第一型曲线积分

1、1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段 上的第一型曲线积分.此类积分的典型物 理背景是求非均匀分布的曲线状物体的 质量. 二、第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 第二十章 曲线积分 一、问题的提出一、问题的提出 实例实例1:求曲线形构件的质量求曲线形构件的质量 .Ms 均匀之质量均匀之质量 分割分割, 121in sMMM ,),( iii s ( ,). iiii Ms 求和求和 1 ( ,). n iii i Ms 取极限取极限 0 1 lim(,). n iii i Ms 近似值近似值 精确值精确值 近似近似 取取 ox y A B L ),( ii 1 n M

2、 i M 1 i M 1 M 2 M i s ( , )x y 设线密度为：设线密度为：(连续连续) (1, 2, ), ii L inL个可求长度的小曲线段个可求长度的小曲线段 的弧的弧长长n ,它把它把 LLTL定义在定义在 上的函数上的函数. 对曲线对曲线 做分割做分割 分成分成 , i s T 1 | max, i i n Ts i L记为记为 分割分割 的细度为的细度为 在在 上任上任取取 一点一点(,)(1, 2, ). ii in 若有极限若有极限 | |0 1 lim(,), n iii T i fsJ 为平面上可求长度的曲线段为平面上可求长度的曲线段, L( ,)f x y定

3、义定义1 设设 为为 J(,) ii T 与与点点且且 的值与分割的值与分割 的取法无关的取法无关, 则称此则称此 极极限为限为( ,)f x yL在在上的上的第一型曲线积分第一型曲线积分, 记作记作 ( ,)d . L f x ys(1) 为空间可求长曲线段为空间可求长曲线段 , L ( , )f x y zL 若若 为定义在为定义在 上上 ( , )f x y z L的函数的函数, 则可类似地定义则可类似地定义 在空间曲线在空间曲线 上上 的第一型曲线积分的第一型曲线积分, 并且记作并且记作 ( , )d . L f x y zs (2) 曲线形构件的质量曲线形构件的质量 ( , )d .

4、 L Mx ys 注注:曲线积分曲线积分也是一个也是一个确定的常数，确定的常数， 它只与被积函它只与被积函 数数f(x,y)及积分弧段及积分弧段L有关有关. ( ,)d (1,2, ) i L fx ys ik (1, 2, ) i c ik 1. 若若 存在，存在， 为为 常数常数, , 则则 1 ( ,)d k ii L i c f x ys 也存在也存在, 且且 11 ( ,)d( ,)d . kk iiii LL ii c f x yscf x ys L 12 , k L LL2. 若曲线段若曲线段 由曲线由曲线 首尾相接而首尾相接而成成, ( ,)d (1,2, ) i L f x

5、ys ik ( ,)d L f x ys 都存在都存在, 则则 也存在也存在, 且且 2.第一型曲线积分第一型曲线积分性质性质 1 ( ,)d( ,)d . i k LL i f x ysf x ys 3 ( ,)d( ,)d LL f x ysg x ys若若与与 都存在都存在, 且在且在 L上上 则则( ,)( ,),f x yg x y ( ,)d( ,)d . LL f x ysg x ys 4( ,)d( , ) d LL f x ysf x ys若若存存在在, ,则则| 也存在也存在, |( ,)d |( ,)|d . LL f x ysf x ys 且且 ( ,)d L f x

6、ys若若 L, s5存在存在, 的弧长为的弧长为 则存在常数则存在常数 ( ,)d, L f x yscs , c使得使得 inf( ,)sup( ,). L L f x ycf x y这这里里 d L s 思考： 二 第一型曲线积分的计算 定理定理20.1 设有光滑曲线设有光滑曲线 ( ), : , ( ), xt Lt yt ( ,)f x y L 为定义在为定义在 上的连续函数上的连续函数, 则则 22 ( , )d( ( ),( )( )( )d . (3) L f x ysfttttt 基本思路基本思路:计算定积分 转 化 求曲线积分 说明说明: (1)0, k s因此积分限必须满足

7、 ! (2) 注意到 22 )(d)(ddyxs tttd)()( 22 xd yd sd x y ox , a b 上有连续的导函数时上有连续的导函数时, (3)式成为式成为 2 ( , )d( ,( ) 1( )d ; b La f x ysf xxxx ( ), , yxxa b L 当曲线当曲线 由方程由方程 表示表示, 且且 在在 ( )x ,c d上有连续导函数时上有连续导函数时, (3)式成为式成为 2 ( , )d( ( ), ) 1( )d . d Lc f x ysfyyyy ( ), , xyyc d 当曲线当曲线 L由方程由方程表示表示, 且且 在在 ( )y 如果方程

8、为极坐标形式: ),()(: rrL则 syxf L d),( )sin)(,cos)(rrf 推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为 )()(, )(),(:ttztytx 则 szyxfd),( ttttd)()()( 222 d)()( 22 rr )(),(, )(tttf u对弧长的曲线积分的计算步骤：对弧长的曲线积分的计算步骤： (1)积积分分画画出出弧弧段段的的图图形形； (2)将将积积分分弧弧段段用用参参数数方方程程表表示示； (3)用用“”的的方方线线积积分分法法把把化化为为三三代代一一定定定定积积分分. . :( ),( ) ()L xtytt如如： ( , )d L f x

9、 y s ( )xt “一一代代”； ( )yt “二二代代”； 22 d( )( )dsttt “三三代代”； ,. “一一定定限限”: :小小的的 是是下下限限 大大的的 是是上上限限 化为：化为： 22 ( ),( )( )( )d .fttttt 例例1. 计算,d L sx其中 L 是抛物线 2 xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(: 2 xxyL L sxd 1 0 xxxd)2(1 2 xxxd41 1 0 2 1 0 2 3 2 )41 ( 12 1 x )155( 12 1 上点 O (0,0) 1 L x y 2 xy o ) 1 , 1 (B 22

10、222 ()d ,0,0 L IxysLxyaxy 计计算算其其中中 为为所所围围区区域域 .的的整整个个边边界界 222 xya 0 x 0 y LOAOBAB (1) :0,0OA yxa ， 2 1 d OA Ix s 23 0 1 10d 3 a xxa ， (2) :0,0OB xya ， 2 2 d OB Iy s 2 0 1 0d a yy 3 1 . 3 a 22 (3) :,0AB yaxxa 2 3 d AB Ia s 2 1 2. 4 aa 3333 123 11121 () 33232 IIIIaaaa 注：第一类曲线积分的对称性注：第一类曲线积分的对称性 1.Ly若若

11、 关关于于 轴轴对对称称，则则 ( , )d L f x ys (, )( , )fx yf x y ， 0， (, )( , )fx yf x y ， 1 2( , )d L f x ys ， L L1 O y x 2.Lx若若 关关于于 轴轴对对称称，则则 L L1 O x y ( , )d L f x ys ( ,)( , )f xyf x y ，0， ( ,)( , )f xyf x y ， 1 2( , )d L f x ys ， L L1 O x y 3.L若若 关关于于原原点点对对称称，则则 ( , )d L f x ys (,)( , )fxyf x y ，0， (,)( ,

12、)fxyf x y ， 1 2( , )d L f x y s ， 4.Lyx 若若 关关于于轴轴对对称称，则则 ( , )d L f x ys ( , )d . L f y xs 例例3. 计算,dsxI L 其中L为双纽线 )0()()( 222222 ayxayx 解解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 ) 4 0(2cos: 1 arL 利用对称性 , 得 sxI L d4 1 422 0 4cos( )( ) darr 4 0 2 dcos4 a 2 22a ,2cos: 22 arL y o x 例例4. 计算曲线积分 ,d)( 222 szyx其中为螺旋 的一段弧. 解解: s

13、zyxd)( 222 2 0 222 )()sin()cos(t ktata ttkakad 2 0 22222 0 2 3 2 222 3 t k taka )43( 3 2 22222 kaka tktatad)cos()sin( 222 )20(,sin,costtkztaytax线 例例5. 计算,d 2 sx 其中为球面 2222 azyx 被平面 所截的圆周. 0zyx 解解: 由对称性可知 sx d 2 szyxsxd)( 3 1 d 2222 sa d 3 1 2 aa2 3 1 2 3 3 2 a sy d 2 sz d 2 d d s 例例6. 计算,d)( 222 szy

14、xI 其中为球面 22 yx 解解: , 1 1)( : 2 4 1 2 2 1 2 1 zx yx :20 2 )sin2( 2 )cos2( 2 )sin2( 18d2 2 92 0 I d2 cos2 2 1 z . 1的交线与平面 zx 2 9 2 z 化为参数方程 2 1 cos2x sin2y 则 思考与练习思考与练习 1. 已知椭圆1 34 : 22 yx L周长为a , 求 syxxy L d)432( 22 提示提示:0d2 sxy L 原式 =s yx L d) 34 (12 22 s L d12a12 o22 y x 3 利用对称性 sxy L d2 sxy L d2 上

15、 sxy L d2 下 x2xyd1 2 2 2 )(2 x xyd1 2 2 2 分析分析: 作业：作业：P201 1(2)(3)(4)(7);2 内容小结内容小结 1. 定义定义 kkk n k k sf ),(lim 1 0 szyxfd),( 2. 性质性质 kk n k k sf ),(lim 1 0 L syxfd),( szyxgzyxfd),(),() 1 ( 21 d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf ),( 21 组成由 ls d)3( l 曲线弧 的长度) L szyxfd),(),(为常数szyxg L d),( 3. 计算计算 对光滑曲线弧,

16、)( , )(, )(:ttytxL L syxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyL L syxfd),( b a xxf) )(,( ),()(: rrL L syxfd),( )sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧 tttd)()( 22 xx d)(1 2 d)()( 22 rr )(),(ttf 复习思考题 ( , )f x yL1.若若 在光滑曲线在光滑曲线上连续上连续, , 是否一定存在是否一定存在 00 (,),xyL 使得使得 00 ( , )d(,) , L f x ysf xys 其中其中 s 是曲线是曲线 L 的弧长的弧长. ( , )(, ).x yLx yL ( , )f x y2. 设设在光滑曲线在光滑曲线 L 上连续上连续, , L满足条件满足条件: ( , )f x y(, )( , ),fx yf x y 若若满足条件满足条件: 是否有是否有 ( , )d0? L f x ys ( , )f x y(, )( , ),f