高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 第13课时 抛物线的简单几何性质检测 选修1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精第13课时 抛物线的简单几何性质（限时：10分钟）1以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2y22x2y0的圆心的抛物线的方程是(）ay22xbx22y或y22xcx2y或y2x dy2x或x2y解析:圆x2y22x2y0的圆心为（1，1)，代入四个选项检验知，点(1,1）在抛物线x2y或y2x上，故选c。答案：c2抛物线y2ax的焦点坐标为，则抛物线ax2y0的准线方程是()ay by1cy dy1解析：抛物线y2ax的焦点坐标是，。a.代入ax2y0得x22y,所求准线方程为y。答案：a3过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于a，b两点，它们的横坐标之和等

2、于5，则这样的直线(）a有且仅有一条 b有且仅有两条c有无穷多条 d不存在解析：由定义ab527，ab|min4，这样的直线有且仅有两条答案：b4过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，若af3，则|bf|_。解析：设点a（x1，y1），b（x2，y2），由|af3及抛物线定义可得，x113，x12.a点坐标为(2，2)，则直线ab的斜率为k2.直线ab的方程为y2(x1）由消去y得，2x25x20，解得x12，x2.bfx21.答案:5已知抛物线y22x，过点q(2,1）作一条直线交抛物线于a，b两点，试求弦ab的中点的轨迹方程解析：方法一：设a(x1，y1),b(x2，y2)

3、，弦ab的中点为m(x，y),则y1y22y，kab。两式相减，得（y1y2）(y1y2）2（x1x2），2y2，即2y2，即2x。当abx轴时,ab的中点为(2，0)，适合上式,故所求轨迹方程为2x。方法二：设直线ab的方程为y1k(x2)，由得y2y12k0。由已知可知恒成立设a（x1，y1)，b(x2,y2），ab的中点为p(x，y），y1y2，y1y2，x1x2（yy）（y1y2）22y1y2，消去参数k，得2x。当abx轴时，ab的中点为（2,0），适合上式，故所求轨迹方程为2x。（限时：30分钟)1设抛物线的顶点在原点，其焦点为双曲线y21的右顶点，则当点(，y）在抛物线上时，y的

4、值是(）a。b2c d2解析：由双曲线y21得抛物线的焦点为(，0）,则抛物线方程为y24x，所以当x时,y2。答案:d2若抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其通径的两端与顶点的连线组成的三角形的面积为4，则此抛物线的方程为（)ay28x by24xcy24x dy28x解析：由题意s2p4,p28，p2。又抛物线的焦点在x轴上，y24x.答案:b3若点p为抛物线y22px(p0）上任一点，f为焦点，则以pf为直径的圆与y轴（）a相交 b相切c相离 d位置由f确定解析：设p(x0，y0)，则pfx0，f.记pf的中点为m，则m的横坐标为|pf.以pf为直径的圆与y轴相切答案:b4已知抛物线关于

5、x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m（2，y0),若点m到该抛物线焦点的距离为3,则|om|（）a2b2c4d2解析：由抛物线定义知，23,所以p2,抛物线方程为y24x.因为点m（2，y0)在此抛物线上，所以y8,于是om|2。故选b。答案：b5设o是坐标原点,f是抛物线y22px(p0）的焦点，a是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60，则|为（)a。 b.c。p d.p解析：如图，过点a作adx轴于点d，令fd|m，则|fa2m,由抛物线定义知fa|ab|,即pm2m，mp。|p。答案:b6抛物线yx2上的点到直线2xy4的距离的最小值为_解析：设p（x0，x）为抛物线yx2上

6、的一点，则p到直线2xy4的距离d.当x01时,dmin.答案:7过抛物线y22px（p0）的焦点f作倾斜角为45的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的长为8，则p_。解析:直线ab的方程为yx，由消去y得x23px0.设a（x1,y1)，b（x2，y2)，x1x23p.根据抛物线定义,|bfx2，af|x1，ab|x1x2p4p8,p2.答案：28设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0）的焦点f,且和y轴交于点a，若oaf(o为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为_解析：抛物线y2ax（a0）的焦点f的坐标为，则直线l的方程为y2，它与y轴的交点为a，oaf的面积为4,a8，即所求抛物

7、线方程为y28x。答案：y28x9如图，已知抛物线y22px（p0)的焦点为f,a是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，a到抛物线焦点f的距离等于5。过a作ab垂直于y轴，垂足为b，ob的中点为m.（1)求抛物线方程；（2)过m作mnfa,垂足为n，求点n的坐标解析：（1）抛物线y22px（p0)的准线方程为x，于是45，p2。抛物线方程为y24x.(2）点a的坐标是（4,4)，由题意得b(0,4)，m（0，2），又f（1,0),kfa.mnfa,kmn,则直线fa的方程为y（x1），直线mn的方程为y2x。解方程组得n。10如图，抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点，点p（1,2），a(

8、x1,y1)，b(x2,y2)均在抛物线上（1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2）当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线ab的斜率解析：(1）由已知条件,可设抛物线的方程为y22px。点p(1,2）在抛物线上，222p1，解得p2。故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.（2)设直线pa的斜率为kpa,直线pb的斜率为kpb，则kpa（x11)，kpb(x21)pa与pb的斜率存在且倾斜角互补，kpakpb.由a(x1，y1）,b(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12（y22)y1y24.由得直线ab的斜率kab1。11已知抛物线y2x与直线l：yk(x1）相交于a，b两点(1）求证：oaob；（2）当oab的面积等于时,求k的值解析：(1）证明:联立消去x，得ky2yk0.设a（x1，y1），b(x2,y2)，则y1y2，y1y21，因为yx1，yx2，所以（y1y2）2x1x2，所以x1x21，所以x1x2y1y20，即0，所以oaob。(2)设直线l与x轴的