q x Q 图 + 100 150 100

28、x M M图（kNm） y FA FB A B CDE 2 m 1 m 4 m q A处横截面上的弯矩为零处横截面上的弯矩为零 CD段 2 2 d 100kN/m d M x q x x 弯矩图是曲率为负弯矩图是曲率为负(即向下即向下 凸凸)的二次曲线。的二次曲线。 + - 100 kN 100 kN Q x Q 图 + 100 150 100 x M M图（kNm） y FA FB A B CDE 2 m 1 m 4 m q C截面处剪力无突变，截面处剪力无突变，CD 段的与段的与AC段梁弯矩段梁弯矩C处光处光 滑连接。滑连接。 + - 100 kN 100 kN Q x Q 图 + 100

29、 150 100 x M M图（kNm） y FA FB A B CDE 2 m 1 m 4 m q 1 d100 kN m100 kN 1m150 kN m 2 1 d150 kN m100 kN1m100 kN m 2 EC CE DE ED MMQ xx MMQxx 在剪力为零的跨中截面在剪力为零的跨中截面E处，处， 弯矩图切线的斜率为零，弯矩有弯矩图切线的斜率为零，弯矩有 极限值，极限值， + - 100 kN 100 kN Q x Q 图 + 100 150 100 x M M图（kNm） DB段段 剪力为负的常量，弯矩剪力为负的常量，弯矩 图是斜率为负的斜直线。图是斜率为负的斜直线

30、。 D点无集中力偶作用，点无集中力偶作用， 弯矩图无突变。弯矩图无突变。 + - 100 kN 100 kN Q x Q 图 + 100 150 100 x M M图（kNm） y FA FB A B CDE 2 m 1 m 4 m q B支座处弯矩为零支座处弯矩为零 已知：图中梁的约束力为已知：图中梁的约束力为 qaFqaF DA 2 ， 思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。 正确答案：正确答案： (a) 图中梁的约束力为图中梁的约束力为 qaFqaF BA 3 1 3 5 ， 正确答案：正确答案： (b) 图中梁的约束力为图中梁的约束力为 0 0 AA MF， 正确答案：正

31、确答案： (c) 七、七、 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 在小变形情况下 2 , 0 , 0 2 Q xFqxxl qx M xFxxl (a) 即梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中载荷即梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中载荷F和均布和均布 载荷载荷q单独作用时单独作用时(图图b和图和图c)相应内力的代数和叠加。相应内力的代数和叠加。 (b) (c) (a) 叠加原理 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结 构上)载荷成线性关系时，由几项载荷共同作用所引起的某 一参数之值，就等于每项载荷单独作用时所引起的该参数值 的叠加。 示例 图a所示受满布均布荷载q并在自由端受集中载荷

32、 作用的悬臂梁。 F=ql/4 l q (a) F=ql/4 l (b) l q (c) - 4 2 ql 32 2 ql M 2/ l x F l q (a) - x Q F 4 3ql F=ql/4 l (b) l q (c) M4 2 ql x Q x F - Q ql x - 2 2 ql M x - 4 2 ql 32 2 ql M 2/ l x M4 2 ql x -2 2 ql M x 八、平面刚架和曲杆的内力图八、平面刚架和曲杆的内力图 . 平面刚架平面刚架 平面刚架平面刚架由同一平面内不同取向的杆件相互间刚由同一平面内不同取向的杆件相互间刚 性连接的结构。性连接的结构。 刚架

33、内力图习惯上按下列约定：刚架内力图习惯上按下列约定： 弯矩图，画在各杆的弯矩图，画在各杆的受拉受拉一侧，一侧，不注明正、负号；不注明正、负号； 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值任一侧（通常正值 画在刚架外侧），但须注明正负号；画在刚架外侧），但须注明正负号； 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。 例例4.8 试作图试作图a所示刚架的内力图。所示刚架的内力图。 (a) 各杆的内力方程为：各杆的内力方程为： 0N x CB杆： (杆的外侧受拉) 1 Q xF )0()( 1 axxFxM 11 N xF (杆的外侧受

34、拉) BA杆： 12 Q xF lxxFaFxM 11211 0 解：解： (a) 轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号 (图图b及图及图c)；弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧；弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧(图图d)。 (a) N Q . 平面曲杆平面曲杆 平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲 杆的径向截面)。 横截面m m上的内力 cos0NF sin0QF 外侧受拉为正0cos1FRFxM - + (c) N图 F (d) Q 图 + FF 作业：作业： 4-3 4-4(a)4-6 (b) m m M 一、横截面上

35、的应力一、横截面上的应力 横力作用时横力作用时 4-3 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 m m m m M 弯矩弯矩M 正应力正应力 剪力剪力Q 切应力切应力 内力内力 dQ = dA 横截面上有弯矩而没有轴力，故轴横截面上有弯矩而没有轴力，故轴 向方向的应力分布是非均匀的，且向方向的应力分布是非均匀的，且 不同区域上的轴力必定是反向的，不同区域上的轴力必定是反向的， 合力值是相等的。合力值是相等的。 dN = dA （1）纯弯曲梁）纯弯曲梁 ( 横截面上只有横截面上只有M而无而无Q的情况的情况 ) （2）横力弯曲）横力弯曲 ( 横截面上既有横截面上既有Q又有又有M的情况的情况 ) 若梁

36、在某段内各横截面若梁在某段内各横截面 的弯矩为常量，剪力为零，的弯矩为常量，剪力为零， 则该段梁的弯曲就称为纯弯则该段梁的弯曲就称为纯弯 曲曲. 纯弯曲纯弯曲 + + F F + Fa FF aa C D AB 两种情况：两种情况： 、实验、实验 各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度，仍与相对转过了一个角度，仍与 变形后的纵向弧线垂直变形后的纵向弧线垂直. 各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长. 1、纯弯曲时的正应力、纯弯曲时的正应力 平面假设：变形前为平面的横截面平

37、面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线；后的梁轴线； 单向受力假设：纵向纤维不相互挤单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压压，只受单向拉压. 推论：必有一层变形前后长度不变的纤维推论：必有一层变形前后长度不变的纤维中性层中性层 中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴 中性轴中性轴 dx 图（图（b） y z x O 应变分布规律：应变分布规律： 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比. 图（图（a） dx 、变形几何关系、变形几何关系 图（图（c） d d y

38、 z y x O O b b y bb O O xbbd OO OO d yy d dd)( d)(ybb 、物理关系、物理关系 所以所以 胡克定律：胡克定律： y z O x 横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比. 应力分布规律：应力分布规律： 待解决问题待解决问题: : 中性轴的位置中性轴的位置 中性层的曲率半径中性层的曲率半径 E y E y z x O M z y 、静力关系、静力关系 内力系为垂直于内力系为垂直于 横截面的空间平行力横截面的空间平行力 系，这一力系可简化系，这一力系可简化 得到三个内力分量得到三个内力分量

39、. N Mz My dd0(1) AA NN A dd0(2) yy AA MMz A dd(3) zz AA MMy AM 中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心 z IE M 1 自然满足自然满足 d0 A y NEA 0d A Ay E 0d A Ay z S d0 y A y MzEA 0d A Ayz E 0d A Ayz yz I d z A y MyEAM MI E z MAy E A d 2 z EI M 1 y E 得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式: z My I M为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中

40、性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩. 最大正应力发生在横截面上最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处离中性轴最远的点处. . I yM z max max 则公式改写为则公式改写为 W M max 引用记号引用记号 抗弯截面系数抗弯截面系数 max y I W z Iz和和W的求法：的求法： 圆截面圆截面 矩形截面矩形截面 空心圆截面空心圆截面 空心矩形截面空心矩形截面 A dAyI 2 Z max Z Z y I W 64 4 Z d I 32 3 Z d W )1 ( 64 4 4 Z D I)1 ( 32 4 3

41、 Z D W 12 3 Z bh I 6 2 Z bh W 1212 3 3 00 Z bhhb I)2/() 1212 ( 0 3 3 00 Z h bhhb W （1 1）中性轴是对称轴的横截面）中性轴是对称轴的横截面 z y y maxc y maxt M 分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和 直接代入公式直接代入公式y maxt y maxc z I My maxc tmax I My z maxc maxc I My z maxt maxt （2）中性轴不是对称轴的横截面）中性轴不是对称轴的横截面 当梁上有横向力作用时，横

42、截面上既又弯矩又有剪力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力. 梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲. 2、 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 平面假设和单向受力假设都不成立平面假设和单向受力假设都不成立. 横力弯曲横力弯曲 ( ) z M x y I 工程中常用的工程中常用的细长细长梁梁（l/h5），可以可以用纯弯曲时的用纯弯曲时的 正应力公式正应力公式计算横力弯曲时横截面上的正应力计算横力弯曲时横截面上的正应力。 公式的应用范围公式的应用范围 1.在弹性范围内在弹性范围内 3.平面弯曲平面弯曲 4.直梁直梁 2.具有切应力的梁具有切应力的梁5/ hl

43、 三、强度条件三、强度条件 1、数学表达式、数学表达式 max max W M 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 2、强度条件的应用、强度条件的应用 max M W max WM （3）确定许可载荷）确定许可载荷 （1） 强度校核强度校核 max W M 铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 ct 梁的中性轴一般也不是对称轴，梁的中性轴一般也不是对称轴， maxcmaxt 要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力 tmaxt cmaxc 例题例题 螺栓压板夹紧装置如图所示（

44、螺栓压板夹紧装置如图所示（B截面有一直径为截面有一直径为14mm 的圆孔）的圆孔）.已知板长已知板长3a150mm，压板材料的弯曲许用应力，压板材料的弯曲许用应力 140MPa.试计算压板传给工件的最大允许压紧力试计算压板传给工件的最大允许压紧力F. A C B F a 2a 20 30 14 FRA FRB Fa 解：解：1.作弯矩图，最大弯矩为作弯矩图，最大弯矩为Fa； 2.求惯性矩，抗弯截面系数求惯性矩，抗弯截面系数 223223 84 (3 10 )(2 10 )(1.4 10 )(2 10 ) 1.07 10 m 1212 z I 8 63 2 max 1.07 10 1.07 10

45、 m 1 10 z z I W y 3.求许可载荷求许可载荷 max WM z 3kNN 3 103 a z W F z WFa 例题例题 图图a所示简支梁由所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后号工字钢制成，其截面简化后 的尺寸见图的尺寸见图b。已知。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正。试求危险截面上的最大正 应力应力max和同一横截面上翼缘与腹板交界处和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处点处(图图b)的正的正 应力应力a。 解：在不考虑梁的自重解：在不考虑梁的自重( )( )的情况下，该梁的的情况下，该梁的 弯矩图如图所示，截面弯矩图如图所示，截面C C为危险截面，相应的最

46、大弯矩值为为危险截面，相应的最大弯矩值为 m kN 041. 1 mkN375 4 m10kN150 4 max Fl M 由型钢规格表查得由型钢规格表查得56a号工字钢截面号工字钢截面 3 cm2342 z W 4 cm65586 z I MPa160 m102342 mN10375 36 3 max max z W M MPa148 m1065586 m021. 0 2 m56. 0 mN10375 48 3 max z a a I yM 于是有于是有 危险截面上点a 处的正应力为 MPa148 MPa160 2 m56. 0 m021. 0 2 m56. 0 max max y ya a

47、 显然，梁的自重引起的最大正应力仅为 而危险截面上的最大正应力变为 MPa7 .165Pa107 .165 m102342 mN10388 6 36 3 max MPa7 . 5MPa1607 .165 远小于外加荷载远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。所引起的最大正应力。 mkN388mkN13mkN375 84 2 max qlFl M 如考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)，最大弯矩为 (a) (b) 例题例题 图图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b 所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力=152 MPa

48、。试选择。试选择 工字钢的号码。工字钢的号码。 解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 mkN375 max M 强度条件强度条件 要求要求： z W M max 36 6 max m102460 Pa10152 mkN375 M Wz 363 m102447cm2447 z W 此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用 56b工字钢。 由型钢规格表查得由型钢规格表查得56b号工字钢的号工字钢的Wz为为 此时危险截面上的最大工作应力为此时危险截面上的最大工作应力为 其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最 大工作应力超过许用应力不

49、到5%，则通常还是允许的。 MPa159 m102447 mN101 .389 36 3 max max z W M mkN1 .389mkN1 .14mkN375 8 mkN375 2 max ql M 如果计入梁的自重如果计入梁的自重 ，危险截面，危险截面 仍在跨中，相应的最大弯矩则为仍在跨中，相应的最大弯矩则为 m kN 1.127 m kg 115q 作业：作业：4-11 4-13 4-19 z y b h 4.4 弯曲切应力弯曲切应力 一、一、 矩形截面梁矩形截面梁 1、假设：、假设： 横截面上各点的切应力与剪力的方向相同。横截面上各点的切应力与剪力的方向相同。 切应力沿截面宽度均匀

50、分布（距中性轴等切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等 距离的各点切应力大小相等）。距离的各点切应力大小相等）。 2、公式推导、公式推导 x d x 图图a y Q 11 (d )0 x FNNbx dd z AA zz MSM NAy A II 1 (d) z z MMS N I 1 d d zz zz SQSM x bIbI A Z y y 由剪应力互等定理由剪应力互等定理 z z QS I b Q M h dMM dQQ dx 注意：注意： 为所求点对应位置以外的面积为所求点对应位置以外的面积 对对Z轴的静矩。轴的静矩。 * z S 5 . 1 2 3 max A Q ) 4 ( 2 2

51、2 y h I Q z 矩 3、矩形截面剪应力的分布：、矩形截面剪应力的分布： ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 22 2 y hb y h b y h AyS cz z z QS I b z y h b B Q * () 2 h Aby * c y max Q 1 沿截面高度按二次抛物线规律变化沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力同一横截面上的最大切应力max在中性轴处在中性轴处( y=0 )； (3)上下边缘处上下边缘处（y=h/2)，切应力为零切应力为零。 二、非矩形截面梁二、非矩形截面梁圆截面梁圆截面梁 1 1、切应力的分布特征：、切应力的分布特征： 边缘各

52、点切应力的方向与圆周边缘各点切应力的方向与圆周 相切；相切；切应力分布与切应力分布与 y y 轴对称；轴对称； 与与 y y轴相交各点处的切应力其方轴相交各点处的切应力其方 向与向与y y轴一致。轴一致。 * ( ) z y z QS I b y 2、关于其切应力分布的假设：、关于其切应力分布的假设： 1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距离y的水平直线的水平直线 段上各点处的切应力汇交于一点段上各点处的切应力汇交于一点 ； 2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量y 沿宽沿宽 度相等。度相等。 z y O max kk O d 最大切应力 max 在中性轴处 * max z z QS I d 2 44 3 3 4 QQ A d 2 4 12 243 64 dd Q d d z y O max kk O d y z O C 2d /3 1、工字形薄壁梁、工字形薄壁梁 * ( ) z z QS y I 假设假设 : : / 腹板侧边，并沿腹板侧边，