高中数学 考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例（含2013高考试题）

1、学必求其心得，业必贵于专精考点20 平面向量的数量积、平面向量应用举例一、选择题1.（2013上海高考理科t18)在边长为1的正六边形abcdef中，记以a为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以d为起点，其余顶点为终点的向量分别为。若分别为的最小值、最大值,其中,则满足（ ）。 a. b. c。 d。 【解析】选d.,只有，其余均有，故选d2.（2013大纲版全国卷高考文科3）与(2013大纲版全国卷高考理科3）相同已知向量（ ）a。 b。 c。 d.【解题指南】利用得化简求解.【解析】选b.因为，所以，即，解得.3。 (2013湖南高考理科6)已知是单位向量，=0.若向量满足（ ）a b c

2、 d【解题指南】本题首先弄懂向量是一组正交基底，且，构造，当时,利用圆的知识可求得结果.【解析】选a。条件可以理解成如图的情况,而,向量的终点在单位圆上，故的最大值为最小值是，故选a。4。 (2013重庆高考理科10）在平面上,，若，则的取值范围是a. b。 c. d。 【解析】选d。因为,所以=（)(）=-+=0,即-=,因为=+，所以=-+-,即=+-。因为=|=1，所以=1+1+2(-)=2+2（)=2-,因为|,所以0,所以02,所以2,即|。5.（2013安徽高考理科9）在平面直角坐标系中,是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是 （ ）a. b。 c。 d.【解题指南】根据

3、题设条件作出点集p所在的区域计算其面积即可。 【解析】选d.因为所以,又,故同理可得，满足的点所在的区域如图所示，其中是正三角形，其面积为，故所求区域的面积为。6.（2013湖南高考文科8）.已知是单位向量，=0.若向量满足则的最大值为( ）a. b. c。 d.【解题指南】本题首先弄懂向量是一组正交基底，且,构造,当时，利用圆的知识可求得结果。【解析】选c,条件可以理解成如图的情况而，向量的终点在单位圆上动，故|的最大值为7。（2013福建高考文科10)与(2013福建高考理科7)相同在四边形（ ）a b c d【解题指南】先计算ac与bd的位置关系,再利用面积公式求解。【解析】选c因为,所

4、以是互相垂直的对角线，所以8. （2013浙江高考理科7)设abc，是边上一定点，且对于边上任一点,恒有,则（ )a. b. c. d. 【解题指南】由于是边上任一点，所以可设,再由数量积和已知不等式求解.【解析】选d。 设 ，因为，所以，所以，即,当时，对恒成立，即，所以；当时，恒成立，所以，综上可得，又所以，即。二、填空题9. （2013新课标高考文科13)与（2013新课标高考理科13）相同已知两个单位向量，的夹角为60，若，则 _.【解题指南】由于条件中给出了,所以可以将的两边同时乘以进行求解.【解析】由得,，解得，化简得,所以.【答案】.10。 （2013天津高考文科12）在平行四边

5、形abcd中， ad = 1， , e为cd的中点. 若， 则ab的长为 .【解题指南】根据向量的加法及平面向量的基本定理由表示，,再求ab的长.【解析】因为，所以所以解得【答案】11。 （2013浙江高考文科17）与(2013浙江高考理科t17）相同设为单位向量，非零向量， .若的夹角为，则的最大值等于_。【解题指南】求的最大值，可以先计算的最大值。【解析】,当时,，令，则,所以的最大值为2。【答案】212. （2013重庆高考文科14）为边，为对角线的矩形中，则实数 .【解题指南】可根据题意先求出向量的坐标，再利用求解。【解析】,因为所以,即，解得.【答案】 13。（2013安徽高考文科1

6、3)若非零向量，满足|=3=|+2|，则与夹角的余弦值为_【解题指南】 利用向量数量积的公式计算。【解析】由|=|+2|，等式两边平方得，所以【答案】14.（2013上海高考文科t14）已知正方形abcd的边长为1。记以a为起点，其余顶点为终点的向量分别为，,；以c为起点，其余顶点为终点的向量分别为，,。若i,j,k，l且ij，kl，则的最小值是 。【解析】 根据对称性得,。【答案】 -515. (2013山东高考理科t15)已知向量与的夹角为120,且|=3，| |=2,若，且,则实数的值为。【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算.【解析】向量与的夹角为120，且|=3, =2,所

7、以由得， 即所以 即49-3(-1)=0,解得=【答案】16. (2013山东高考文科15）在平面直角坐标系xoy中，已知=（-1，t）, =（2,2),若abo=90,则实数t的值为。【解题指南】本题考查了向量的线性运算及数量积运算。可先求出，由abo=90，则，即可求出t的值.【解析】= （2,2）-(-1，t)=(3,2t），因为abo=90,所以abob,所以abob=0，32+2（2t）=0,所以t=5。【答案】5。 17. (2013新课标全国高考文科14)与(2013新课标全国高考理科t13）相同已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点,则 = 。【解题指南】建立坐标系，确定

8、各关键点的坐标,求得数量积。【解析】以点b为原点，直线bc为x轴，建立平面直角坐标系，则a（0，2),e(2,1),d(2,2)，b（0，0)，所以=（2，-1）, =(2,2）,所以=2.【答案】218。（2013江西高考理科12）设，为单位向量.且、的夹角为,若,，则向量在方向上的射影为_。【解题指南】向量在方向上的射影为,进而问题转化为求向量，的数量积与向量的模。【解析】设的夹角为，则向量在方向上的射影为,而，所以所求为。【答案】.三、解答题19。（2013江苏高考数学科t15）已知，0。（1)若,求证：；(2）设，若，求的值。【解题指南】（1)利用确定出的值,（2)建立与有关的方程求出的值。【解析】（1）|22，即（)2=22+2=2. 又因为2=2=|2=2=1，所以2-2=2，即=0，故。（2)因为 = （cos +cos， sin+sin）= (0， 1）, 所以，由此得cos=c