第三章立体表面交线的投影作图

1、-邓仲春 4.1 4.1 基本体基本体3.1 3.1 基本体基本体 表面表面由平面和曲面或曲面围成的立体由平面和曲面或曲面围成的立体，称，称 为曲面立体。为曲面立体。 几何体几何体可分为可分为平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体两种。两种。 表面都是表面都是由平面围成的立体由平面围成的立体，称为平面立体，称为平面立体。 立体立体表面由若干面围成的几何体。表面由若干面围成的几何体。 基本几何体基本几何体基本体基本体 4.1.1 4.1.1 平面体平面体 画平面体视图的实质：画平面体视图的实质： 画出所有棱线（或表面）的画出所有棱线（或表面）的 投影，并根据它们的可见与否，投影，并根据它们的可见与

2、否， 分别采用粗实线或虚线表示。分别采用粗实线或虚线表示。 平面体：平面体：表面由平面构成的形体表面由平面构成的形体 棱线：棱线：平面上相邻表面的交线平面上相邻表面的交线 3.1.1 3.1.1 平面体平面体 1. 棱柱的三面视图棱柱的三面视图 棱柱有棱柱有直棱柱和斜棱柱直棱柱和斜棱柱。 顶面和底面为正多边形的直棱顶面和底面为正多边形的直棱 柱，称为柱，称为正棱柱正棱柱。 如图示位置放置六如图示位置放置六 棱柱时，其两底面为水棱柱时，其两底面为水 平面，平面，H面投影具有全等面投影具有全等 性；前后两侧面为正平性；前后两侧面为正平 面，其余四个侧面是铅面，其余四个侧面是铅 垂面，它们的水平投影

3、垂面，它们的水平投影 都积聚成直线，与六边都积聚成直线，与六边 形的边重合。形的边重合。 一、棱柱一、棱柱 V H W 直棱柱三面投影特征：直棱柱三面投影特征： 一个视图有积聚性，一个视图有积聚性， 反映棱柱形状特征；反映棱柱形状特征； 另两个视图都是由实另两个视图都是由实 线或虚线组成的矩形线框。线或虚线组成的矩形线框。 棱柱的三面视图画图步骤棱柱的三面视图画图步骤 点的可见性规定：点的可见性规定： 若点所在的平面的投影若点所在的平面的投影 可见，点的投影也可见；若可见，点的投影也可见；若 平面的投影积聚成直线，点平面的投影积聚成直线，点 的投影也可见。的投影也可见。 由于棱柱的表面都是平由

4、于棱柱的表面都是平 面，所以在棱柱的表面上取面，所以在棱柱的表面上取 点与在平面上取点的方法相点与在平面上取点的方法相 同。同。 2. 棱柱表面取点棱柱表面取点 已知棱锥表面的点已知棱锥表面的点A A、B B、C C的投影的投影aa、bb、c c，求其它两面投影。，求其它两面投影。 a a a (b ) b b c C C 1. 棱锥的三面视图棱锥的三面视图 由由一个底面和几个侧棱面一个底面和几个侧棱面组成。组成。 侧棱线交于有限远的一点侧棱线交于有限远的一点锥顶。锥顶。 二、棱锥二、棱锥 画棱锥的三面视画棱锥的三面视 图，其方法和步骤与图，其方法和步骤与 棱柱相同。棱柱相同。 为了对视图进行

5、为了对视图进行 线面分析，可标出各线面分析，可标出各 顶点的投影名称。顶点的投影名称。 s b s a c a b c a (c )b s y y 棱锥的三面视图画图步骤：棱锥的三面视图画图步骤： 已知棱柱表面的点已知棱柱表面的点M、N的投影的投影m、n，求其它两面投影。，求其它两面投影。 2. 在棱锥表面取点在棱锥表面取点 s b s a c a b c a (c )b s y y 曲面体（曲面体（由曲面或曲面和平面围成的形体）由曲面或曲面和平面围成的形体）、 母线、素线母线、素线 注意注意: :轮廓轮廓素线素线的的 投影与曲面的投影与曲面的可见可见 性性的判断的判断 1.1.圆柱的三面视图

6、圆柱的三面视图 一、一、 圆柱圆柱 由由顶圆、底圆和圆柱面顶圆、底圆和圆柱面围成。围成。 圆柱面是由直线圆柱面是由直线AAAA1 1绕与它平绕与它平 行的轴线行的轴线OOOO1 1旋转而成。旋转而成。 A1 A O O1 直线直线AAAA1 1称为称为母线母线。 4.1.2 4.1.2 曲面体曲面体 A1 A O O1 圆柱的三面视图画图步骤：圆柱的三面视图画图步骤： A1 A O O1 利用投影利用投影 的的积聚性积聚性 2.2.在圆柱表面取点在圆柱表面取点 已知圆柱表面的点的投影已知圆柱表面的点的投影11、22、33、4 4，求其它两面投影。，求其它两面投影。 3 3 1 1 4 (2 )

7、 2 2 3 4 4 1 利用利用45线作图线作图 k k k O1 O 圆锥面是由直线圆锥面是由直线SASA( (母线母线) ) 绕与它相交的轴线绕与它相交的轴线OOOO1 1旋转而成。旋转而成。 S S称为称为锥顶锥顶，圆锥面上过锥圆锥面上过锥 顶的任一直线称为圆锥面的顶的任一直线称为圆锥面的素素 线线。 1. 圆锥的三视图圆锥的三视图 注意：轮廓注意：轮廓 素线的素线的投影投影 与曲面的与曲面的可可 见性见性的判断的判断 由由圆锥面和底面圆锥面和底面组成。组成。 S A 二、圆锥二、圆锥 O1 O S A 圆锥的三视图画图步骤：圆锥的三视图画图步骤： s s s a c b d a c

8、b (d ) d b a ( c ) (1) 特殊位置点特殊位置点 O1 O S A 已知棱锥表面上点已知棱锥表面上点 的投影的投影1 1 、2 2 、3 3，求求 其它两面投影。其它两面投影。 2.在圆锥表面取点在圆锥表面取点 s s (2 ) s a c b d a c b (d ) d b a ( c ) 1 1 1 2 2 (3) 3 3 (2) 一般位置点一般位置点 辅助素线法辅助素线法 辅助圆法辅助圆法 如何在圆锥面上作直线？如何在圆锥面上作直线？ 过锥顶作一条素线。过锥顶作一条素线。 S M 已知圆锥表面上点的投影已知圆锥表面上点的投影1 1 、2 2 ，求其它两面投影。求其它两

9、面投影。 s s 1 (2 ) s 2 1 (2 ) 1 m m 三个视图分别为三三个视图分别为三 个和圆球的直径相等的个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三圆，它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。个方向轮廓线的投影。 圆母线以它的直圆母线以它的直 径为轴旋转而成。径为轴旋转而成。 1.圆球的三视图圆球的三视图 O1 O 三、圆球三、圆球 圆球的三视图画图步骤：圆球的三视图画图步骤： 2.2.在在圆球表面取点圆球表面取点 特殊位置点特殊位置点 O1 O a b c a c b b? a? c? 圆球表面取点圆球表面取点 圆的半径？圆的半径？辅助圆法辅助圆法 1 1 1 (2 ) k k

10、(2 ) m (m) (2 ) 1 截断体：截断体：形体被平面截断后分成两部分，每形体被平面截断后分成两部分，每 部分均称为截断体。部分均称为截断体。 截平面截平面 用来截断形体的平面。用来截断形体的平面。 截交线截交线 截平面与立体表面的交线。截平面与立体表面的交线。 截断面截断面 由交线围成的平面图形。由交线围成的平面图形。 讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图 。 4.2 4.2 平面与立体相交平面与立体相交 截交线截交线 截断体截断体 截断面截断面 3.2 3.2 平面与立体相交平面与立体相交 平面立体的截交线一定是一个平面立体的截交线一定是一个封闭的平面多边形

11、封闭的平面多边形，多边，多边 形的各顶点是截平面与被截棱线的交点，即形的各顶点是截平面与被截棱线的交点，即立体被截断几条立体被截断几条 棱，那么截交线就是几边形。棱，那么截交线就是几边形。 截交线是截交线是截平面与立体表面的共有线。截平面与立体表面的共有线。 求截平面与立体上被截各棱的求截平面与立体上被截各棱的交点交点或截平面与立体表面或截平面与立体表面 的的交线交线，然后依次连接而得。，然后依次连接而得。 求平面体求平面体截交线的实质：截交线的实质： 平面体截交线的性质：平面体截交线的性质： 4.2.1 4.2.1 平面体的截交平面体的截交3.2.1 3.2.1 平面体的截交平面体的截交 分

12、析截平面与体的相对位置分析截平面与体的相对位置 分析截平面与投影面的相对位置分析截平面与投影面的相对位置 确定截交线确定截交线 的投影特性的投影特性 1. . 空间及投影分析空间及投影分析 2. . 画出截交线的投影画出截交线的投影 求出截平面与被截棱线的求出截平面与被截棱线的 交点，并判断可见性。交点，并判断可见性。 依次连接各顶点成多边形，依次连接各顶点成多边形， 注意可见性。注意可见性。 3. . 完善轮廓。完善轮廓。 确定截交确定截交 线的形状线的形状 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 一、平面切割平面体 六棱柱被切割六棱柱被切割 正四棱锥被切割正四棱锥被切割 一、棱柱的截断一、棱柱的

13、截断 例例1 1：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。：求正五棱柱被截切后的俯视图和左视图。 C 求截交线求截交线 C 完善轮廓完善轮廓 C 检查检查 注意截交线投影的类似性注意截交线投影的类似性 注意可见性注意可见性 C 空间分析和投影分析空间分析和投影分析 3 3 2 2 1 1 (4(4 ) ) 1 1 3 3 5 . 4 4 P 3 2 4 1 1 5 (5(5 ) ) 5 1 2 3 4 正五棱柱被截切后的视图和立体图正五棱柱被截切后的视图和立体图 3 3 2 2 1 1 (4(4 ) ) 1 1 3 3 5 . 4 4 P 3 2 4 1 1 5 (5(5 ) ) 2 2 (a)

14、截平面与上、下底面平行，截面为正五边形 (b) 截平面截断五条棱,截面为五边形 (c) 截平面截断六条棱, 截面为六边形 (d) 截平面截断四条棱, 截面为四边形 (e) 截平面截断三条棱, 截面为三边形 (f) 截平面与侧棱平行, 截面为矩形 注意：注意： 要逐个截平面分析和绘制要逐个截平面分析和绘制 截交线。当平面体只有局截交线。当平面体只有局 部被截切时，先假想为整部被截切时，先假想为整 体被截切，求出截交线后体被截切，求出截交线后 再取局部。再取局部。 例例2 2：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。 1(3)1(3) 2(4)2(4) 1 1 (

15、2(2 ) )22 1 1 3 3 (4(4 ) ) 例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。 二、棱锥的截断二、棱锥的截断 3 3 2 2 1 1 (4(4 ) ) 1 1 1 1 3 3 2 4 4 3 2 4 例例 2: 2: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切后的俯视图。 P P 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 2 2 ( (3 3 、6 6 、7 7 ) ) 1 1 ( (8 8 ) ) 4 4 （5 5 ） 1 1 5 5 4 4 7 7 2 2 8 8 3 3 6 6 1 1 2 2 3

16、 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 4.2.2 4.2.2 曲面体的截交曲面体的截交 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线封闭的平面图形（封闭曲线或由直线 和曲线围成）。和曲线围成）。 (1) 曲面体截交线的性质：曲面体截交线的性质： (2) 求曲面体截交线的实质：求曲面体截交线的实质： 求求截平面与曲面上被截各素线的交点截平面与曲面上被截各素线的交点，然后依次，

17、然后依次 光滑连接。光滑连接。 3.2.2 3.2.2 曲面体的截交曲面体的截交 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相 对位置对位置。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，如积聚性、类如积聚性、类 似性等。似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，预见未知预见未知投影。投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影 截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： 光滑连接各点，并判断截交线的光滑连接各点，并判断截交线的可见性可见性。 先找特殊点先找特殊点（外

18、形素线上的点外形素线上的点和和极限位置点极限位置点）。）。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 确定截交确定截交 线的形状线的形状 确定截交线确定截交线 的投影特性的投影特性 补充一般点。补充一般点。 3. 3. 完善轮廓。完善轮廓。 由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交 线有三种不同的形状线有三种不同的形状。 一、圆柱的截断一、圆柱的截断 圆圆椭圆椭圆 直线直线 垂直垂直 倾斜倾斜 平行平行 截交线的侧面投影是截交线的侧面投影是 什么形状？什么形状？ 截交线的已知投影？截交线的已知投影？ 找特殊找特殊 点点 补充一般补充一般 点点 光滑连接各点光滑连

19、接各点 三、完善轮廓三、完善轮廓 截交线的空间形状？截交线的空间形状？ 一、分析一、分析 二、求截交线二、求截交线 例例1：圆柱被正垂面截断，求作其视图：圆柱被正垂面截断，求作其视图 1 2 (4 ) 3 1 2 3 4 5 (6 ) 7 (8 ) 5 6 8 7 5 7 8 6 1 3 2 4 例例1 1：结果和立体图：结果和立体图 1 3 4 2 1 2 (4 ) 3 1 2 3 4 5 (6 ) 7 (8 ) 5 6 8 7 5 7 8 6 1 3 2 4 空间及投影分析空间及投影分析 求截交线求截交线 完善圆柱轮廓完善圆柱轮廓 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的

20、相对位置截平面与投影面的相对位置 解题步骤：解题步骤： 同一立体被多同一立体被多 个平面截切，要逐个平面截切，要逐 个截平面进行截交个截平面进行截交 线的分析和作图。线的分析和作图。 例例2: :求作圆柱切口开槽后的视图求作圆柱切口开槽后的视图 1(2)1(2) 3(4)3(4) 11 22 4(2)4(2) 3(1)3(1) 3344 4 4 2 2 1 1 3 3 例例2: :结果和立体图结果和立体图 1(2)1(2) 3(4)3(4) 11 22 4(2)4(2) 3(1)3(1) 3344 4 4 2 2 1 1 3 3 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。根据截平面

21、与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。 倾斜于轴线倾斜于轴线 椭圆椭圆圆圆 垂直于轴线垂直于轴线 = 90= 90 双曲线双曲线 平行于轴线平行于轴线 = 0= 0 抛物线抛物线 平行于一条素线平行于一条素线 = 直线直线 过锥顶过锥顶 直线（三角形）直线（三角形） 二、圆锥的截断二、圆锥的截断 PV PV PV PV VP 截交线的空截交线的空 间形状？间形状？ 截交线的投截交线的投 影特性？影特性？ 找特殊点找特殊点 如何找椭圆另一根如何找椭圆另一根 轴的端点（即最前、轴的端点（即最前、 最后点）最后点） 补充中间点补充中间点 光滑连接各点光滑连接各点 三、完善轮廓三、完善轮廓 例例

22、1: 圆锥被正垂面截断，圆锥被正垂面截断， 完成三视图。完成三视图。 一、分析一、分析 二、求截交线二、求截交线 1 2 3(4) 5 (6 ) 1 2 3 4 1 2 7 (8) 9 (10) 78 5 6 910 7 8 9 10 4 3 5 6 例例1: 1: 圆锥被正垂面截断，圆锥被正垂面截断， 完成三视图。完成三视图。 1 2 3(4) 5 (6 ) 7 (8) 9 (10) 78 5 6 910 7 8 9 10 4 3 5 6 21 2 1 例例1: 1: 圆锥被正垂面截切的三视图和立体图。圆锥被正垂面截切的三视图和立体图。 例例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。：求作切口圆锥台的

23、左、俯视图。 1 2 3(4) 1 3 2 1 3 2 分析：圆锥台的切口分析：圆锥台的切口 由三个平面切割而成，由三个平面切割而成， 分析各截交线的空间分析各截交线的空间 形状和投影特性。形状和投影特性。 例例2 2：求作切口圆锥台的左、俯视图。：求作切口圆锥台的左、俯视图。 1 2 3(4) 1 3 2 1 3 2 切口圆锥台的视图和立体图。切口圆锥台的视图和立体图。 用任何位置的截平面截割圆球，用任何位置的截平面截割圆球，截截 交线的形状都是圆。交线的形状都是圆。 当截平面当截平面平行于平行于某一投影面时，截某一投影面时，截 交线在交线在该投影面该投影面上的投影为上的投影为圆圆的实形，的

24、实形， 其它两面其它两面投影积聚为投影积聚为直线直线。 三、球体的截断三、球体的截断 水平面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线 的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为 部分圆弧，在侧视图上部分圆弧，在侧视图上 积聚为直线。积聚为直线。 两个侧平面截圆球的截两个侧平面截圆球的截 交线的投影，在侧视图交线的投影，在侧视图 上为部分圆弧，在俯视上为部分圆弧，在俯视 图上积聚为直线。图上积聚为直线。 例例3：求半球体被截后的俯视图和左视图。：求半球体被截后的俯视图和左视图。例例3：求半球体被截后的俯视图和左视图。：求半球体被截后的俯视图和左视图。 半球体被截后的视图和立体图。半球体被截后的视图和立体

25、图。 4.34.3 几何体的尺寸标注几何体的尺寸标注 4.3.14.3.1 平面立体的尺寸标注平面立体的尺寸标注 23 20 23 20 20 2018 19 16 18 15 11 15 18 11 12 20 18 10 20 10 1515 18 18 12 77 6 (a)(b)(c)(d)(e) (f)(g)(h)(i) 平面体一般应注长、宽、高尺寸。平面体一般应注长、宽、高尺寸。 3.33.3 几何体的尺寸标注几何体的尺寸标注 4.3.2 4.3.2 曲面体的尺寸标注曲面体的尺寸标注 通常将尺寸注在非圆视图上，只通常将尺寸注在非圆视图上，只 需一个视图即可确定回转体的形状和需一个视

26、图即可确定回转体的形状和 大小。大小。 12 20 21 21 18 S 17 2020 (a)(b)(c)(d) 3.3.2 3.3.2 曲面体的尺寸标注曲面体的尺寸标注 常见柱体类形体的尺寸注法常见柱体类形体的尺寸注法 为了读图方便，常在能反映柱体形状特征的为了读图方便，常在能反映柱体形状特征的 视图上视图上集中标注集中标注两个坐标方向的尺寸。两个坐标方向的尺寸。 R7 15 19 7 19 6 19 10 10 10 10 10 10 10 10 21 10 R8 R7 R10 13 23 2424 1115 60 (a)(b)(c) (d)(e)(f) S (a)(b)(c) 4.3.3 4.3.3 切割体的尺寸标注切割体的尺寸标注 1.1.基本体切口后的尺寸基本体切口后的尺寸 17 R10 R9 3.3.3 3.3.3 切割体的尺寸标注切割体的尺寸标注 注意：在截交线上不能标注尺寸。注意：在截交线上不能标注尺寸。 2.2.基本体穿孔或切槽后的尺寸标注基本体穿孔或切槽后的尺寸标注 这种形体除注出完整基本体大小尺寸外，还这种形体除注出完整基本体大小尺寸外，还 应注出应注出槽和孔的大小及位置槽和孔的大小及位置尺寸。尺寸。 SR R (a)(b)(c) (d)(e) 一组孔的定位尺寸一组孔的定位尺寸 立方体的