第二章 线性控制系统的数学模型

1、 线性控制系统的数学模型线性控制系统的数学模型 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 2.3 2.3 比较元件和敏感元件比较元件和敏感元件 2.4 2.4 执行元件执行元件 2.5 2.5 放大元件放大元件 2.6 2.6 变换元件变换元件 2.7 2.7 传递函数的计算传递函数的计算 第第 二二 章章 构建实际的物理系统，以完成某些规定的任务。构建实际的物理系统，以完成某些规定的任务。 如调速系统，温控系统等。如调速系统，温控系统等。 2.1 2.1 引言引言 1. 1. 工程最终目的工程最终目的 经验法：依靠丰富的经验，加试凑方法。对比较简单系统，

2、可经验法：依靠丰富的经验，加试凑方法。对比较简单系统，可 得到满意结果。得到满意结果。 2. 2. 方法方法 解析法：复杂系统一般采用解析法。解析法的解析法：复杂系统一般采用解析法。解析法的前题前题是应先建立是应先建立 数学模型，即先建立描述这一系统运动规律的数学表数学模型，即先建立描述这一系统运动规律的数学表 达式。达式。 建立数学模型一般较困难，需结合简化和理想化处理手段建立数学模型一般较困难，需结合简化和理想化处理手段 2.1 2.1 引言引言 3. 3. 数学模型数学模型 描述系统内部物理量之描述系统内部物理量之 间关系的数学表达式间关系的数学表达式 微分方程微分方程 差分方程差分方程

3、 波特图（频率特性）波特图（频率特性） 传递函数、结构图、信号流图传递函数、结构图、信号流图 状态方程状态方程 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 1. 1. 相似系统相似系统 （1 1）位置控制系统）位置控制系统 火炮跟踪雷达的伺服系统火炮跟踪雷达的伺服系统 运算放大器运算放大器 + - )(t i 功率放大器功率放大器电动机电动机齿轮比齿轮比 )(t o O K T K )( m m sTs K 1 1:n )1 ( )( m mTO sTs KKnK sG 开环传递函数开环传递函数 闭环传递函数闭环传递函数 mTOm mTO KKnKssT KKnK s 2 1 )(

4、把主反馈通道断开，得到的传递函数把主反馈通道断开，得到的传递函数 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 1. 1. 相似系统相似系统 （2 2）RLC 网络微分方程网络微分方程 1 1 2 2 RCsLCssU sU s i o )( )( )( 系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数 R sL sC 1 )(sUi )(sUo 结构完全不同，但运动方程类似，此类具有形结构完全不同，但运动方程类似，此类具有形 式相同传递函数的系统称为相似系统。式相同传递函数的系统称为相似系统。 mTOm mTO KKnKssT KKnK s 2 1 )( 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系

5、统和典型环节 1. 1. 相似系统相似系统 2 2 2 2 )( nn n ss s （3 3）二阶系统的标准方程）二阶系统的标准方程 系统自然谐振角频率，也称固有频率系统自然谐振角频率，也称固有频率 n 系统相对阻尼系数系统相对阻尼系数 m mTO n T KKnK mTO KKnK2 1 LC n 1 L CR 2 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 2. 2. 传递函数传递函数 （1 1）典型信号的拉普拉斯变换）典型信号的拉普拉斯变换 s A tAUtr)()( 2 s A tAtUtr)()( 3 2 2 s A tUAttr)()( 1 n n s n tUt !

6、)( s e s A tUtUt A tr )()()( 1 2 0 2 0 0 s ttr)sin()( 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 2. 2. 传递函数传递函数 （2 2）典型环节的传递函数）典型环节的传递函数 放大环节（比例环节）放大环节（比例环节）K )(tx i )(tx o 时域关系时域关系)( )(txKtx io 传递函数传递函数 )(KsG 物理系统中的杠杆（无弹性变形）物理系统中的杠杆（无弹性变形） 运算放大器运算放大器 测速发电机电压和转速的关系测速发电机电压和转速的关系 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 （2 2）典型环节的

7、传递函数）典型环节的传递函数 时域关系时域关系)( )()(txtxtxT ioo 直流电机的励磁回路，交流放大器直流电机的励磁回路，交流放大器 惯性环节（非周期环惯性环节（非周期环 节）节） )(tx i )(tx o sT1 1 传递函数传递函数 sT sG 1 1 )( T 为惯性时常数为惯性时常数 假设输入信号假设输入信号 ，试写出惯性环节输出，试写出惯性环节输出 。)()(tUtx i )(tx o Ts K s K sT K s sKwsXsX io / )()()( 11 1 )( )( / tUeKtx Tt o 1 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 （2

8、2）典型环节的传递函数）典型环节的传递函数 时域关系时域关系dttxKtx io )( )( 电动机以转速电动机以转速 n ( r/min )为输入，齿轮减速比为为输入，齿轮减速比为 i : 1， 以角位移以角位移为输出量；为输出量； 积分环节积分环节 )(tx i )(tx o s K 传递函数传递函数 s K sG )( 运算放大器组成的积分器运算放大器组成的积分器 dt i n t 60 2 )( 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 （2 2）典型环节的传递函数）典型环节的传递函数 时域关系时域关系)()()(txtxKtx iio 微分环节微分环节 )(tx i )(

9、tx o sK1 传递函数传递函数 sKsG 1)( 为微分时常数为微分时常数 R sRC sC R sC R sU sI sG i o 1 1 1 )( )( )( R sC 1 )(sUi)(sIo i1 i2 R sRC Cs RsU sI RtUtUC tititi i o 11 21 )( )( /)()( )()()( 2.2 2.2 相似系统和典型环节相似系统和典型环节 （2 2）典型环节的传递函数）典型环节的传递函数 时域关系时域关系 )()()()(tKxtxtxTtxT iooo 2 2 振荡环节振荡环节 )(tx i )(tx o 22 21sTTs K 传递函数传递函数

10、)( 21 )( 22 n T sTTs K sG 1 1 1 , 0 1 2 21 T s “+”“+”为稳定的振荡环节为稳定的振荡环节 图为振荡环节的三种工作状态图为振荡环节的三种工作状态 2.3 2.3 比较元件和敏感元件比较元件和敏感元件 1. 1. 比较元件比较元件误差敏感元件误差敏感元件 作用作用 将控制系统的输出量和输入量相比较，从中鉴别将控制系统的输出量和输入量相比较，从中鉴别 出它们之间的差量，即偏差出它们之间的差量，即偏差(t)，并输出一个与该，并输出一个与该 偏差成比例的偏差成比例的电信号电信号，可以是交流也可以是直流。，可以是交流也可以是直流。 框图框图 输入量输入量

11、放大器放大器 输出量输出量 反馈反馈 )(t)(tU s K 要求要求灵敏度高，精确度高，死区要小（线性范围大），惯性灵敏度高，精确度高，死区要小（线性范围大），惯性 小，动态范围大等。所以一般由小，动态范围大等。所以一般由敏感元件（传感器）和敏感元件（传感器）和 电子线路组成电子线路组成。 2.3 2.3 比较元件和敏感元件比较元件和敏感元件 2. 2. 传感器传感器 （1 1）角度传感器）角度传感器常见的有常见的有电位器，自整角机，旋转变压器电位器，自整角机，旋转变压器等等 电位器组，一般用于闭环控制电位器组，一般用于闭环控制( (Page 2) ) 灵敏度灵敏度 max E K s 单个

12、电位器，一般用于开环控制单个电位器，一般用于开环控制 )()(tKte s11 )()(tKte s22 )()()(ttKtU s21 )()( )( )( 21 ss sE sG s K s sE sG )( )( )( 为工作的最大转角为工作的最大转角 max 2.3 2.3 比较元件和敏感元件比较元件和敏感元件 2. 2. 传感器传感器 （2 2）速度传感器）速度传感器 )()(tKtKe TTT 直流测速发电机直流测速发电机 Page 49 f E T e 输出电压和转速的关系为线性输出电压和转速的关系为线性 温度变化对输出特性的影响要小温度变化对输出特性的影响要小 输出特性的斜率要

13、大输出特性的斜率要大 输出电压的纹波要小输出电压的纹波要小 （3 3）温度、照度、湿度和压力敏感元件）温度、照度、湿度和压力敏感元件 2.4 2.4 执行元件执行元件 将前级送来的控制信号（通常是电信号）转换为机械将前级送来的控制信号（通常是电信号）转换为机械 转矩，用以拖动负载跟随系统的输入轴一同运动。转矩，用以拖动负载跟随系统的输入轴一同运动。 激磁控制（磁场控制）激磁控制（磁场控制） 电枢控制（转子控制）电枢控制（转子控制） 调速范围宽，惯性小，响应速度快。调速范围宽，惯性小，响应速度快。 他励式直流伺服电动机他励式直流伺服电动机 二相异步交流伺服电动机二相异步交流伺服电动机 力矩电动机

14、力矩电动机 步进电动机步进电动机 他励式直流他励式直流 伺服电动机伺服电动机 控制方式控制方式 小功率随动系小功率随动系 统中一般采用统中一般采用 电动机作为执电动机作为执 行元件行元件 2.4 2.4 执行元件执行元件 电枢控制下传递函数电枢控制下传递函数 Page 34,44 他励式伺服电动机他励式伺服电动机 （1 1）转速输出控制）转速输出控制 a i a U a Ra L a E m m J f u a R a L a E m J 电枢电阻和炭刷接触电阻电枢电阻和炭刷接触电阻 电枢电感电枢电感 电动机的反电势电动机的反电势 电枢的转动惯量电枢的转动惯量 2.4 2.4 执行元件执行元件

15、 他励式伺服电动机他励式伺服电动机 （1 1）转速输出控制）转速输出控制 aaaaaa EiLRiU 由原理图可得由原理图可得 Ea 与电动机的转速成正比与电动机的转速成正比 mea CE 电动机的输出转矩电动机的输出转矩 Mm amm iCM mmm JM 转矩转矩 Mm与转动惯量与转动惯量Jm m m m m m a C J C M i 由由得得 amem m ma m m ma UC C JR C JL 得微分方程：得微分方程： a i a U a Ra L a E m m J f u 2.4 2.4 执行元件执行元件 他励式伺服电动机他励式伺服电动机 Tm 电动机机械时常数，电动机机械

16、时常数，F摩擦系数摩擦系数 F J CC JR T m em ma m amem m ma m m ma UC C JR C JL ammmmmem UKTTT 整理得：整理得： a a e R L T Te 电动机电磁时常数电动机电磁时常数 e m C K 1 Km 电动机传递系数电动机传递系数 2.4 2.4 执行元件执行元件 他励式伺服电动机他励式伺服电动机 LA很小，简化得 很小，简化得 ammmmmem UKTTT ammmm UKT m m sT K sG 1 )( 假设输入信号假设输入信号)()(tUtU a m mm am Ts K s K sGsUs /1 )()()( )(

17、 1)( / tUeKt m Tt mm 2.4 2.4 执行元件执行元件 电枢控制下的传递函数电枢控制下的传递函数 他励式伺服电动机他励式伺服电动机 （1 1）转速输出控制）转速输出控制 m m sT K sG 1 )( ammmm UKT （2 2）转角输出控制）转角输出控制 m m sTs K sG 1 )( ammmm UKT 2.5 2.5 放大元件放大元件 小功率放大小功率放大 晶体管放大器，这类放大晶体管放大器，这类放大 器一般采用集成电路构成器一般采用集成电路构成 中、大功率放大中、大功率放大可控硅，磁放大器（交、直流控制系统）可控硅，磁放大器（交、直流控制系统） 放大电机（直流控制系统）放大电机（直流控制系统） 传递函数都可以看成是一个比例环节传递函数都可以看成是一个比例环节 2.6 2.6 变换元件变换元件 将前级信号变换成后级部分所需的信号，如前级将前级信号变换成后级部分所需的信号，如前级 比较元件得出的偏差信号为交流，但后级执行元比较元件得出的偏差信号为交流，但后级执行元 件却需要直流控制的情况。件却需要直流控制的情况。 1 1）线性工作范围宽）线性工作范围宽 2 2）剩余电压小）剩余电压小 3 3）交流变换直流，输出电压波纹小，零点要稳定；直）交流变换直流，输出电压波纹小，零点要稳定；直 流转换交流，输出交流的谐波分量小，相位稳