高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案（含解析）2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精2。3 数学归纳法数学归纳法在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下问题1：试想，要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示:第一辆自行车倒下；任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆倒下问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题?提示：一些与正整数n有关的问题1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行:（1）（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立;（2)（归纳递推)假设nk（kn0，kn*)时命题成立,证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可

2、以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法的框图表示 数学归纳法中两个步骤的作用及关系步骤（1）是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证这两个步骤缺一不可，如果只有步骤（1）缺少步骤（2），则无法判断nk(kn0)时命题是否成立;如果只有步骤（2）缺少步骤（1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2）就没有意义了需要注意:步骤（2)是数学归纳法证明命题的关键归纳假设“nk（kn0，kn）时命题成立”起着已知的作用，证明“当nk1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当nk1时

3、命题也成立，而不能直接将nk1代入归纳假设，此时nk1时命题成立也是假设，命题并没有得证用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n（n1）2(其中nn）(1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边,等式成立（2）假设当nk(kn*)时等式成立，即1427310k(3k1)k（k1)2.那么，当nk1时，1427310k（3k1）（k1）k（k1)2（k1)(k1）（k24k4）（k1)2，即当nk1时等式也成立根据(1）和(2），可知等式对任何nn都成立用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明与正整数有关的命题时,关键在于先“看项”,弄清等式两边的构成规律,等式

4、的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关,由nk到nk1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将nk1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式凑结论用数学归纳法证明:.证明：（1)当n1时成立(2）假设当nk时等式成立，即有，则，即当nk1时等式也成立由（1)(2)可知对于任意的nn等式都成立。用数学归纳法证明不等式已知f（n）1，当n1，nn*时，求证：f(2n).（1）当n2时，f（22)1，原不等式成立（2)假设当nk（kn且k1)时不等式成立，即f(2k）1,那么当nk1时，有f(2k1）1f（2k)。所以当nk1时不等式也

5、成立由(1）和（2）知,对任何n1,nn不等式都成立用数学归纳法证明不等式应注意两点（1)证明不等式的第二步即从nk到nk1的推导过程中要应用归纳假设,有时需要对目标式进行适当的放缩来实现;(2）用数学归纳法证明不等式时，推论过程中有时要用到比较法、分析法和配凑法等证明不等式:12（nn)证明：(1）当n1时，左边1,右边22。显然命题成立（2）假设nk时命题成立，即12.则当nk1时，122，这就是说，当nk1时，不等式也成立根据（1）(2），可知不等式对任意正整数n都成立.用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明：f(n)（2n7)3n9能被36整除（1)n1时，f（1)(217)3193

6、6,能被36整除(2)假设nk(k1，kn*）时,f(k)（2k7)3k9能被36整除当nk1时，f(k1)3k19318(3k11）3f(k)18(3k11）3k11是偶数，18(3k11)能被36整除又f(k)能被36整除，f（k1）能被36整除由(1）（2)知对nn，f（n)能被36整除用数学归纳法证明整除问题的方法技巧用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧利用数学归纳法证明：x2ny2n(nn*）能被xy整除证明：（1)当n1时,x2y2(xy）（xy)，能被xy整除，所以命题

7、成立（2）假设当nk（kn*)时命题成立，即x2ky2k能被xy整除那么，当nk1时，x2(k1）y2(k1)x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k）y2k(x2y2)因为x2ky2k与x2y2都能被xy整除,所以x2(k1）y2(k1）能被xy整除，即当nk1时命题也成立根据(1)和（2），可知命题对任何nn都成立（12分）在数列an中，a12，an1ann1(2）2n（nn），其中0.(1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的通项公式并加以证明 将正整数作如下分组:（1)，（2，3),（4,5,6）,(7,8,9,10),（11,12,13,14，15），（16，17，

8、18,19,20，21），分别计算各组包含的正整数的和如下：s11，s2235，s345615，s47891034，s5111213141565，s6161718192021111，试猜测s1s3s5s2n1的结果,并用数学归纳法证明解:由题意知,当n1时，s1114；当n2时,s1s31624；当n3时，s1s3s58134；当n4时，s1s3s5s725644.猜想：s1s3s5s2n1n4。下面用数学归纳法证明：（1）当n1时，s1114，等式成立（2)假设当nk(kn*)时等式成立，即s1s3s5s2k1k4。那么，当nk1时，s1s3s5s2k1s2k1k4k4（2k1)（2k22k

9、1）k44k36k24k1(k1)4，即当nk1时等式也成立根据(1)和（2)，可知对于任何nn*，s1s3s5s2n1n4都成立1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为()a1b2c3 d4解析:选c边数最少的凸n边形为三角形，故n03.2用数学归纳法证明1aa2an1(nn，a1）,在验证n1成立时,左边所得的项为(）a1 b1aa2c1a d1aa2a3解析：选b当n1时，n12,故左边所得的项为1aa2.3用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1）k（k1）2，则当nk1时，表达式为_解析：当nk1时，应将表达式142

10、7k(3k1）k（k1）2中的k更换为k1.答案：1427k(3k1)（k1)（3k4)(k1）(k2）24以下是用数学归纳法证明“nn*时，2nn2”的过程证明：(1）当n1时，2112，不等式显然成立（2)假设当nk(kn*)时不等式成立，即2kk2.那么,当nk1时，2k122k2k2kk2k2k22k1（k1）2。即当nk1时不等式也成立根据（1）和（2)，可知对任何nn*不等式都成立其中错误的步骤为_(填序号)解析:在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，这是一个不确定的结论如k2时,k22k1。答案：（2)5求证：1（其中nn*)证明:(1)当n1时，左边,右边1

11、,左边右边，等式成立(2）假设当nk（kn*）时等式成立，即1.那么，当nk1时，11,即当nk1时等式也成立根据（1）和（2)，可知等式对任何nn都成立一、选择题1某个与正整数有关的命题:如果当nk(kn)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立,那么可以推得()a当n4时命题不成立b当n6时命题不成立c当n4时命题成立d当n6时命题成立解析：选a因为当nk（kn）时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立2证明1(nn*）,假设nk时成立，当nk1时，左端增加的项数是(）a1b

12、k1ck d2k解析：选d当nk时,不等式左端为1;当nk1时,不等式左端为1，增加了项，共（2k11）2k12k项3已知数列an的前n项之和为sn且sn2nan（nn*),若已经算出a11，a2，则猜想an等于（）a. b.c. d。解析：选da11,a2，s31a36a3，a3。同理可得a4.观察1，,，猜想an.4设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足:“当f(k）k2成立时，总可推出f（k1)(k1）2成立,那么下列命题总成立的是（)a若f（3）9成立,则当k1时，均有f(k)k2成立b若f（5)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立c若f（7)49成立，则当k8时，均

13、有f（k)k2成立d若f(4）25成立,则当k4时，均有f（k）k2成立解析：选d对于a，若f（3)9成立，由题意只可得出当k3时，均有f(k）k2成立，故a错；对于b，若f（5）25成立,则当k5时均有f（k)k2成立，故b错;对于c应改为“若f(7)49成立,则当k7时，均有f（k）k2成立5已知123332433n3n13n（nab)对一切nn*都成立,那么a，b的值为（）aa，b babca0，b da，b解析：选a法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式,令n1,2验证易知选a。法二：123332433n3n13n（nab)对一切nn*都成立，当n1，2时有即解得二、填空题6设

14、f（n)1(nn)，那么f（n1）f（n）等于_解析：f(n1）f(n）。答案:7用数学归纳法证明.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由nk到nk1左边多出了这一项答案：8用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中,当nk1时，34（k1)252(k1）1应变形为_解析：当nk1时，34(k1）252（k1)18134k22552k125(34k252k1）5634k2。答案:25(34k252k1）5634k2三、解答题9平面内有n（n2，nn*)条直线,其中任何两条不平行，任何三条不共点证明：交点的

15、个数f（n）.证明：(1）当n2时，两条直线有一个交点，f(2)1，命题成立（2）假设当nk（k2，kn）时，命题成立,即f(k).那么，当nk1时,第k1条直线与前k条直线均有一个交点，即新增k个交点,所以f（k1）f（k）kk，即当nk1时命题也成立根据（1)和(2），可知命题对任何n2，nn都成立10设数列的前n项和为sn,且方程x2anxan0有一根为sn1（n1，2，3，）(1)求a1,a2;(2）求的通项公式，并用数学归纳法证明解：（1）当n1时，x2a1xa10,有一根s11a11，于是(a11）2a1(a11）a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20，有一根s21a2，于是2a2a20，解得a2。（2)由题设(sn1）2an（sn1）an0，即s2sn1ansn0.当n2时,