第七讲分数列项

1、 学习中这样一个有趣的现象：学习中这样一个有趣的现象： 如果分数的分子是自然数如果分数的分子是自然数1 1，分母是相邻两个自然数，分母是相邻两个自然数 的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写 成的两个分数的分子是自然数成的两个分数的分子是自然数1 1，分母分别是相邻的，分母分别是相邻的 两个自然数。（这种方法称为两个自然数。（这种方法称为“裂项法裂项法” ” ） 我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的 题目简单化。题目简单化。 ;. 5 1 4 1 54 1 ; 4 1 3 1 43 1 ; 3

2、 1 2 1 32 1 ; 2 1 1 1 21 1 如如： 例例1.计算：计算： 5049 1 4948 1 . 43 1 32 1 21 1 分析与解：分析与解：此题是运用裂项法进行分数计算的最基本的运用，分母此题是运用裂项法进行分数计算的最基本的运用，分母 是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差，所以我们可以是两个正整数的乘积，而分子是这两个正整数的差，所以我们可以 将每一个分数分裂成两分数的差，即将每一个分数分裂成两分数的差，即 1 11 ) 1( 1 nnnn 5049 1 4948 1 . 43 1 32 1 21 1 ) 50 1 49 1 () 49 1 48 1 (.)

3、 4 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 1 ( 50 1 49 1 49 1 48 1 . 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 50 1 1 50 49 （去掉括（去掉括号）号） （中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为（中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0） 小结：小结： 通过以上的介绍可以看到在分数计通过以上的介绍可以看到在分数计 算中，有的计算如果运用通分等思想，算中，有的计算如果运用通分等思想， 由于题目过于复杂，不容易计算，而使由于题目过于复杂，不容易计算，而使 用裂项法就使解题变得十分的简单。用裂项法就使解题变得十分的简单。 【举一

4、反三】【举一反三】计算：计算： 2019 1 1918 1 . 43 1 32 1 21 1 (1) 20102009 1 20092008 1 . 1413 1 1312 1 1211 1 )2( 例例2 2、计算、计算 65 5 54 5 43 5 32 5 21 5 这道题目与例这道题目与例1 1相相 比有什么不同？比有什么不同？ 分子不是分子不是1 1，而是，而是5 5。 我们可以这样想：我们可以这样想： 65 1 5 65 5 ; 54 1 5 54 5 ; 43 1 5 43 5 ; 32 1 5 32 5 ; 21 1 5 21 5 6 25 6 5 5 ) 65 1 54 1

5、43 1 32 1 21 1 (5 原式原式 通过拆分，我们将例通过拆分，我们将例2 2转化成了转化成了 的形式，因此的形式，因此 1 11 ) 1( 1 nnnn 【举一反三】【举一反三】计算：计算： 87 2 76 2 65 2 54 2 43 2 )2( 2827 8 2726 8 2625 8 2524 8 2423 8 )1( 例例3、计算、计算 2450 1 . 20 1 12 1 6 1 分析与解：分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母，但分母 并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？按照常规做法，并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办

6、呢？按照常规做法， 我们应该先通分，再求和。我们应该先通分，再求和。 仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以 写成两个相邻数的乘积的形式：写成两个相邻数的乘积的形式： 623 , 1234 , 2045 ，24504950。 原来可以原来可以 这样拆分啊这样拆分啊 这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自 然数乘积的形式然数乘积的形式。 2450 1 . 20 1 12 1 6 1 25 12 50 24 50 1 2 1 50 1 49 1 . 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1

7、 2 1 5049 1 . 54 1 43 1 32 1 【举一反三】【举一反三】计算：计算： 90 1 . 20 1 12 1 6 1 2 1 )1( 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 )2( 例例3、计算、计算 72 3 56 3 42 3 30 3 20 3 分析与解：分析与解：这道题目和前面的例题非常相似，我们可结合前这道题目和前面的例题非常相似，我们可结合前 面知识，将原式中的分数进行拆分，如：面知识，将原式中的分数进行拆分，如： . 42 1 3 42 3 ; 30 1 3 30 3 ; 20 1 3 20 3 将拆分后的数代入到原式中，题目就变成了前面已学的类型：将拆分后的数代入到原式中，题目就变成了前面已学的类型： 72 3 56 3 42 3 30 3 20 3 72 1 3 56 1 3 42 1 3 30 1 3 20 1 3 ) 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 (3 ) 98 1 87 1 76 1 65 1 54 1 (3 ) 9 1 8 1 8 1 7 1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1 (3 ) 9 1 4 1