第二章 金融时间序列模型与预测

1、第二章第二章 金融时间序列模型与预测金融时间序列模型与预测 2.1 经济预测方法 单一方程回归模型 联立方程回归模型 自回归求积移动平均模型(ARIMA)- Box-Jenkins方法 向量自回归(VAR) 1、模型识别：自相关函数和偏相关函数 2、模型估计：OLS方法，ML方法，YULE- WALKER方法等 3、诊断：平稳性，残差是否是白噪声 4、预测：短期预测较成功 BJ方法的步骤 2.2.1 AR模型模型(自回归模型自回归模型) 一阶自回归 P阶自回归阶自回归(AR(P) 2.2.2 MA模型模型(移动平均模型移动平均模型) 一阶移动平均 q阶移动平均MA(q) 2.2 AR、MA和A

2、RIMA模型 11 ttt uuY qtqtttt uuuuY . 2211 是白噪声 t tPtPttt u uYYYY 2211 ttt uYY 11 2.2.3 ARMA(自回归移动平均模型自回归移动平均模型) 一阶自回归移动平均模型ARMA(1，1) （p，q）阶自回归）阶自回归移动平均模型(ARMA(P，q) tttt uuYY 1111 是白噪声 t tqtqtt PtPttt u uuuu YYYY . 2211 2211 注意：上面三个模型假定时间序列是平稳的，而且注意：上面三个模型假定时间序列是平稳的，而且 均值为均值为0（如果不是，可以先对模型零均值化）（如果不是，可以先对

3、模型零均值化） 2.2.4 ARIMA模型模型(自回归求积移动平均模型自回归求积移动平均模型) 如果一个时间序列是不平稳的，需要经过如果一个时间序列是不平稳的，需要经过d次差分次差分 才能变成一个平稳的才能变成一个平稳的ARMA (p，q)模型，则称该时模型，则称该时 间序列是自回归求积移动平均模型间序列是自回归求积移动平均模型 ARIMA(p,d,q) 2.3 AR模型的特征、估计与识别 2.3.1 AR模型的数字特征 一阶自回归AR(1) 开始逐渐衰减自相关函数从1, 1, 0 1 0 1 0 01 0 10 1 2 1 2 0 1 k k k k k u 是白噪声 t tPtPttt u

4、 uYYYY 2211 ttt uYY 11 AR(2) 2211 2 2 1 22 2 1 1 2 1 2 22 2 2 0 21 2 , 1 , 1 )1)(1 ( )1 ( 0 1 0 kkk u k pkpkkk pppp pp pppp pp upp p pk WalYule PAR . . . . ker . . . . 0 .1 0 )( 2211 2211 11211 02211 112011 2 22110 21 方程组 如果知道自相关系数 ,则可解出 现在可根据样本计算出样本自 相关系数 ,计算出 pppp pp WalYule . . . ker 2211 11211 方

5、程组 p ,., 21 p ,., 21 p ,., 21 p ,., 21 2.3.2 AR模型阶数的识别 根据偏相关系数 识别模型的阶数 p ,., 21 0 2 )/1 , 0( 0 显著不为，则拒绝零假设，如果 ，当如果自回归的阶数为 jj j jj n nN pjp 2.3.3 AR模型的估计 OLS,ML,Yule-walker方程组 2.3.4 AR模型的检验 1、平稳性检验 2、残差是否白噪声的检验 3.3.5 AR模型的自相关函数和偏相关函数的特征 自相关函数是“拖尾”的,偏相关函数是“截尾的” 怎么知道时间序列是怎么知道时间序列是AR，而不是，而不是MA或其他形式呢？或其他

6、形式呢？ 2.4 MA模型的特征、估计与识别 2.4.1 MA模型的数字特征 是独立的且不同期的随机扰动项是白噪声 , . 2211 t qtqtttt u uuuuY 1, 0 1 1, 0, )1 ( 0 ) 1 ( 2 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 0 k k MA k ku u 自相自相 关函关函 数的数的 截尾截尾 特征特征 2, 0 1 1 )1 ( 2, 0 ,)1 ( )1 ( 0 )2( 2 2 2 1 2 0 2 2 2 2 2 1 21 0 1 1 2 22 2 211 2 2 2 1 2 0 k k MA k k u u u 后都是截尾的其自相关函数从 期

7、的影响时刻前值仅受即 期的记忆力，过程仅有阶 qk qtY qMAq qk qk qk qMA t k q qkqkk k k qu , 0 , .1 . , 0 ).1 ( 0 )( 2 2 2 1 11 22 2 2 1 2 0 2003.6 现代咨询方法与实务 如果知道自相关系数 ,则可解出 现在可根据样本计算出样本自 相关系数 ,计算出 q ,., 21 q ,., 21 q ,., 21 qk q qkqkk k , .1 . 2 2 2 1 11 q ,., , 21 。 2.4.2 MA模型阶数的识别 根据自相关系数 识别模型的阶数 nn n nN qjq jj j j 22 0

8、 2 )/1 , 0( 0 ，构造检验区间 显著不为，则拒绝零假设，如果 ，当如果自回归的阶数为 q ,., 21 2.4.3 MA模型的估计 OLS,ML,Yule-walker方程组 2.4.4 MA模型的自相关函数和偏相关函数 的特征 自相关函数是“截尾”的,偏相关函数是 “拖尾的” qk q qkqkk k , .1 . 2 2 2 1 11 2.5 ARMA模型的特征、估计与识别 2.5.1 ARMA模型的数字特征 （p，q）阶自回归）阶自回归移动平均模型(ARMA(P，q) 1, 1 )21 ( 0 1 0 ) 1 , 1 ( 11 2 1011 2 1 2 11 2 1 0 1

9、k ARMA KK u u 是白噪声 t tqtqtt PtPttt u uuuu YYYY . 2211 2211 开始逐渐衰减自相关函数从 期的记忆力，部分具有由于 1 11 0 11 2 1 1111 0 1 1 1) 1 ( 1, 21 )(1 ( MA k k k k 的性质反映协方差和自相关函数仅 时期的记忆力，当部分具有由于 AR qkqMA qk qk qpARMA pKpKKk pKpKKK ,. ,. ),( 2211 2211 2.5.2 ARMA模型的估计 OLS， 2.5.3 ARMA模型的自相关和偏相关函数的特征 自相关函数和偏相关函数都是自相关函数和偏相关函数都是

10、“拖尾拖尾”的的 ARIMA模型针对的是非平稳时间序列,估计与识别的估计与识别的 关键是差分的阶数关键是差分的阶数(使其变为平稳的ARMA序列的差分次 数),以后过程同ARMA模型 原则:对序列连续进行差分,直到序列出现这样的特征: 自相关函数随着自相关函数随着k的增大趋向于的增大趋向于0 这时差分的次数即为这时差分的次数即为ARIMA模型差分的阶数模型差分的阶数d 2.6 ARIMA模型的估计与识别 2.7 ARMA模型定阶的AIC准则 模型的阶数为则 若 逐个试算，从 舒尔茨准则（ ），赤池准则（最小信息准则 ARMAqp qpAICqpAIC n nqp n qp qpAIC BICSI

11、C AIC u ),( ),(min),( ) 10 (.21, )(2 log),( ), : 00 00 2 补充：预测准确度的度量 预测准确度预测准确度指预测结果与实际情况的 符合程度。它与误差大小呈反向变动 关系，因而可以用误差指标反映。可 用以下指标度量： 1.预测的误差预测的误差：指预测对象的实际值与预 测值之差。用Y表示实际值,表示预测值， 则预测的误差为Y-，记为e，即e=Y-。 若e0，则 为低估预测值；若e0，则 为高估预测值；若e=0，则为准确预测 值。 Y Y Y Y Y Y 2.2.预测的相对误差预测的相对误差：指预测误差占实际值的百 分比，记为 从上式可以看出，预测

12、的相对误差不受指标量 纲的影响，因此，可用于不同预测问题准确度的 比较。 %100 Y YY Y e e l 3.预测的平均绝对误差预测的平均绝对误差：指n次预测误差的绝对值 的平均值，记为MAD。 MAD可用来表示预测误差的平均大小。 它计算简单，但受指标量纲的影响。 n e n YY MDA n i i n i ii 11 l 4.4.预测的平均绝对相对误差预测的平均绝对相对误差: 指n次预测的相对 误差的绝对值的平均值，记为AARE。 AARE不受量纲的影响。 %100 1 %100 1 1 111 n i i ii n i i i n i i Y YY nY e n e n AARE

13、l 5.5.预测的方差和标准差预测的方差和标准差 预测的方差是n次预测误差平方的平均值，记 为 。 预测的标准差就是方差的算术平方根，记为S。 2 11 22 ) ( 11 i n i i n i i YY n e n S n i ii n i i YY n e n S 1 2 1 2 ) ( 11 2 s 6. 步预测误差 预测误差为： 11110 . llltlttltt lyyle 步线性最小方差预测的方差和预测步长 有 关, 而与预测的时间原点t无关。预测步长越大， 预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就 会降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作为长期 预测模型。 ll l q

14、预测的置信区间 预测的95%置信区间： 2 1 2 1 2 1 2 0 .96. 1 lt ly 例题分析 考虑如下AR(2) 序列： 12 1.50.30.5 tttt XXX (0,1) t IIDN 若已知观测值 50 7.64X49 7.47X （1）试预报 5152 ,XX （2）给出（1）预报的置信度为95%的预报区间。 , 解答： 50 11.50.3 7.640.5 7.477.527X 50 21.50.3 7.5270.5 7.647.5781X （1） （2）假如 22 50 11 222 501 211.09 预报的置信度为95%的预报区间分别为： 5050 1.96X

15、kk ,.59. 0, 3 . 0, 1 210 2.8向量自回归（VAR）模型 概念：向量自回归模型（Vector Autoregressive Model，指每个方程有相同的 等号右侧的变量，而这些右侧变量包括所有内 生变量的滞后项，是针对变量无法确定为外生 变量时，一种新的多方程模型的分析方法。 作用 分析和预测相互联系的多变量时间序列系统 分析随机干扰项所探讨的经济系统的动态冲击 解释各种经济冲击对经济变量的影响 1、简单的VAR模型（结构VAR，原始系统) 其中，假设： （1） 和 都是平稳的随机过程； （2） 和 是白噪音干扰项； （3） 1012111121ttttyt Ybb

16、ZYZ 2021211221ttttzt Zbb YYZ t Y t Z yt zt ,0 ytzt Cov 2、标准型（简化）VAR模型与结构VAR模型 将由结构VAR模型写成矩阵形式 其中， 01-1ttt BXXu 12 21 1 1 b B b t t t Y X Z 10 0 20 b b 1112 1 2122 yt t zt u 标准（简化）VAR模型 01-1ttt XAA Xe t t t Y X Z yt t zt u -1 00 AB -1 11 AB -1 tt eB u 不相互独立 tt ee 21 , 定义 为列向量 的第 个元素， 为矩阵 中第 i 行第 j 列的

17、元素， 为列向量 的第 i 个元素。 形如上面两式的VAR称为标准（简化）VAR或 诱导系统 高阶VAR模型可以以此类推 0i a 0 Aiij a it e t e 101111211tttt Yaa Ya Ze 202112212tttt Zaa Ya Ze VAR模型的参数估计 结构VAR模型二阶段最小二乘法进行估计 。 标准VAR模型直接采用普通的最小二乘法 进行估计 软件包的实现 2.9 VAR的估计 问题是： （1）滞后期数怎么确定？ 试错，选择赤池和施瓦茨准则最低值 （2）联立方程方法和VAR方法的差别？ VAR方法不人为地划分变量的内生或外生性， 而且许多案例中，用VAR方法得

18、到的预测优于复 杂的联立方程的预测，但不适合作政策分析。 （3）变量的平稳性？ 严格讲，VAR模型中所有变量都应该是（联 合地）平稳的。 脉冲响应脉冲响应就是试图描述随机干扰项对内生变量的 影响轨迹 标准VAR模型 矩阵的形式为 101111211tttt Yaa Ya Ze 202112212tttt Zaa Ya Ze 10111112 20122122 ttt ttt YaYeaa ZaZeaa 2.10脉冲响应函数 误差向量为 结合上两式 11112 0 22122 i tt i i tt i YeaaY ZeaaZ 112 2211221 1 1 11 tyt i tzt i eb

19、ebb b 111212 0 21222112 21 1 1 11 i tyt i i tzt i YaabY Zaabb bZ 用1阶VAR模型稳定时的特解（平稳时存在，可得 定义 得VAR模型的移动平均表达式 12 1 211221 1 11 i i b A bb b 0 tit i i X 的变化的脉冲使得单位为如 在当期的变化，的脉冲使得单位为如 的影响的整个时间路径所产生对的波动脉冲 的各自独立映了称为脉冲响应函数，反 5t12 t12 tt 1)5( 1)0( Z, ,)( zt zt ztyt jk ZYi 2.11预测误差方差分解 1、预测方差分解 使用上一节公式预测 ，得其预测误差一 般形式 看两变量VAR模型中的随机变量 由 1t X 1 0 n t ntt nit n i i XE X t Y 11111111 12121121 (0)(1)(1) (0)(1)(1) t nt t nyt nyt nyt zt nzt nzt YEYn n 的n步预测误差方差 按每个冲击把n步预测误差方差分解成一定比例 t n Y 22222 111111 2222 121212 ( )(0)(1).(1) (0)(1).(1) yy z nn n 2222 111111 2 (0)(1)(