高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质学案（含解析）1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精22.2双曲线的简单几何性质提出问题已知双曲线c1的方程：1。问题1：双曲线c1中的三个参数a，b，c的值分别为多少？提示：3，4，5.问题2：试画出双曲线c1的草图？提示：如图所示：问题3:观察双曲线c1的图象,曲线与x轴、y轴哪一条轴有交点？有无对称性？提示：与x轴有交点，有对称性导入新知1双曲线的几何性质标准方程1（a0，b0)1（a0，b0)图形性质焦点f1（c，0)，f2(c,0）f1（0，c），f2（0，c)焦距|f1f2|2c范围xa或 xa，yrya或 ya，xr对称性对称轴：坐标轴;对称中心:原点顶点a1(a,0），a2（a，0)a1(0，a)，a2

2、(0，a）轴实轴：线段a1a2，长：2a;虚轴：线段b1b2，长：2b;半实轴长:a，半虚轴长：b离心率e（1，）渐近线yxyx2等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是yx,离心率为e.化解疑难对双曲线的简单几何性质的几点认识（1）双曲线的焦点决定双曲线的位置(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程1（a0,b0)，得11，x2a2，|x|a，即xa或xa。（3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然（4)对称性：由双曲线的方程1(a0,b0),若p(x，y）是双曲线上任意一点，则p1（x，y),p2（

3、x,y)均在双曲线上，因p与p1，p2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个双曲线的几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c。又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0),(3,0），焦点坐标为(，0）,(,0)，实轴长2a6，虚轴长2b4,离心率e，渐近线方程为yx.类题通法已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲

4、线的几何性质活学活用求双曲线9x216y21440的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图解：把方程9x216y21440化为标准方程为1.由此可知,实半轴长a3;虚半轴长b4；c5,焦点坐标为(0，5)，(0，5)；离心率e；渐近线方程为yxx.双曲线的草图如图 利用双曲线的几何性质求其标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1）虚轴长为12，离心率为;（2）顶点间距离为6，渐近线方程为yx.解（1）设双曲线的标准方程为1或1（a0，b0）由题意知2b12，且c2a2b2,b6,c10，a8，双曲线的标准方程为1或1。(2)设以yx为渐近线的双曲线

5、方程为(0)，当0时，a24，2a26。当0时,a29,2a261。双曲线的标准方程为1或1.类题通法(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得再结合c2a2b2及e列关于a，b的方程(组），解方程(组)可得标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为yx，那么此双曲线方程可设为(0)活学活用分别求中心在原点，对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线的标准方程：(1）双曲线c的右焦点为（2，0)，右顶点为（,0)；（2）双曲线过点(3，9），离心率e.(3）与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点m(2，2）

6、解：（1)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，再由a2b2c2,得b21。故双曲线c的标准方程为y21。（2)由e2，得，设a29k（k0)，则c210k，b2c2a2k。于是，设所求双曲线方程为1，或1,把(3,9）代入，得k161与k0矛盾；把(3,9）代入，得k9，故所求双曲线的标准方程为1.（3）设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k（k0），将点（2，2）代入,得k(2）22，双曲线的标准方程为1。双曲线的离心率例3已知双曲线的渐近线方程为yx，求此双曲线的离心率解当焦点在x轴上时,其渐近线方程为yx，依题意，得，ba,ca，e；当焦点在y轴上时，其渐近线

7、方程为yx，依题意，得,ba，ca,e。此双曲线的离心率为或。类题通法求双曲线离心率的常用方法(1）依据条件求出a，c，计算e。(2）依据条件建立a，b,c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解；另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e求解活学活用已知f1，f2是双曲线1(a0，b0）的两个焦点，pq是经过f1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果pf2q90,求双曲线的离心率解：设f1（c,0)，将xc代入双曲线的方程得1,则y。由pf2|qf2，pf2q90，知|pf1f1f2，2c，b22ac.c22aca20，2210。即e22e10.e1或e1（舍去)所以所求双曲线的离心率

8、为1.典例(12分)已知斜率为2的直线被双曲线1所截得的弦长为4，求直线l的方程解题流程 活学活用已知双曲线c：x2y21及直线l：ykx1.(1）若直线l与双曲线c有两个不同的交点，求实数k的取值范围(2)若直线l与双曲线c两支交于a，b两点，o是坐标原点,且aob的面积为，求实数k的值解：（1)由消去y整理，得（1k2)x22kx20。由题意知解得k且k1.所以实数k的取值范围为（，1)（1,1）(1，)（2)设a（x1，y1），b(x2，y2），由（1)得x1x2，x1x2。又直线l恒过点d(0，1)，且x1x20,则soabsoadsobdx1|x2x1x2|.所以(x1x2)2（x1

9、x2）24x1x2（2)2,即28。解得k0或k，由（1）知上述k的值符合题意，所以k0或k。随堂即时演练1已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0),（4，0)，则双曲线的方程为(）a.1b.1c.1 d。1解析：选a由题意知c4，焦点在x轴上， 所以21e24，所以，又由a2b24a2c216,得a24，b212.所以双曲线的方程为1。2（全国甲卷)已知f1，f2是双曲线e：1的左，右焦点，点m在e上，mf1与x轴垂直，sinmf2f1，则e的离心率为（)a。 b。c. d2解析：选a因为mf1与x轴垂直，所以|mf1.又sinmf2f1，所以，即mf23|mf1。由双曲线的定义得2amf2

10、|mf1|2|mf1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2,所以离心率e。3已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为54,则双曲线的标准方程为_解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，解得c5，b4,双曲线的标准方程为1。答案：14过双曲线x21的左焦点f1，作倾斜角为的直线ab,其中a，b分别为直线与双曲线的交点，则ab|的长为_解析：双曲线的左焦点为f1（2，0),将直线ab的方程y（x2)代入双曲线方程，得8x24x130，显然0.设a（x1,y1），b（x2，y2）,x1x2，x1x2,ab| 3.答案：35求适合下

11、列条件的双曲线的标准方程：(1）过点（3，），离心率e；(2)中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点p(4，)解：(1）若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为1(a0，b0)因为双曲线过点（3，)，则1。又e ，故a24b2.由得a21,b2，故所求双曲线的标准方程为x21。若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为1（a0，b0）同理可得b2，不符合题意综上可知,所求双曲线的标准方程为x21.(2）由2a2b得ab，e ，所以可设双曲线方程为x2y2（0)双曲线过点p(4，），1610，即6。双曲线方程为x2y26。双曲线的标准方程为1.课时达标检测一、选择题1下列双曲

12、线中离心率为的是（)a。1b.1c.1 d。1解析：选b由e得e2,，则,，即a22b2.因此可知b正确2中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线方程是（)ax2y28 bx2y24cy2x28 dy2x24解析：选a令y0得，x4，等轴双曲线的一个焦点坐标为(4,0），c4，a2c2168,故选a.3(全国乙卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()a（1,3） b（1,）c（0，3) d（0,)解析：选a由题意得(m2n）(3m2n)0,解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2n3m2n4,即m21，所以1n3.

13、4双曲线1的离心率e（1,2）,则k的取值范围是()a（10，0） b（12,0)c（3,0） d(60，12)解析：选b由题意知k0，a24，b2k。e21。又e(1，2）,114，12k0。5（天津高考）已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为（)a.y21 bx21c。1 d。1解析：选a由焦距为2，得c。因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直,所以.又c2a2b2，解得a2,b1，所以双曲线的方程为y21.二、填空题6若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_解析：由渐近线方程为yxx，得m3，所以c，又焦点在x轴上，则

14、焦点坐标为（，0）答案：（,0）7过双曲线1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于m，n两点,以mn为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题意知,ac，即a2acc2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：28双曲线1的右顶点为a，右焦点为f，过点f平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点b，则afb的面积为_解析：双曲线1的右顶点a（3，0），右焦点f(5，0）,渐近线方程为yx.不妨设直线fb的方程为y（x5），代入双曲线方程整理，得x2(x5）29，解得x，y，所以b。所以safbafyb|（ca）|yb|（53)。答案:。三、解答题9已知椭圆方程是1，双曲线e的渐近线方程是3x4y0，若双曲线e以椭圆的焦点为其顶点,求双曲线的方程解：由已知,得椭圆的焦点坐标为（，0),顶点坐标为(，0）和(0，)因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(，0）时，可设所求的双曲线方程为9x216y2k（k0)，将点的坐标代入得k45,故所求方程是1.10已知双曲线c：1(a0,b0)的离心率为，且.(1)求双曲线c的方程；（2)已知直线xym0与双曲线c交于不同的两点a，b，且线段ab的中点在圆x2y25上，求m的值解