物理竞赛初赛资料1

1、第一部分 静力学与运动学 1共点力与力平衡几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。这几个力叫做共点力一个物体在共点力的作用下，如果保持静止或者匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态作用在物体上几个力的合力为零，这种情况叫做力的平衡 2力矩、力偶矩与转动平衡 力F和力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩表达式为：M=FL 如图120所示，作用在物体上的大小相等方向相反的两个力产生的力矩称为力偶矩，力偶矩的作用效果是纯转动数学表达式为 M力偶矩=F.L两力间的距离 物体受到非共点力作用而处于静止或匀速转动状态，也就是说，作用在物体上几个力的合力矩为零的情形，叫做力矩的平衡3一

2、般刚体的平衡 共点力作用下处于平衡状态的物体，其平衡的充要条件是合外力等于零即F=0 非共点力作用下有固定转轴的物体平衡的充要条件是合力矩等于零即M=0 而对一般刚体，则要把两者结合起来才是它平衡的充要条件，因此在解一般刚体平衡的问题时可列出两个方程，即 F=O和 M=0 这里需要说明的是： (1)M0方程的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为零 (2)M0方程只能列一个，取其它转轴再次列出是无效的 (3)如果一根“轻杆”只受到两个力的作用而平衡，那么这两个力的力向一定沿杆的方向【例题1】如图所示，在倾角为q的粗糙斜面上，一圆柱体被水平绳拉住处于静止圆柱体质量为M，求斜面对柱

3、体的静摩擦力和绳子的拉力大小 圆柱体共受重力G，弹力N，摩擦力，和绳子的拉力T四个力作用取圆柱体和斜面的接触点为转轴，由M=0可得MgRsinq=T(R+Rcosq)取圆柱体轴线为转轴，同样可得，fR=TR f=TABO练习1、如图所示，一光滑半球形容器直径为a，边缘恰与一光滑竖直的墙壁相切。现有一均匀直棒AB，A端靠在墙上，B端与容器底相接触，当棒倾斜至水平面成60角时，棒恰好平衡，求棒长。【练习2】如图所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素

4、为），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。以球和杆为对象，研究其对转轴O的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f ，支持力为N ，重力为G ，力矩平衡方程为：f R + N（R + L）= G（R + L） 球和板已相对滑动，故：f = N 解可得：f = 再看木板的平衡，F = f 。同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦f= = F。答案： 。【例题2】如图所示，在固定的、倾角为斜面上，有一块可以转动的夹板（不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：取何值

5、时，夹板对球的弹力最小。解说：法一，平行四边形动态处理。对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N1进行平移，使它们构成一个三角形，如图8的左图和中图所示。由于G的大小和方向均不变，而N1的方向不可变，当增大导致N2的方向改变时，N2的变化和N1的方向变化如图8的右图所示。显然，随着增大，N1单调减小，而N2的大小先减小后增大，当N2垂直N1时，N2取极小值，且N2min = Gsin。法二，函数法。看图8的中间图，对这个三角形用正弦定理，有： = ，即：N2 = ，在0到180之间 取值，N2的极值讨论是很容易的。答案：当= 90时，甲板的弹力最小。4、摩擦角NFfmf0将摩擦力f和

6、接触面对物体的正压力N合成一个力F，合力F称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tg=f/N，则角为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tg0=s=fm/N，则称0为静摩擦角。由于静摩擦力f0属于范围0ffm，故接触面作用于物体的全反力同接触面法线的夹角0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力的作用线落在（0，0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。F【例题3】如图所示，一质量为m的小木块静止在滑动摩擦因数为=的水平面上，用一个与水平方向成角度的力F拉着小木块做匀速直线运动，当角为多大时力F最小？ 【练习2】如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱

7、体放上去之前，A、B两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为。若系统处于平衡状态，0和必须满足什么条件？ ABC【练习3】质量为50kg的杆，竖直地立在水平地面上，杆与地面的最小静摩擦因数为0.3，杆的上端被固定在地面上的绳牵拉住，绳与杆的夹角为30，如图所示。hLF（1）若 水平力F作用在杆上，作用点到地面距离h1为杆长L的，要使杆不滑倒，则力F最大不超过多少？（2）若作用点移到处时，情况又如何？1直线运动和曲线运动 匀变速直线运动：匀变速直线运动包括匀加速直线运动和匀减速直线运动两种情况，它的特点是加速度a=恒量，并与速度在同一直线上匀变速运动

8、的基本公式为： 匀变速曲线运动：匀变速曲线运动的特点是a=恒量，但与速度的方向不在同一直线上，如斜抛运动，研究斜抛运动可以有多种方法，既可以将它看成是水平方向的匀速运动和竖直方向的（上或下）抛运动的合成；也可以看做是抛出方向的匀速运动和一个自由落体运动的合成匀速圆周运动：匀速圆周运动的特点是a与的大小为恒量，但它们的方向无时无刻不在改变，它是一种特殊的曲线运动，但却是研究曲线运动的基础，一般曲线运动的任何一个位置，都可以作为一个瞬时的圆周运动来研究。 我们经常将圆周运动分解成法向和切向两个方向来研究，法向加速度，对于匀速圆周运动，其切向的加速度为零，如果是变速圆周运动，那么它在切向上也有加速度

9、此时它的合加速度是：。2相对运动： 在大多数情况下，我们都习惯于以地面作为参照物，但在某些场合，我们选择其他一些相对地面有速度的物体作为参照物，这样会给解决问题带来方便，所以相对运动就是研究物体对于不同参考系的运动以及它们之间的联系，比如A物体相对于地面的速度为，如果取另一个相对地面有速度的B物体作参照物，那么A物体相对B物体的速度为： 或通常把物体相对“固定”参考系的速度称为绝对速度，把相对于“运动”参考系的速度称为相对速度，而把运动参考系相对固定参考系的速度称为牵连速度，所以上式我们可以表述为“相对速度等于绝对速度和牵连速度之差”速度的合成必须用平行四边形定则进行计算3刚体的平动和转动刚体

10、：刚体是指在任何条件下，形状和大小不发生变化的物体。这样的物体实质上是不存在的，但固体在一般情形下可视为刚体平动：刚体在运动过程中，其上任一直线段在各个时刻的位置始终保持平行，这种运动称为平动做平动的物体可视为质点转动：刚体所有质元都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动，这一直线称为转轴。如果转轴固定不动，就称为定轴转动角速度： 即单位时间内转过的角度（角位移），对于非匀速转动，上式只是求出刚体在t时间内的平均角速度，对于瞬时角速度，角加速度：单位时间内角速度的变化量。对于匀变速转动，可以类比匀变速直线运动的规律，有 定轴转动中、与线速度，切向加速度和法向加速度的关系为 4关联速度 所谓关联

11、速度就是两个通过某种方式联系起来的速度比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系常用的结论有： 杆（或张紧的绳）上各点沿杆（或张紧的绳）方向的速度分量相同； 如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同 二、方法演练类型一、匀速直线运动的问题本来是物理学中最基本的知识，但往往当基本模型隐藏得比较深的时候，就成为一种比较难解的题，要解这类题目时，一般都要进行某种转换把其本来的模型突显出来才能找出简便的解题方法。例1在听磁带录音机的录音磁带时发觉，带轴于带卷的半径经过时间t1=20 min减小一半问此后半径又减小一半需要多少时间？分

12、析和解：本题的关键在于要弄清录音磁带转动时是转轴匀速，还是带速恒定，这要联系实际听乐音所需的效果就可以确定应该是带速恒定，然后再把磁带卷过的长度转换到带卷的面积来考虑问题即可解题。设带半径的初半径为4r，于是当半径减少一半，成为2r时，带卷的面积减少了这等于所绕带的长度，与带的厚度d之乘积在听录音时带运行的速度恒定，所以，于是有 当带轴上半径又减少一半（从2r到r）时，带卷的面积减少了，即 由得 类型二、相对运动的问题是运动学中一种比较难处理的类型，一般来说，选择不同的参考系物体的运动状态不同，但采用坐标转换法也可以改变物体的运动情况特别是可以把直觉看来是曲线运动的物体转换成直线运动的情况却很

13、少学生了解，解题时采用这样的方法可以使问题简化很多。例2由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小，所以其最大加速度不能超过a=0.5m/s2根据要求，驾驶员必须在最短时间内从A点到达B点，直线AB垂直于汽车的初始速度，如图2一1所示如果A、B之间的距离AB=375 m，而初速度=10 m/s，那么这个最短时间为多少？其运动轨迹是什么？分析和解：本题是一个典型的相对运动问题，而且用常规的方法是很 难解出此题的，然而如果才坐标系转换法解此题，其难度却可以大大降低。坐标系转换：汽车在A点不动，而让B点以恒速向汽车运动的相 反方向运动在此坐标系内汽车为了尽快与B点相遇，必须沿直线以恒加速度a向B点驶去假设它

14、们在D点相遇，如图22所示设AB=b，我们可以列出： 由式可得： 将数据代人式得t50s。在地球坐标系内，它的运动是两个不同方向上的匀速直线运动和匀加速直线运动的合运动，因而它的运动轨迹是一条抛物线 类型三、关联速度问题是运动的合成和分解的一个基本模型，关联的本质是转动和平动的关联，分析时既要考虑运动的独立性原理，又要考虑物体实际的运动轨迹，还要考虑连绳的长度，建立好正确的几何模型对解题至关重要。 例3线轴置于斜面上，斜面与水平面的夹角为.线的自由端固定住（如图23）线绳为垂直线时的瞬间线轴的旋转角速度等于求在这瞬间的： 线轴轴心的速度；线轴与斜面相切点的速度 线轴的半径为R.分析和解：本题中

15、由于线绳不能伸长，所以垂直线最下面的点和与其相接触的线轴上的A点的速度相同，的方向是水平方向线轴的运动由两个运动合成：平行于斜面的直线运动，其速度为；绕轴心的顺时针转动，其角速度等于。在题中情况下,A点的速度（图2 4a)等于不难看出，且，由此可得 同理可以求出线轴与斜面相切C点的速度（图2一4b) 其速度在斜面方向的投影为 将代人得例4AC、BD两杆均以角速度绕A、B两固定点在同一竖直平面内转动，AB=，转动方向如图1一5所示，当t=0时，a =600，试求t时刻交点M的速度和加速度分析和解：本题实质上也是关联速度的问题，但其关联的本质 是两杆的角速度相同，所以+=1200不变，推知M点的轨

16、迹在正三角形M外接圆上运动由此可重点在几何模型上去探求解法。在t=0时刻，ABM为正三角形，则AM=BM=，两杆旋转 过程中，因转动的角速度相同，则角增加量等于角的减小量，+=1200不变，则顶角M大小始终不变，即M=600，则M点的轨迹在正三角形ABM外接圆上运动（如图2一6所示）。则MOM = 2 MB M ，则M = 2M点作以半径为的匀速圆周运动在任意t时刻速度为：，向心加速度为：类型四、物理学中特殊的曲线运动主要有两类，即圆周运动和抛体运动，其中抛体运动轨迹的曲率半径是随时变化的，所以在考虑抛体运动时，如果要计算向心加速度，则必须通过有关运动的计算得出曲率半径才能求解。例5以速度、与

17、水平方向成角抛出石块，石块沿某一轨道飞行如果蚊子以大小恒定的速率沿同一轨道飞行问蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度？空气阻力不计分析和解：蚊子的运动实际上是匀速率曲线运动它的加速度就是它运动到不同位置时的向心加速度关键在于求出最大高度一半处时的曲率半径R我们可以根据轨道方程，求出曲率半径R现在我们根据石块的运动来求曲率半径石块的运动为斜上抛运动，它到达的最大高度为设在处，速度与水平方向成角运动速度关系为， 故有由以上四式得将加速度g分解为法向和切向方向得根据向心加速度公式，得蚊子以的恒定速率沿石块的轨迹运动，蚊子在粤处曲率半径仍为石块运动到此的曲率半径R，但切向加速度为0，法向加速度，蚊子的

18、加速度等于该处的法向加速度即为蚊子飞到最大高度一半处具有的加速度类型五、刚体的平动和转动问题的解题关键在于分析清楚物体间的内部约束和外界约束，其约束条件往往就是解题的突破口。例6图27细杆AB长,端点A、B分别被约束在和轴上运动，试求：(1）杆上与A相距()的P点的运动轨迹；(2)如果图中角和为已知，那么P点的、方向分运动速率、是多少？分析和解：本题中的内部约束就是杆长和P点在杆中的位置，而外部约束是A、B分别被约束在和轴上运动，这样就确定了它们之间的几何关系。(1)杆A端在轴上的位置用坐标九表示，杆B端的位置用坐标表示，P点的坐标为（），利用几何关系，得出与的关系为即由以上两式，得这是一个椭

19、圆方程，故P点的运动轨迹为椭圆 (2)设在t时间内，P点坐标的改变量为和，杆A、B两端坐标的相应改变量为和，利用P点坐标与A、B两端坐标在几何上的关连有，根据速度分量的定义，当t0时，式中和分别是A端和B端的速度由AB杆不可伸长，有 最后得出P点的速度分量为 第二部分 牛顿运动定律mgNh图3-5-3【例题1】如图3-5-3所示，一个质量为m的小球沿着抛物线型的轨道从h米高处由静止开始滑下，试求小球到达轨道底部时对轨道的压力。小球到达底部时的速度根据第二讲的讨论可知，抛物线底部的曲率半径小球在底部时受到二个力：重力mg和轨道弹力N，因此质点组的牛顿第二定律若研究对象是质点组，牛顿第二定律的形式

20、可以表述为：在任意的方向上，设质点组受的合外力为，质点组中的个物体的质量分别为，方向上的加速度分别为，则有【例题2】如图所示，质量的斜块静止于粗糙的水平面上，斜块与地面间的动摩擦因数。斜块的倾角为，在斜面上有一质量的物块由静止开始沿斜面下滑。当滑行路程时，其速度。在这个过程中斜块没有移动。求地面对斜块的摩擦力的大小和方向（）应用牛二定律时，经常涉及到物体加速度。对于由几个物体组成的连接体的运动，要分析各个物体的加速度。各个物体的加速度之间的关系的求法是：一般假设各物体初速为零，由公式，再由各物体的位移的比值找出它们加速度之间的关系来。图343m1F图3-4-4m1m2m3图3-4-5如图3-4

21、-3，显然有，故有，所以 图3-4-4， 故有 如图3-4-5设，我们以地球为参照物，三者的加速度如图所示，为了找出三个加速度大小的关系，我们设由于和的运动，使绳有沿动滑轮边沿的加速度，根据有关的相对运动规律有两式相减消去得到三个加速度之间的关系式为mmAB2mC【例题3】如图所示，质量均为m的两物块A、B叠放水平桌面上，B与桌面之间的动摩擦因数为1，一根轻绳绕过一动滑轮和两个定滑轮水平拉动A、B。动滑轮下面挂一个质量为2m，的物体C，滑轮的质量和摩擦都可忽略。（1）如果A、B之间的摩擦力足以保证它们不发生相对滑动，那么它们之间的摩擦力为多在？（2）如果A、B之间的动摩擦因数为2，且2无法维持

22、A、B相对静止，那A、B的加速度各为多大？ABCDE【例题4】如图所示，两斜面重合的木楔ABC和ADC的质量均为M，AD、BC两面成水平，E为质量等于m的小滑块，楔块的倾角为，各接触面之间的摩擦均不计，系统放在水平台角上从静止开始释放，求两斜面未分离前小滑块E的加速度。应用牛顿定律时，选用的参照系应该是惯性系。在非惯性系中，为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程，引入惯性力的概念，引入的惯性力必须满足式中是质点受到的真实合力，是质点相对非惯性系的加速度。真实力与参照系的选取无关，惯性力是虚构的力，不是真实力。惯性力不是自然界中物质间的相互作用，因此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内，它没

23、有施力物体，不存在与之对应的反作用力331平动加速系统中的惯性力设平动非惯性系相对于惯性系的加速度为。质点相对于惯性系加速度，由相对运动知识可知，质点相对于平动非惯性系的加速度质点受到的真实力对惯性系有对非惯性系得 平动非惯性系中，惯性力由非惯性系相对惯性系的加速度及质点的质量确定，与质点的位置及质点相对于非惯性系速度无关。332、匀速转动系中的惯性力Om图331如图331，圆盘以角速度绕竖直轴匀速转动，在圆盘上用长为r的细线把质量为m的点系于盘心且质点相对圆盘静止，即随盘一起作匀速圆周运动，以惯性系观察，质点在线拉力作用下做匀速圆周运动，符合牛顿第二定律以圆盘为参照系观察，质点受力拉到作用而

24、保持静止，不符合牛顿定律要在这种非惯性系中保持牛顿第二定律形式不变，在质点静止于此参照系的情况下，引入惯性力为转轴向质点所引矢量，与转轴垂直，由于这个惯性力的方向沿半径背离圆心，通常称为惯性离心力由此得出：若质点静于匀速转动的非惯性参照系中，则作用于此质点的真实力与惯性离心力的合力等于零惯性离心力的大小，除与转动系统的角速度和质点的质量有关外，还与质点的位置有关m1m2【例题5】如图所示，质量为M的光滑圆形滑块平放在桌面上，一细轻绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，物体质量分别为m1和 m2，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块的加速度。例5如图36所示，质点A沿半圆弧槽B由静止开始下滑

25、，已知B的质量为M，质点的质量为m，槽的半径为R且光滑，而槽与地面的接触面也是光滑的，试求质点A下滑到任意位置角时B对A的作用力分析和解：由于槽与地面的接触面是光滑的，质点A沿半圆弧槽B下滑时槽B必然后退，如果要求的是状态量，可以考虑动量和能量的观点来解题，但如果要求的是瞬时量，则常规的解题方法会有很大的困难，利用了参考系的变换，在以B为参考系时注意引入惯性力是解决这类问题的基本方法。设M的加速度向左，大小为，有 对m以B为参考系，其相对B的速度为u，且必定与圆弧相切 根据动量与能量守恒，并设M的速度为，同时注意m的速度u应转换为对地速度 (水平方向动量守恒） 由以上式可解得例6半径为r=9.

26、81 cm的空心球形器皿，内部有一个不大的物体，围绕穿过对称中心的竖直轴旋转在角速度1=5 rad/s时，物体在平衡状态对器壁的压力为N1=10-2N.在平衡状态，物体在什么角速度2下对器壁的压力N2410-2N?物体和器壁内表面的摩擦可忽略不计重力加速度为g=981 m/s2分析和解：此处的平衡状态是对旋转参考系（非惯性系）而言的图37上示出了钵和位于A点的物体0点表示球面的中心，所研讨的钵就是这个球的一部分转动轴是用过0点的竖直断续直线表示的，研究平衡状态，较为方便的是利用半径OA和竖直方向的夹角显然， 。在旋转的非惯性系中，这个不大的物体处于平衡状态，作用在该物体上的重力（mg）和惯性离

27、心力（）的合力，必须和钵的表面垂直，或者说必须沿半径OA的方向作用假若我们用表示钵与物体的共同角速度，则在平衡状态，从图3一7可知由上式得式中为平衡状态角的值从此式可知有两种情况：1），即这个解是始终存在的物体那时停止钵底上它对钵壁的压力N=mg2），即这个解只有在，或者说时才可能存在gr的数值可以算出，为10 rad/s.题中给出的1gr这意味着物体开始停在钵底因此它的重量（力）为N1，质量为。现在来计算2在2时，对器壁的压力为N2很明显，2必须大于gr，否则N2就必须等于N1了而根据题意，存在不等式N2N1假若物体在A点（sinA0）处于平衡状态，则式中，由此得第三部分 曲线运动与机械能1

28、功、功率和动能定理功 功是力对空间的积累效应如果一个恒力作用在一个物体上，物体发生的位移是，那么力在这段位移上做的功为 W=Fscos 在不使用积分的前提下，我们一般只能计算恒力做的功但有时利用一些技巧也能求得一些变力做的功 功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功平均功率：瞬时功率：动能定理 质点动能定理： 质点系动能定理：若质点系由n个质点组成，质点系内任何一个质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其他质点对它的作用力（内力），在质点运动时这些力都将做功 即2 虚功原理：许多平衡状态的问题，可以假设其状态发生了一个微小的变化，某一力做了一个微小的功W，使系统的势能发生了一个微

29、小的变化E，然后即可由W=E求出我们所需要的量，这就是虚功原理3功能原理与机械能守恒功能原理：物体系在外力和内力（包括保守内力和非保守内力）作用下，由一个状态变到另一个状态时，物体系机械能的增量等于外力和非保守内力做功之和 因为保守力的功等于初末势能之差，即 机械能守恒：当质点系满足：，则E =0即EK + EP = EK0 + EP0=常量机械能守恒定律：在只有保守力做功的条件下，系统的动能和势能可以相互转化，但其总量保持不变说明：机械能守恒定律只适用于同一惯性系在非惯性系中，由于惯性力可能做功，即使满足守恒条件，机械能也不一定守恒对某一惯性系W外=0，而对另一惯性系W外0，机械能守恒与参考

30、系的选择有关。4刚体定轴转动的功能原理 若刚体处于重力场中，则：M外=M其外+MG（M其外表示除重力力矩MG以外的其他外力矩）W=W其外+WG=（M其外+MG）= EKr而 即为重力场中刚体定轴转动的功能原理若呱，即M其外0，则：刚体机械能守恒【例题1】类型二、在功能关系的问题中有些也牵涉到速度关联的问题，在解题中必须注意到它们之间的约束条件，找出有关速度关系，才能准确利用功能原理即可求解例2如图43所示，一根长为的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为ma和mb杆可绕距a球为处的水平定轴O在竖直平面内转动初始时杆处于竖直位置，小球b几乎接触桌面在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放

31、着一个质量为m的立方体匀质物块，图中ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面现用一水平恒力F作用于a球上，使之绕O轴逆时针转动，求当a转过角时小球b速度的大小，设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b与立方体物块始终接触没有分离不计一切摩擦解析：如图44所示，用表示a转过。角时b球速度的大小，表示此时立方体速度的大小，则有由于b与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水 平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反，做功的总和为0.因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量现用表示此时a球速度的大小，因为a、b角速度相

32、同，,0，所以得根据功能原理可知将、式代人可得 解得类型三、一些平衡状态的问题，用平衡条件很难或无法求解，这时可以假设其状态发生了一个微小的变化，就可以设想某一力做了一个微小的功W，然后用虚功原理就可以很简单地解答出问题例3如图45所示，一轻质三足支架每边长度均为，每边与竖直线成同一角度，三足置于一光滑水平面上，且恒成一正三角形现用一绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为G，试求绳中张力FT分析和解：在本题这可以取与原平衡状态逼近的另一平衡态，从而虚设了一个元过程，此过程中所有元功之和为零，以此为基本关系列出方程，通过极限处理，从而求得最后结果分析支架受力：由

33、于负重受到重力G，支架的每边足部同时 受到两侧绳的拉力FT，易得其合力为，方向指向三足 构成的正三角形的几何中心，支架三边足部受水平地面支持力FN，此力方向竖直向上。现设想支架各边足底在力作用下向正三角形中心移动一极小位移，因而支架的高度升高了,则在此虚拟的微动讨程中，力有一元功FN力不做功负重重力势能增大对系统用功能原理得上式中，支架升高与关系如图46，图中支 架一边位置从ab变为ab，作bb ab, aa a b，由于很小，ab边转过的角度也很小，故可认为ab=ab，且ab边与竖直方向夹角为，则有, 即于是可得，即。类型四、能量守恒的问题往往牵涉到摩擦力做功和碰撞，摩擦力做功要消耗机械能，

34、而碰撞可以造成多过程，两者结合起来就很容易在物理学中出现一些数列问题，因此在解题中如何通过能量关系的计算得出有关的通式是解决这类问题的关键。例4一固定的斜面，如图47所示，倾角= 450，斜面长L = 2.00 m.在斜面下端有一与斜面垂直挡板，一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零质点沿斜面到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞已知质点与斜面间的滑动摩擦因数=0.20.试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程分析和解：在本题中由于质点与挡板发生弹性碰撞，故机械能消耗在摩擦力做功上，因此只要求出下滑和上滑一个来回通过的路程的通式，就可用数列的方法求解了。质点在沿

35、斜面滑动的过程中，受到摩擦力的大小为若质点从斜面最高点第一次到达斜面最低端时的速度为 ，则有 质点与斜面挡板发生弹性碰撞后，以速度开始沿斜面上滑若上滑的最大路程为Ll，则有 由、两式得即令上式等号右边的数值等于，并以=450，=0.20代入，则得，按同样的推理可知质点在第2次碰撞后上滑的距离为依此类推，可知在第10次碰撞后上滑的距离为：第1次碰撞前质点运动的路程为：第2次碰撞前质点运动的总路程为：依此类推，可知在第11次碰撞前，即从开始到发生第11次碰撞期间，质点运动的总路程为：上式等号右边的数值，可根据数学上等比级数求和的公式算出，即，故S10=986 m.类型五、机械能守恒的问题往往还可以

36、与刚体的约束条件的问题结合在一切，解决这类问题时一方面要考虑到约束面的约束反力，另一方面又要考虑约束反力是否做功，如果不做功，可重点考虑系统的质心变化和能量的关系，以及约束各点的速度关联。例5如图48所示，质量为m的钢球下连一根可不计质量的轻杆，杆长为L,杆原来直立在光滑的水平面上，轻推一下后，问：（1）小球下落的轨迹是什么？（2）球在离地L/2处，杆着地点的速度为多少？ 分析和解：（1）由球和杆组成的系统，因杆的质量可以忽略所以系统 的质心在球心又因水平面光滑，该系统所受的外力有重力mg、水平面的约束反力（即支持力）N均沿竖直方向，故有,且由于t=0时，,于是有即系统的质心球心将沿着杆原来的

37、直立方向运动，其轨迹为竖直线， 如图4一8所示。（2）球（系统）下落过程中，只有重力做功，故机械能守恒因此当球离地面L/2时，根据机械能守恒定律，有由上式得：又因杆不会伸长或缩短，即杆可视为刚体，所以杆两端的速度沿杆的方向的投影必须相等，根据图4一9可知：，是杆与地面的夹角，可算出.所以类型六、能量耗损的问题特别要注意的是两种基本的形式：转化和转移。解题时往往出现对某种耗散力的忽视把能量守恒的问题当成机械能守恒的问题来解。例6在一个倾角为的斜面上镶嵌着许多同样的滚筒，相邻滚筒间的距离为d。滚筒沿水平方向放置，质量为m,半径为r的表面覆盖橡胶的圆柱形铁棍质量为m、长度远大于d的厚木板在斜面的顶端

38、释放，如图3-43所示求木板的最终速度，忽略空气阻力和滚筒转轴处的摩擦力分析和解：厚木板滑动距离L时，有个滚筒得到角速度.厚木板势能的减少为，而每个滚筒的动能为，上述结论考虑了滚筒表面最终的切向速度应该与木板的速度相等，而每个滚筒的转动惯量为.认为木板下降过程中损失的重力势能，全部转化成为滚筒的动能是不正确的在此情况下由式 可以得到木板的最终速度为然而，这个结果是错误的，因为没有考虑滚筒加速过程中由摩擦力作用而导致的热量损失令单个滚筒与木板之间的摩擦力为F（t）（没有必要假定这个力不随时间变化）在t时间间隔内，滚筒角动量的变化为： 把上式的变化对时间取和，从而得出滚筒最终速度的一个方程： 另一

39、方面，在时间t内，克服摩擦力所做的功（热散失）Q为摩擦力与滚筒表面相对位移之积考虑式、，总的耗散能量为 在上式的计算中利用了等式这个结果表明，摩擦生热损失的能量与滚筒得到的动能相等需要注意的是，这个结果既不依赖于摩擦力的大小，也不依赖于摩擦力随时间的变化正确的能量守恒方程不是式，而应该是可以得到木板的最终速度为二、滑轮小船物理情形：如图5所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度v1和小船速度v2的大小关系。模型分析：由于绳不可伸长，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小v1 ，考查绳与船相连的端点运动情况，v1和v2必有一个运

40、动的合成与分解的问题。（学生活动）如果v1恒定不变，v2会恒定吗？若恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势。结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v2v1 。当船比较靠岸时，可作图比较船的移动距离、绳子的缩短长度，得到v2v1 。故“船速增大”才是正确结论。故只能引入瞬时方位角，看v1和v2的瞬时关系。（学生活动）v1和v2定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答？针对如图6所示的两种典型方案，初步评说甲图中v2 = v1cos，船越靠岸，越大，v2越小，和前面的定性结论冲突，必然是错误的。错误的根源分析：和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动

41、分析进行了不恰当地联系。仔细比较这两个运动的差别，并联系“小船渡河”的运动合成等事例，总结出这样的规律合运动是显性的、轨迹实在的运动，分运动是隐性的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动。解法一：在图6（乙）中，当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动是v2合运动，端点参与绳子的缩短运动v1和随绳子的转动v转 ，从而肯定乙方案是正确的。即：v2 = v1 / cos解法二：微元法。从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动在图7（甲）中标示出来，AB是绳的初识位置，AC是绳的末位置，在AB上取=得D点，并连接CD。显然，图中BC是船的位移大小，DB是绳子的缩

42、短长度。由于过程极短，等腰三角形ACD的顶角A0，则底角ACD90，CDB趋于直角三角形。将此三角放大成图7（乙），得出：S2 = S1 / cos 。鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S2 = v2 t ，S1 = v1 t 。所以：v2 = v1 / cos四、物体脱离圆弧的讨论物理情形：如图8所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一小球。当小球在最低点时，给球一个vo = 2的水平初速，试求所能到达的最大高度。模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例。能量关系的运用，也是对常规知识的复习。（学生活动）小球能否形成的往复的摆动？小球能否到达圆弧的最高点C ？通

43、过能量关系和圆周运动动力学知识的复习，得出：小球运动超过B点、但不能到达C点（vC ），即小球必然在BC之间的某点脱离圆弧。（学生活动）小球会不会在BC之间的某点脱离圆弧后作自由落体运动？尽管对于本问题，能量分析是可行的（BC之间不可能出现动能为零的点，则小球脱离圆弧的初速度vD不可能为零），但用动力学的工具分析，是本模型的重点在BC阶段，只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图9所示。沿轨迹的切向、法向分别建、n坐标，然后将重力G沿、n分解为G和Gn分量，T为绳子张力。法向动力学方程为T + Gn = Fn = man = m由于T0 ，Gn0 ，故v0 。（学生活动：若换一个v0值，在AB阶段

44、，v = 0是可能出现的；若将绳子换成轻杆，在BC阶段v = 0也是可能出现的。）下面先解脱离点的具体位置。设脱离点为D，对应方位角为，如图8所示。由于在D点之后绳子就要弯曲，则此时绳子的张力T为零，而此时仍然在作圆周运动，故动力学方程仍满足Gn = Gsin= m 在再针对AD过程，小球机械能守恒，即（选A所在的平面为参考平面）：m+ 0 = mg ( L + Lsin) +m 代入v0值解、两式得：= arcsin ，（同时得到：vD = ）小球脱离D点后将以vD为初速度作斜向上抛运动。它所能到达的最高点（相对A）可以用两种方法求得。解法一：运动学途径。先求小球斜抛的最大高度，hm = =

45、 代入和vD的值得：hm = L小球相对A的总高度：Hm = L + Lsin+ hm = L解法二：能量途径小球在斜抛的最高点仍具有vD的水平分量，即vDsin= 。对A最高点的过程用机械能守恒定律（设A所在的平面为参考平面），有m+ 0 = + mg Hm容易得到：Hm = L第四部分 天体运动1开普勒定律第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。“面积速度”： （为矢径r与速度的夹角） 第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三

46、次方跟公转周期的平方的比值相等。即：2万有引力定律万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比 ， ，称为引力常量 重力加速度的基本计算方法 设M为地球的质量，g为地球表面的重力加速度 在地球表面附近（ ）处：， 在地球上空距地心r=R+h处：， 在地球内部跟离地心r处：， ， 3行星运动的能量 行星的动能 当一颗质量为m的行星以速度 绕着质量为M的恒星做平径为r的圆周运动： ，式中。 行星的势能对质量分别为M和m的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m与M相距r时，其体系的引力势能： 行星的机械能

47、：4宇宙速度和引力场宇宙速度（相对地球） 第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度） 第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）引力场、引力半径与宇宙半径对于任何一个质量为M，半径为r的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度如果第二宇宙速度超过光速，即，则有关系在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论，近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的r值被称为引力半径，记为用地球质量代入，得到rg0.9 cm，设想地球全部质量缩

48、小到1 cm以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息如果物质均匀分布于一个半径为r的球体内，密度为，则总质量为又假设半径r正好是引力半径，那么，得此式表示所设环境中光不可能发射到超出rg的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径例1要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日速度？分析与解：如示61所示，圆为地球绕日轨道，椭圆为所发射飞船的绕日轨道，S点（太阳）为此椭圆的一个焦点，因飞

49、船与地球具有相等的绕日周期，由开普勒周期定律：可知椭圆的半长轴a=R，两轨道的交点必为半轴顶点，发射飞船时，绕日速度应沿轨道切线方向，即与椭圆长轴平行的方向则飞船的“面积速度”为：，地球的“面积速度”为：，故： 当绕日速度的方向不同时，其轨道的短轴b不同，但长半轴R相同，太阳为椭圆轨道的一个焦点，且发射的绕日速度大小相同例2一物体A由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度已知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。分析和解：物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值，即：上式中R为地球半径，g为地球表面处的重力加速度。设A最初

50、离地心的距离为r，则由其下落过程中机械能守恒，应有：且GM=gR2联立上三式可解得：r=2R物体在中心天体引力作用下做直线运动时，其速度、加速度是变化的，可以将它看绕中心天体的椭圆轨道运动，将其短轴取无限小。这就是我们通常所说的“轨道极限化”。物体A下落可以看成是沿着很狭长的椭圆轨道运行，其焦点非常接近此椭圆轨道长轴的两端，如图62所示，则由开普勒第一定律，得知地心为椭圆的一个焦点则椭圆长半轴为 a=R又由开普勒第三定律，物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心（轨道不计为R）的圆轨道运行的周期相等其周期为：再由开普勒第二定律得：， 类型二、天体质量（密度）的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式

51、建立天体计算的基本方程，解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立，同时还要注意忽略微小量（次要因数）的问题，这是解决这类问题的两个非常重要的因数。例3新发现一行星，其星球半径为6400 km，且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面，海洋的深度为10 km，学者们对该行星进行探查时发现，当把试验样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变试求此行星表面处的自由落体加速度已知万有引力常量G=6. 6710-11N m2/ kg2。分析和解：解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星，才能运用基本方程式求行星表面处的自由落体加速度，若把水视为运动卫星群，则关键是

52、如何求中心天体的质量。以R表示此星球的半径，M表示其质量，h表示其表面层海洋的深度，R0表示除海洋外星球内层的半径，r表示海洋内任一点到星球中心的距离则：，且，以水表示水的密度则此星球表面海洋水的总质量为因Rh，略去h高次项，得由，依题意：，即：，则将G6. 6710-11N m2/kg2，水10103kg/m3，R6.4 106 m代入得：g表=2. 7 m/s2。类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能，然后利用机械能的改变及功能原理来解题，这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理，又要符合能量原理。例4质量为m的人造地球卫星，在圆形轨道上运行运行中受到大小恒为的微弱阻力作用，以r表示卫星轨道的平均半径，M表示地球质量，求卫星在旋转一周的过程中：（1）轨道半径的改变量r=？（2）卫星动能的改变量Ek=？分析和解：因卫星沿圆形轨道运动，则，则，则卫星的机械能为（1） 设卫星旋转一周轨道半径改变量为r，则对应机械能改变量为，根据功能原理：W=E，即，负号表示轨道半径减小