高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列名师讲义

1、学必求其心得，业必贵于专精2.3等比数列23.1等比数列第一课时等比数列的概念及通项公式等比数列23.1等比数列第一课时等比数列的概念及通项公式(1）等比数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等比数列？ （2）等比数列的通项公式是什么？ (3）等比中项的定义是什么？ 1等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q0)点睛(1）“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项;(2)“每一项与它的前一项的比不可理解为“每相邻两项的比”；(3）“同一常数q”,q是等比数列的公比，即q（n2)或q

2、。特别注意,q不可以为零，当q1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列2等比数列的通项公式等比数列an的首项为a1，公比为q(q0），则通项公式为：ana1qn1.3等比中项如果三个数x，g，y组成等比数列,则g叫做x,y的等比中项如果g是x和y的等比中项,那么，即g2xy.点睛(1）g是x与y的等比中项,则x与y的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项g，即等比中项有两个，且互为相反数（2)当g2xy时，g不一定是x与y的等比中项例如0250，但0，0,5不是等比数列1判断下列命题是否正确（正确的打“”，错误的打“”)(1）若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数

3、列为等比数列()(2）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零（）(3)常数列一定为等比数列()（4)任何两个数都有等比中项（)解析：（1)错误，根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零（3)错误,当常数列不为零时,该数列才是等比数列（4)错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项答案：（1）(2）（3）(4）2下列数列为等比数列的是（)a2,22，322, b。，,，cs1，(s1)2，（s1）3， d0,0,0,解析：选ba、c、d不是等比数列，a中不满足定义，c、d中项可为0，不符合 定义3等比数列

4、的首项为，末项为,公比为，则这个数列的项数为（)a3 b4c5 d6解析：选bn1，n1，即3n1，n13，n4。4在等比数列an中,a427，q3,则a7_。解析：a7a4q327（3）3729.答案：729等比数列的通项公式典例（1）在等比数列an中，a1，q，an，则项数n为（）a3 b4c5 d6(2)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2（anan2)5an1，则数列an的通项公式an_。解析(1）因为ana1qn1，所以n1,即n5，解得n5。(2)由2（anan2)5an12q25q20q2或，由aa10a1q90a10，又数列an递增，所以q2。aa10(a1q4）2a1q

5、9a1q2，所以数列an的通项公式为an2n。答案(1)c（2）2n等比数列通项公式的求法（1）根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2）充分利用各项之间的关系，直接求出q后,再求a1，最后求an,这种方法带有一定的技巧性，能简化运算活学活用在等比数列an中,(1)a42,a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n。解：（1）因为所以由得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.（2）法一:因为由得q，从而a132.又an1,所以32n11，即26n20，所以n6。法二：因为a3a6q（a2a5)，所以q。由a1qa

6、1q418，得a132。由ana1qn11，得n6。等比中项典例(1)在等比数列an中，a1，q2,则a4与a8的等比中项是(）a4 b4c d.(2)已知b是a，c的等比中项，求证：abbc是a2b2与b2c2的等比中项解析（1)由an2n12n4知,a41，a824，所以a4与a8的等比中项为4.答案：a(2)证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2ac，且a,b,c均不为零，又(a2b2)（b2c2）a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2，(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2，所以(abbc）2(a2b2）（b2c2），即abbc是a2b2与

7、b2c2的等比中项（1）由等比中项的定义可知g2abg,所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项（2)在一个等比数列中,从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项（3）a，g,b成等比数列等价于g2ab（ab0)活学活用1如果1，a,b，c,9成等比数列,那么()ab3，ac9 bb3，ac9cb3,ac9 db3，ac9解析：选b因为b2(1)(9)9，且b与首项1同号,所以b3，且a,c必同号所以acb29.2已知等比数列an的前三项依次为a1,a1,a4，则an_。解析：由已知可得(a1）2（a1）(a4），解得a5，所以a14，a

8、26，所以q，所以an4n1.答案：4n1等比数列的判定与证明典例在数列an中,若an0，且an12an3（nn)证明：数列an3是等比数列证明:法一定义法an0，an30.又an12an3，2.数列an3是首项为a13，公比为2的等比数列法二等比中项法an0，an30。又an12an3，an24an9.（an23）（an3)（4an12）（an3）（2an6)2（an13）2。即an3,an13，an23成等比数列,数列an3是等比数列证明数列是等比数列常用的方法（1)定义法:q（q为常数且q0）或q（q为常数且q0，n2）an为等比数列（2）等比中项法：aanan2（an0，nn)an为等

9、比数列活学活用（1）已知各项均不为0的数列an中,a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列,证明：a1，a3，a5成等比数列（2）已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bnan,求证数列bn是等比数列，并求其通项公式证明：(1）由已知，有2a2a1a3，aa2a4，.由得，所以a4。由得a2.将代入，得a。a3，即a3（a3a5)a5（a1a3）化简,得aa1a5.又a1，a3，a5均不为0，所以a1,a3,a5成等比数列(2）依题意an2(n1)（1）3n，于是bn3n.而12。数列bn是公比为2的等比数列，通项公式为bn2n3.层级一

10、学业水平达标12和2的等比中项是()a1 b1c1 d2解析：选c设2和2的等比中项为g，则g2(2)(2）1，g1.2在首项a11，公比q2的等比数列an中，当an64时，项数n等于（)a4 b5c6 d7解析：选d因为ana1qn1,所以12n164，即2n126，得n16，解得 n7。3设等差数列an的公差d不为0，a19d,若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(）a2 b4c6 d8解析：选ban（n8)d，又aa1a2k，（k8)d29d(2k8）d，解得k2(舍去)或k4.4等比数列an的公比为q，且q|1，a11,若ama1a2a3a4a5，则m等于（)a9 b10c11 d

11、12解析:选ca1a2a3a4a5a1a1qa1q2a1q3a1q4aq10q10,ama1qm1 qm1,q10qm1，10m1，m11。5等比数列an中，a11，a58a2，a5a2,则an等于(）a(2)n1 b（2n1)c(2）n d(2）n解析：选a设公比为q，则a1q48a1q，又a10，q0，所以q38,q2，又a5a2,所以a20，a50，从而a10,即a11，故an（2)n1。6等比数列an中，a12，a38，则an_.解析：q2，q24，即q2。当q2时，ana1qn12(2）n1（2)n;当q2时,ana1qn122n12n.答案：（2)n或2n7已知等比数列an中，a3

12、3，a10384,则a4_。解析：设公比为q，则a1q23,a1q9384，所以q7128，q2，故a4a3q326.答案：68已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于_解析：依题意设原来的三个数依次为,a,aq。aaq512，a8。又第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，(aq2)2a，2q25q20，q2或q，原来的三个数为4,8，16或16,8，4。4816168428，原来的三个数的和等于28.答案：289在等比数列an中,已知a3a636,a4a718,an,求n。解：设等比数列an的公比为q.a4

13、a7a3qa6q（a3a6）q，q.a4a718，a4(1q3)18.a416，ana4qn416n4.由16n4,得n45，n9.10已知递增的等比数列an满足a2a3a428,且a32是a2和a4的等差中项，求an.解：设等比数列an的公比为q。依题意，知2（a32）a2a4,a2a3a43a3428,a38，a2a420，8q20，解得q2或q（舍去)又a12，an2n.层级二应试能力达标1设a1,a2,a3，a4成等比数列,其公比为2，则的值为（）a. b。c。 d1解析：选a原式。2在等比数列an中,已知a1,a53，则a3（）a1 b3c1 d3解析：选a由a5a1q43，所以q4

14、9，得q23，a3a1q231.3设a12,数列12an是公比为3的等比数列，则a6等于（）a607.5 b608c607 d159解析：选c12an（12a1)3n1，12a6535，a6607.4如图给出了一个“三角形数阵”已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， ， ，, 记第i行第j列的数为aij（i，jn)，则a53的值为（)a. b.c. d.解析：选c第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51(51).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a532.5已知等比数列an中，

15、a12，且a4a64a，则a3_。解析：设等比数列an的公比为q,由等比数列的性质并结合已知条件得a4aq4。q4，q2，a3a1q221.答案：16若数列an的前n项和为sn,且an2sn3,则an的通项公式是_解析：由an2sn3得an12sn13(n2）,两式相减得anan12an（n2），anan1(n2)，1（n2）故an是公比为1的等比数列，令n1得a12a13，a13，故an3(1)n1.答案：an3（1)n17已知数列an的前n项和sn2an，求证：数列an是等比数列证明:sn2an,sn12an1。an1sn1sn（2an1)(2an）anan1.an1an.又s12a1，a

16、110.又由an1an知an0，.数列an是等比数列8已知数列an满足a1,an13an4n2（nn)(1）求a2，a3的值；（2）证明数列an2n是等比数列，并求出数列an的通项公式解：(1）由已知得a23a1423425，a33a242235829。(2）证明：an13an4n2，an12n23an6n，即an12(n1)3(an2n)由（1)知a122，an2n0，nn.3，数列an2n是首项为，公比为3的等比数列an2n3n1，an3n22n。第二课时等比数列的性质等比数列的性质（1）若数列an，bn是项数相同的等比数列,则anbn也是等比数列特别地，若an是等比数列，c是不等于0的常

17、数,则can也是等比数列(2）在等比数列an中，若mnpq，则amanapaq。(3)数列an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积(4）在等比数列an中，每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列，公比为qk1.（5）当m，n，p（m，n，pn）成等差数列时,am,an，ap成等比数列1判断下列命题是否正确(正确的打“，错误的打“）（1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离的两项之积等于首末两项的积（)(2)当q1时，an为递增数列()(3）当q1时,an为常数列（）解析:（1）正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确（2）错误，当q1，a10时,a

18、n才为递增数列（3）正确，当q1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列答案：(1）（2）(3)2由公比为q的等比数列a1,a2，依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3,a3a4，是()a等差数列b以q为公比的等比数列c以q2为公比的等比数列d以2q为公比的等比数列解析：选c因为q2为常数,所以该数列为以q2为公比的等比数列3已知等比数列an中，a47，a621,则a8的值为（）a35 b63c21 d21解析：选ban成等比数列a4，a6,a8成等比数列aa4a8，即a863.4在等比数列an中，各项都是正数，a6a10a3a541,a4a84,则a4a8_.解析:a6a10a，a3a

19、5a，aa41，又a4a84，(a4a8）2aa2a4a841849，数列各项都是正数，a4a87。答案:7等比数列的性质典例（1)在1与100之间插入n个正数，使这n2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(）a10n bn10c100n dn100(2）在等比数列an中,a316，a1a2a3a10265，则a7等于_解析(1）设这n2个数为a1，a2，an1,an2，则a2a3an1(a1an2）（100）10n。(2）因为a1a2a3a10（a3a8)5265，所以a3a8213，又因为a31624，所以a829。因为a8a3q5，所以q2.所以a7256。答案（1)a（2）256有关等

20、比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q,然后利用通项公式求解但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用活学活用1已知an为等比数列，a4a72,a5a68，则a1a10()a7 b5c5 d7解析:选d因为数列an为等比数列,所以a5a6a4a78，联立解得或所以q3或q32，故a1a10a7q37.2在等比数列an中,已知a4a7512，a3a8124,且公比为整数，则a10_.解析:由a4a7512，得a3a8512.由解得或(舍去）所以q2.所以a10a3q74(2)7512.答案:51

21、2灵活设元求解等比数列问题典例（1）有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1，4,13成等差数列，则这四个数的和是_(2）有四个实数,前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数解析(1）设这四个数分别为a，aq,aq2,aq3,则a1,aq1,aq24，aq313成等差数列即整理得解得a3,q2。因此这四个数分别是3,6，12,24，其和为45.答案：45(2）解：法一：设前三个数为,a，aq，则aaq216，所以a3216。所以a6。因此前三个数为,6，6q。由题意知第4个数为12q6.所以66q12q612，解得q.故所求的四个数为9，6

22、,4,2.法二：设后三个数为4d，4，4d，则第一个数为（4d)2，由题意知（4d)2（4d）4216，解得4d6。所以d2.故所求得的四个数为9，6，4,2.几个数成等比数列的设法（1)三个数成等比数列设为，a，aq。推广到一般:奇数个数成等比数列设为:，,a，aq,aq2(2)四个符号相同的数成等比数列设为：，aq,aq3。推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：,，aq，aq3,aq5（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.活学活用在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为（）a4或 b4或c

23、4 d17解析:选b设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为。由a，20成等差数列得2a20。a2a200,解得a4或a5。当a4时,插入的两个数的和为a4。当a5时，插入的两个数的和为a。等比数列的实际应用问题典例某工厂2016年1月的生产总值为a万元,计划从2016年2月起,每月生产总值比上一个月增长m,那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？解设从2016年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元,则an1ananm，1m。数列an是首项a1a，公比q1m%的等比数列ana（1m%)n1.2017年8月底该厂的生产总值为a20a(1m%)201a（1m%）19（万元）数列实际应

24、用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有:构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解活学活用如图,在等腰直角三角形abc 中,斜边bc2.过点 a作bc 的垂线，垂足为a1 ；过点 a1作 ac的垂线，垂足为 a2;过点a2 作a1c 的垂线，垂足为a3 ；，依此类推设baa1 ，aa1a2 ， a1a2a3 ,， a5a6a7 ，则 a7_.解析：等腰直角三角形abc中，斜边bc2，所以abaca12，aa1a2,，an1anan1sinanan2n，故a726。答案:层级一学业水平达标1

25、等比数列x，3x3，6x6，的第四项等于(）a24 b0c12 d24解析：选a由题意知(3x3）2x(6x6）,即x24x30，解得x3或x1(舍去）,所以等比数列的前3项是3，6，12,则第四项为24.2对任意等比数列an，下列说法一定正确的是（）aa1，a3，a9成等比数列 ba2,a3，a6成等比数列ca2,a4，a8成等比数列 da3，a6,a9成等比数列解析：选d设等比数列的公比为q，因为q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列故选d。3在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则等于(）a。 b。c. d.解析:选d设公比为q，则由等比数列an各项为正数

26、且an11的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根,则a6a7_。解析：由题意得a4,a5,q3.a6a7(a4a5)q23218。答案：188画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于_平方厘米解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列an（1n10，nn）,则第10个正方形的面积sa22292112 048.答案：2 0489在由实数组成的等比数列an中,a3a7a1128，a2a7a12512，求q。解:法一：由条件得由得a512，即a78。

27、将其代入得2q85q420。解得q4或q42，即q或q。法二：a3a11a2a12a,a512,即a78。于是有即a3和a11是方程x220x640的两根,解此方程得x4或x16。因此或又a11a3q8，q4或q .10在正项等比数列an中，a1a52a3a5a3a736，a2a42a2a6a4a6100，求数列an的通项公式解：a1a5a,a3a7a，由题意，得a2a3a5a36，同理得a2a3a5a100,即解得或分别解得或an2n2或an26n.层级二应试能力达标1在等比数列an中,tn表示前n项的积，若t51，则（）aa11 ba31ca41 da51解析：选b由题意，可得a1a2a3

28、a4a51，即(a1a5)（a2a4）a31，又a1a5a2a4a,所以a1，得a31。2已知等比数列an中,a3a114a7，数列bn是等差数列,且b7a7，则b5b9等于()a2 b4c8 d16解析：选c等比数列an中，a3a11a4a7,解得a74，等差数列bn中，b5b92b72a78。3已知数列an为等差数列，a1，a2,a3成等比数列，a11,则a2 016（）a5 b1c0 d1解析：选b设等差数列an的公差为d，则由a1,a2，a3成等比数列得(1d）212d，解得d0,所以a2 016a11.4设各项为正数的等比数列an中，公比q2，且a1a2a3a30230，则a3a6a

29、9a30()a230 b210c220 d215解析:选ca1a2a3a30230,aq12329aq230,a12，a3a6a9a30a（q3)(222)10（23)45220。5在等比数列an中，若a72，则此数列的前13项之积等于_解析：由于an是等比数列,a1a13a2a12a3a11a4a10a5a9a6a8a，a1a2a3a13（a）6a7a，而a72。a1a2a3a13（2)13213.答案：2136已知7，a1,a2，1四个实数成等差数列，4，b1,b2,b3，1五个实数成等比数列，则_.解析：由题意,知a2a12,b(4）（1）4。又因为b2是等比数列中的第三项，所以b2与第

30、一项同号，即b22,所以1.答案:17已知数列an为等差数列，公差d0，由an中的部分项组成的数列ab1，ab2，abn,为等比数列，其中b11，b25，b317。求数列bn的通项公式解：依题意aa1a17,即(a14d)2a1（a116d),所以a1d2d2，因为d0，所以a12d，数列abn的公比q3，所以abna13n1，又abna1(bn1）da1，由得a13n1a1.因为a12d0，所以bn23n11。8一个等比数列的第3项与第4项分别是12和18，数列中的a3，a7与a5有怎样的关系？在任一个等比数列an中，aan3an3(n3）成立吗？把3换成k，即aankank，这里的k应满足

31、怎样的条件？解：设这个数列的首项为a1，公比为q，依题意得解得所以ann1，则a32，a54，a76，可知a3a7a.在任一个等比数列an中，aan3an3（n3）一定成立在等比数列an中，aankank要成立，只需满足nk0，且kn即可23。2等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和(1）公比是1的等比数列的前n项和如何计算? (2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？ （3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？ 等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式snsn点睛在应用公式求和时，应注意到sn的使用条件为q1，而当q1时应按常数

32、列求和，即snna1。1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“)(1）求等比数列an的前n项和时可直接套用公式sn来求（)(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为snna(）（3)若某数列的前n项和公式为snaqna（a0，q0且q1，nn),则此数列一定是等比数列（)解析:（1)错误在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q1,可直接套用,否则应讨论求和(2）正确若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为snna.(3)正确根据等比数列前n项和公式sn（q0且q1）变形为:snqn（q0且q1)，若令a，则和式可变形为snaaqn.

33、答案：（1)（2)(3）2等比数列an中，公比q2,s544，则a1的值为(）a4 b4c2 d2解析：选a由s544，得a14。3数列2n1的前99项和为(）a21001 b12100c2991 d1299解析：选c数列2n1为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为s992991。4设等比数列an的公比q2,前n项和为sn，则等于(）a2 b4c。 d。解析:选c。等比数列的前n项和公式的基本运算典例在等比数列an中,公比为q，前n项和为sn。（1)a18，an，sn，求n；(2)s3，s6,求an及sn.解(1）显然q1，由sn,即，q.又ana1qn1，即8n1,n6。（2）法一

34、：由s62s3知q1，由题意得，得1q39，q38,即q2。代入得a1，ana1qn12n12n2，sn2n1。法二:由s3a1a2a3,s6s3a4a5a6s3q3（a1a2a3)s3q3s3（1q3)s3.1q39，q38，即q2.代入得a1，ana1qn12n12n2，sn2n1.在等比数列an的五个量a1,q,an,n，sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与sn，从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用 活学活用已知a6a424，a3a564,求s8.解：法一：由题意，得化

35、简得，得q213，负值舍去，q24，q2或q2.当q2时，代入得a11.s8255.当q2时,代入得a11.s8。综上知s8255或。法二：由等比数列的性质得a3a5a64,a48.当a48时，a6a424，a632，q24，q2。当a48时，a6a424，a616.q22，无解故q2.当q2时，a11,s8255.当q2时，a11,s8。综上知，s8255或。等比数列的前n项和的性质典例等比数列an的前n项和sn48,前2n项和s2n60,则前3n项和s3n_.解析法一:设公比为q,由已知易知q1，由所以s3n1（qn)36463.法二：由sn，s2nsn，s3ns2n成等比数列,得（s2n

36、sn)2sn(s3ns2n），即(6048）248(s3n60)s3n63。答案63等比数列前n项和的重要性质(1）等比数列an的前n项和sn，满足sn，s2nsn，s3ns2n,s4ns3n,成等比数列（其中sn，s2nsn，s3ns2n，均不为0），这一性质可直接应用(2）等比数列的项数是偶数时,q；等比数列的项数是奇数时,q. 活学活用1若等比数列an的公比为，且a1a3a9960,则an的前100项和为_解析：令xa1a3a9960，ya2a4a100，则s100xy，由等比数列前n项和性质知：q，所以y20,即s100xy80。答案：802一个项数为偶数的等比数列an,全部各项之和为

37、偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式解:设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作s奇，s偶，由题意可知，s奇s偶4s偶,即s奇3s偶因为数列an的项数为偶数，所以有q。又因为a1a1qa1q264,所以aq364，即a112，故所求通项公式为an12n1.等比数列及其前n项和的综合应用典例(1)已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1（）a16(14n） b16(12n)c.（14n） d。（12n)（2)设sn为数列an的前n项和，sn（1）nan，nn，则a3_；s1s2s100_。解析（1)由a5a2q3，得q3，所以q，而数

38、列anan1也为等比数列，首项a1a28，公比q2,所以a1a2a2a3anan1（14n)(2）ansnsn1（1）nan(1）n1an1(n2)，an（1)nan（1)n1an1.当n为偶数时，an1，当n为奇数时，2anan1，当n4时，a3.根据以上an的关系式及递推式可求得a1，a3,a5，a7,a2，a4，a6，a8。a2a1，a4a3，a6a5，s1s2s100（a2a1)(a4a3)（a100a99).答案(1)c(2)求解数列综合问题的步骤(1）分析题设条件(2)分清是an与an1的关系,还是an与sn的关系（3)转化为等差数列或等比数列，特别注意ansnsn1（n2，n为正

39、整数)在an与sn的关系中的应用(4）整理求解 活学活用1公差不为0的等差数列an的部分项ak1,ak2，ak3，构成等比数列，且k11，k22,k36,则k4_.解析：设等差数列an的公差为d，因为a1,a2,a6成等比数列，所以aa1a6，即（a1d)2a1(a15d），所以d3a1，所以a24a1，所以等比数列ak1,ak2，ak3，的公比q4，所以ak4a1q3a14364a1。又ak4a1（k41)da1（k41)(3a1)，所以a1（k41)（3a1)64a1，a10，所以3k4264，所以k422.答案：222设数列an满足：a11，an13an,nn。(1）求an的通项公式及前

40、n项和sn；（2）已知bn是等差数列，tn为其前n项和，且b1a2，b3a1a2a3，求t20。解：（1)由题设知an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1，sn（3n1)(2)b1a23，b313913，b3b1102d，所以公差d5，故t2020351 010.层级一学业水平达标1设an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和,若sn是等差数列，则q等于(）a1 b0c1或0 d1解析：选a因为snsn1an,又sn是等差数列,所以an为定值，即数列an为常数列，所以q1.2已知数列an是公比为3的等比数列，其前n项和sn3nk(nn)，则实数k为（)a0 b1c1 d2解析：选c

41、由数列an的前n项和sn3nk(nn),当n1时，a1s13k；当n2时，ansnsn13nk（3n1k)23n1.因为数列an是公比为3的等比数列，所以a123113k,解得k1.3已知等比数列的公比为2,且前5项和为1，那么前10项和等于（)a31 b33c35 d37解析:选b根据等比数列性质得q5，25，s1033。4在等比数列an中，a3，其前三项的和s3，则数列an的公比q（）a b.c或1 d.或1解析：选c由题意，可得a1q2，a1a1qa1q2，两式相除，得3，解得q或1。5等比数列an的前n项和为sn，s52，s106，则a16a17a18a19a20等于（)a8 b12c16 d24解析：选c设等比数列an的公比为q，因为s2nsnqnsn,所以s10s5q5s5，所以622q5，所以q52,所以a16a17a18a19a20a1q15a2q15a3q15a4q15a5q15q15（a1a2a3a4