第8章 梁的应力1mc

1、第第8 8章章 弯曲应力弯曲应力 8-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 8-2 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件 8-3 梁横截面的剪应力和剪应力强度条件梁横截面的剪应力和剪应力强度条件 8-4 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施 (1) (1) 纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无 剪力的弯曲（横截面上只有正应 力而无剪应力的弯曲）。 剪力剪力“Fs”切应力切应力“”； 弯矩弯矩“M”正应力正应力“” (2) (2) 横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲） a a F BA F M x Fs x Fa F F 梁的横截面上既有弯矩又有 剪力的弯曲（横截面上既有正应

2、力又有剪应力的弯曲）。 1. 纯弯曲和横力弯曲的概念纯弯曲和横力弯曲的概念 第一节 梁横截面的正应力 2. 纯弯曲梁横截面上的正应力公式纯弯曲梁横截面上的正应力公式 （一）变形几何关系：（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。 1 1、观察实验：、观察实验： (1)变形几何方面 (2)物理关系方面 (3)静力学方面 a b c d a b c d MM 2 2、变形规律：、变形规律： 、横向线、横向线：仍为直线，：仍为直线， 只是相对转动了一个角度只是相对转动了一个角度 且仍与纵向线正交。且仍与纵向线正交。 、纵向线、纵向线：由直线变为：由直线变为 曲线，且靠近上部的纤维

3、曲线，且靠近上部的纤维 缩短，靠近下部的纤维伸缩短，靠近下部的纤维伸 长。长。 3 3、假设：、假设： （1 1）弯曲平面假设：）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。动了一个角度。 凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短 突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变 的过渡层-称为中中 性层性层 。 中间层与横截面中间层

4、与横截面 的交线的交线 中性轴中性轴 （2 2）纵向纤维假设：）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。之间无挤压。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转 动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。 A a b c d y x d A 4 4、线应变的变化规律：、线应变的变化规律： (1) . y dx y oo1 在弹性范围内， AB ABBA 11 1 111 OO OOBA d ddy )( y E （二）物理关系：（二）物理关

5、系：由纵向线应变的变化由纵向线应变的变化 规律规律正应力的分布规律。正应力的分布规律。 (2) . Ey E a b c d Ey E 应力的分布图：应力的分布图： M Z y max max 中性轴的位置？中性轴的位置？ ？中中性性层层的的曲曲率率 1 为梁弯曲变形后的曲率 1 y x M Z A N dAF) 1 (00 zz AA SS E ydA E dA y E （中性轴（中性轴Z轴为形心轴）轴为形心轴） A y dAzM) 2(00 yzyz AA II E yzdA E zdA y E （y轴为对称轴，自然满足轴为对称轴，自然满足） y zA A z dAyM) 3(MI E d

6、Ay E ydA y E z AA 2 弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式 Z 1 EI M （三）、静力学关系：（三）、静力学关系： 由横截面上的弯矩和正应由横截面上的弯矩和正应 力的关系力的关系正应力的计算公正应力的计算公 式。式。 z I My 弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当当M 0时，下拉上压；时，下拉上压； 当当M 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 弯曲正应力公式弯曲正应力公式 Z I My 可推广应用于横力弯曲和小曲率梁 1m2m BA 截面关于中

7、性轴对称 z ct W M max maxmax 截面关于中性轴不对称 (最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内) Z maxmax max I yM 横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K 1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 3.全梁上最大正应力 4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径 FS x 90kN 90kN mkN605 . 0160190 C M 1. 求支反力求支反力 kN90 Ay FkN90 By F 45 33 Z m10832. 5 12 18.

8、012. 0 12 bh I MPa7 .61Pa107 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 6 5 33 Z KC K I yM （压应力）（压应力） 解：解： x m67.5kN8/ 2 ql M 2. C 截面上截面上K点正应力点正应力 例例 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 3. C 截面最大正应力截面最大正应力 C 截面弯矩 mkN60 C M 45 Z m10832. 5 I MPa55.92Pa1055.92 10832. 5 10 2 180 1060 6 5 33 Z

9、max max I yM C C x m67.5kN8/ 2 ql M BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN 4. 全梁最大正应力全梁最大正应力 最大弯矩最大弯矩 mkN5 .67 max M 45 m10832. 5 z I MPa17.104Pa1017.104 10832. 5 10 2 180 105 .67 6 5 33 Z maxmax max I yM x m67.5kN8/ 2 ql M BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K FS x 90kN 90kN

10、 5. C 截面曲率半径截面曲率半径 C 截面弯矩截面弯矩 mkN60 C M 45 Z m10832. 5 I m4 .194 1060 10832. 510200 3 59 C Z C M EI EI M 1 x m67.5kN8/ 2 ql M 例：例： 已知已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽号槽 钢。求最大拉应力和压应力。钢。求最大拉应力和压应力。 解：解：（1）作弯矩图）作弯矩图 mN3000 2 1 2 max qlM （2）由型钢表查得，）由型钢表查得，10号槽钢号槽钢 4 cm6 .25 z Icm8 . 4bcm52. 1 1 y （3）求最大应力）求最大应力 z I

11、yM 1max max, t z I yM 2max max, c 48- 2 m1025.6 )m1052. 1)(mN3000( MPa1 .178 48- 2 m1025.6 m10)52. 18 . 4()mN3000( MPa4 .384 Wz 称为称为弯曲截面模量。弯曲截面模量。它与它与截面的几何形状有关，单位为截面的几何形状有关，单位为m3。 z I yM maxmax max max y I W z z z W M max max 横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应 力力 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最

12、远处。即发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即 max 引用记号引用记号 则则 8-2 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 第二节 弯曲正应力的强度条件 几种常见截面的几种常见截面的 IZ 和和 WZ 圆截面圆截面 矩形截面矩形截面 空心圆截面空心圆截面 空心矩形截面空心矩形截面 max Z Z y I W 64 4 Z d I 32 3 Z d W )1 ( 64 4 4 Z D I )1 ( 32 4 3 Z D W 12 3 Z bh I 6 2 Z bh W 1212 3 3 00 Z bhhb I)2/() 1212 ( 0 3 3 00 Z h bhhb W 如果梁的最大工

13、作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就 是安全的。因此，是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件梁弯曲时的正应力强度条件为为 z W M max max 对于抗拉和抗压强度相等的材料对于抗拉和抗压强度相等的材料 ( (如低碳钢如低碳钢) )，只要绝对值最，只要绝对值最 大的正应力不超过许用弯曲应力即可。大的正应力不超过许用弯曲应力即可。 对于抗拉和抗压不等的材料对于抗拉和抗压不等的材料 ( (如铸铁如铸铁) )，则最大的拉应力和最，则最大的拉应力和最 大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。 例：例：2

14、0a工字钢梁。若工字钢梁。若 ，试求许可荷载，试求许可荷载 F 。 MPa160 FAFB 解：解：（1）计算支反力）计算支反力 N 3 F FF BA （2）作弯矩图）作弯矩图 mN 3 2 max F FaM （3）确定许可荷载）确定许可荷载 zz W F W M 3 2 max max z WF 2 3 N)10160)(10237( 2 3 66 kN9 .56 例：例：T字形截面铸铁梁如图。铸铁许用拉应力字形截面铸铁梁如图。铸铁许用拉应力 =30MPa, 许用压许用压 应力应力 =160 MPa。已知中性轴位置。已知中性轴位置 y1 = 52 mm，截面对形心轴，截面对形心轴 z 的

15、惯性矩为的惯性矩为 Iz=763 cm4。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 t c 解：解： 1.1.计算支反力计算支反力 kN5 . 2 A F kN5 .10 B F 2.2.绘弯矩图绘弯矩图 mkN4 B M mkN5 . 2 C M FBFA mkN4 B M mkN5 . 2 C M 3.3.强度校核强度校核 B截面：截面： C截面：截面： z B I yM 1 max, t 48 33 m10763 m)1088)(mN104( z C I yM 2 max, t 故该梁满足强度条件。故该梁满足强度条件。 t MPa1 .46 MPa8 .28 48 33 m10763 m)105

16、2)(mN104( MPa3 .27 z B I yM 2 max, c c 48 33 m10763 m)1088)(mN105 . 2( t z y b h 1. 矩形截面梁横截面上的剪应力矩形截面梁横截面上的剪应力 (1)(1)假设：假设： 横截面上各点的剪应力方向与剪力的方向相同。横截面上各点的剪应力方向与剪力的方向相同。 剪应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各剪应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各 点剪应力大小相等）。点剪应力大小相等）。 (2)(2)公式推导公式推导 x d x 图图a y Fs 第三节 梁的剪应力和剪应力强度条件 0)( 11 dxbNNX z z A

17、 z A I MS ydA I M dAN z z I SdMM N )( 1 z zs z z bI SF bI S dx dM 1 A Z y y 由剪应力互等定理可知由剪应力互等定理可知 bI SF z zs s F M h dMM ss dFF dx 注意注意：Fs为横截面的剪力；为横截面的剪力；Iz 为整个横截为整个横截 面对面对 z 轴的惯性矩；轴的惯性矩；b为所求点对应位置为所求点对应位置 截面的宽度；截面的宽度； 为所求点对应位置以外为所求点对应位置以外 的面积对的面积对Z轴的静矩。轴的静矩。 * z S 5 . 1 2 3 max A Q ) 4 ( 2 2 2 y h I

18、Q z 矩 (3) (3) 矩形截面剪应力的分布：矩形截面剪应力的分布： ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 22 2 y hb y h b y h AyS cz bI SF z zs z y h b B s F ) 2 ( * y h bA * c y max s F 11 沿截面高度按二次抛物线规律变化；沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力同一横截面上的最大切应力 max在中性轴处在中性轴处( y=0 )； (3)上下边缘处上下边缘处（y=h/2)，切应力为零切应力为零。 2. 非矩形截面梁非矩形截面梁圆截面梁圆截面梁 剪应力的分布特征：剪应力的分布特征： 边缘各

19、点切应力的方向与圆周相切；边缘各点切应力的方向与圆周相切；切切 应力分布与应力分布与 y 轴对称；与轴对称；与 y轴相交各点处轴相交各点处 的切应力其方向与的切应力其方向与y轴一致。轴一致。 )( * S ybI SF z z y 关于其切应力分布的假设：关于其切应力分布的假设： 1 1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各的水平直线段上各 点处的切应力汇交于一点点处的切应力汇交于一点 ； 2 2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量 y 沿宽度相沿宽度相 等。等。 z y O max kk O d 最大切应力最大切应力 max 在中性轴处在中性轴处 dI S

20、F z z * S max A F d F 3 4 4 3 4 S 2 S d d dd F 64 3 2 4 2 1 4 2 S z y O max kk O d y z O C 2d /3 3. 梁的剪应力强度条件梁的剪应力强度条件 一般一般 max max发生在 发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，所在截面的中性轴处。不计挤压， 则则 max max所在点处于 所在点处于纯剪切应力纯剪切应力状态状态。 。 梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为 max bI SF z z * maxmaxS 材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的许用切应力 对等直梁，有对等直梁，有

21、E max F max E m m l/2 q G H C D F l ql2/8 ql/2 ql/2 弯曲切应力的强度条件弯曲切应力的强度条件 bI SQ z zmaxmax max 1 1、校核强度、校核强度 2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸 3 3、确定外荷载。、确定外荷载。 需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况： (2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的 相应比值时，要校核剪应力相应比值时，要校核剪应力 (1)梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而 Q 较大时，要校核剪应力较大时，要校核剪应力。 (3)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力要校核剪应力。 z W Mmax max bI SQ z zmaxmax max 一、合理安排梁的受力，减小弯矩。一、合理安排梁的受力，减小弯矩。 AB F/L Mmax = FL