第12章 自然对流边界层-by皮冬

1、第十二章第十二章 自由对流边界层自由对流边界层 指导老师：程晓舫教授指导老师：程晓舫教授 小组成员：皮冬小组成员：皮冬 本章内容本章内容 自然对流的概念 自然对流边界层方程组 相似性讨论 等温垂直平板层流自然对流相似解 本章小结 自然对流的概念自然对流的概念 在重力场、离心力场或其他力场的作用下，由于流体的温 度差或（和）浓度差形成密度差和浮升力，使流体产生流 动的现象称为自然对流自然对流。 自然对流中属于作用在密度梯度上的体积力体积力引起的一种浮 力诱发运动，它不同于强迫对流，因此在描述自由对流边 界层的微分方程时，特别不能把密度密度这个物性定义为常数。 自然对流边界层方程组自然对流边界层方

2、程组 0 y v x u y u yx P X y u v x u u u 2 y u y t k y S x P u P y t v x t u t c 质量方程 含有质量方程的动量方程形式为 含有质量方程、动量方程的能量方程形式为 自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组 考虑由浮力驱动的层流边界层流动，假设二维、稳态、无二维、稳态、无 内热源、内热源、重力作用在负负x方向方向； 动量方程中体积力体积力不能忽略，体积力可表示为 ； 与强迫对流边界层方程相比的差异在于：密度密度是变化变化的， 且表现为温度的函数； 由于流速不高，故而可以忽略忽略能量方程中粘性耗散项粘性耗散项的影 响。 gX

3、浮力的影响仅限于动量方程！压力梯度项 在动量方程中 被保留，但在能量方程中却被忽略。 x P 考虑上述理由，在定常、变物性（密度）、无内 热源条件下二维自然对流边界层三方程如下所示： 质量方程： 0 y v x u 动量方程： uuPu uvg xyxyy 能量方程： ttt cucvk xyyy 自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组 自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组 对上述边界层方程作进一步处理 关于动量方程中的压力梯度项：压力梯度可根据边界层 外势流区求得，由于自然对流边界层外的流体是静止的， 于是由流体静力学流体静力学可知： g x P 其中 为势流区流体的密度。因此动量方程

4、中的压力项和 体积力项可合并成 ，即单位容积流体的浮升力。 g 如果密度变化只是(或主要)由温度变化引起的，由容积 热膨胀系数的定义111 () p tttt ()tt Boussinesq近似 为了对边界层方程式进一步简化，引入自然对流中的Boussinesq 假定，主要包含以下两方面的内容： （1）密度变化对流体动力学的影响只通过动量方程中的重力项来 完成。各方程其他项中出现的密度都假定是常数，且等于 。 （2）介质热物性 的变化对流场的影响不大，可以假定 是常数。 自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组 ,k c 于是关于自然对流边界层三方程的最终形式如下： 自然对流边界层方程组自然对

5、流边界层方程组 质量方程： 0 uv xy 2 2 uuu uvgtt xyy 2 2 ttt uva xyy 动量方程： 能量方程： 其中运动粘性系数 ，导温系数a c 相似性讨论相似性讨论 同受迫对流一样，对控制方程无量纲化可求得自然对流流动和传 热的无量纲参数。引入 2 * *2 * 2 0 0 * * * * * Re 1 * y u t u Lttg y u v x u u L 2 * *2 * * * * * * PrRe 1 y t y t v x t u L 浮力的 直接结果 Lttgu)( 0 2 0 2/123 0 /)(ReLttg L 令 相似性讨论相似性讨论 习惯上把

6、雷诺数的平方定义为格拉晓夫数格拉晓夫数 2 3 2 2/1 2 0 2 )( )(Re txgxtxgxu Gr xx 格拉晓夫数格拉晓夫数表征自然对流状态下浮升力与粘性力的比值， 雷诺数雷诺数 表征受迫对流状态下惯性力与粘性力的比值。 格拉晓夫数（准确地说是 ）在自然对流过程中的作 用相当于雷诺数 在受迫对流过程中的作用，其大小能确 定边界层的流动状态。 2/ 1 x Gr )Re(Pr, xx fNu )(Pr, xx GrfNu 等温竖壁层流边界层方程组的自相似性解 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 图1 热的垂直平板上边界层的发展 在求解过程中要引入以下形式的相似参数进

7、行变量代换 xHy 4/1 ) 4 ( 1 x Gr x xH其中， xH y xHy x xH y x tt0 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 为了达到分离变量的目的，以定义如下的流函数流函数表示速度分量 xGFyx,其中 ， 4/1 ) 4 (4 x Gr xG x速度分量 y速度分量 GHFHGF yy u ()vG FGFyHG FyGH F x 无量纲温度 tt tt txt tt 00 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 ()()() u H GFHG FHGFyHH GHG FyH HG F x 2 u H GF y 2 3 2 u H GF y

8、2 2 00 2 2 0 0 0 0 0 0 0 000 2 0 0 0 11 1 )const)( 1 )const( 1 11 y t txty t txtyyyy y t txty xt x t txt xt dx dt x t txt dx dt txt tt txtx t txt txt dx xdt tttxt x t x ； ）（ 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 2 2 y u ttg y u v x u u 02 23 () gttG HGG FFFF H HHHH G 0 2 2 y t c k y t v x t u 0 G PrF H 动量方程 能量方程

9、 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 4/1 ) 4 (4 x Gr xG )( 4 1 ) 4 ( 1 4/1 xG x Gr x xH x 3 2 4 2 0 1 3 44 x dG xGr Ggxtt dx 331 444 3333 444444 xxxx x GrGrGrGr GrG x xxxx 14 222 11131 4441616 x Grdd HG xG xG xG x dxxdxxxxx 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 0Pr3 023 2 F FFFF 非线性常微分方程非线性常微分方程 无穷大的边界 条件不好处理 上述常微分方程组没有解析解

10、，只能获得数值解数值解。 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 无量纲速度分布 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 无量纲温度分布 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 根据相似性参数的定义，从上图中可以确定对应于任意x和y值的 u和t的值。同时，上图还可以用于推导合适的传热关系式传热关系式。 于是，局部自然对流的换热系数和努谢尔特数分别为： 4 1 4 1 4 (Pr) 4 0 xxx x w w x Gr g Gr k xh Nu tt q h 由导热的傅立叶定律得壁面热流： 0 4 1 4 1 x w w w w w Gr x ttk y ttk y

11、 t kq 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 4 1 4 1 2 1 Pr Pr2Pr215 Pr2 4 3 xx GrNu 微分精确解： 积分精确解： 4 1 4 1 2 Pr952. 0 Pr 508. 0 xx GrNu 2 1 3 1 RePr332. 0 xx Nu 受迫对流微分精确解： 湍流的影响湍流的影响* 自然对流边界层不局限于层流，同受迫对流一样，其中也 可能发生流体力学不稳定性，即可能出现从层流向湍流的过 渡，其与流体浮力和粘性力的相对大小有关，习惯上用瑞利瑞利 数数（Raleigh number）表示过渡发生的条件。 对于垂直平板，临界瑞利数瑞利数为 9 3 0 , 10 )( Pr xttg GrRa cxcx 适用于湍流的关系式主要依靠实验结果获得 本章小节本章小节 1.对流的驱动力有两类：来自于流体外部力的驱动，这类 对流称为受迫对流；来自于流体内部力的驱动，这类对 流 称为自然对流。 2.在自然对流微分方程的表达中，体积力不可忽略，并且 密度必须考虑为变物性