第二章传递函数-梅逊公式

1、第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型 2.3 传递函数与系统动态结构图传递函数与系统动态结构图 2.3.1 传递函数的定义传递函数的定义 nn 1 nn 110 nn 1 mm 1 mm 110 mm 1 d c(t)dc(t)dc(t) aaaa c(t) dtdtdt d r(t)dr(t)dr(t) bbbb r(t) dtdtdt 设系统的标准微分方程为 C(t)为输出量， r（t）为输入量 在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到 nn-1 nn-110 mm-1 mm-110 a s C(s) a s C(s)asC(s

2、) a C(s) b s R(s) b s R(s)bsR(s) b R(s) + + 整理得 mm 1 mm 110 nn 1 nn 110 b sbsbs b C(s)R(s) a sasa s a 传递函数，记作G（s） 传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初 始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比， 记作G(s) mm 1 mm 110 nn 1 nn 110 b sbsb sbC(s) G(s)| R(s)a sasa sa 零初始条件 用方框图表示 G(s)R(s)C(s) C(s)=G(s)R(s) 2.3.2传递函数的性质传递函数的性质 1）只适用于线性定常系

3、统，不适用于非线性系统或时变系统。）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。 2）传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本）传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本 身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。 3）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。 4）传递函数是复变量）传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数 均为实数，分母多项式的次数均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数大于等于

4、分子多项式的次数m。 5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。 6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。 7）传递函数可以写成）传递函数可以写成 ，K=bm/an， 称为增益。称为增益。 -zj(j=1,2,m)成为传递函数的零点，成为传递函数的零点，-pi(i=1,2,n)成为传递函数的极成为传递函数的极 点点 m j j1 n i i1 (sz ) G (s )K (sp ) 上图所示的是 )22)(3( )2)(1( )( 2 sss ss sG 的零、极点分布

5、图。 比比 例例 环环 节节 的的 传传 递递 函函 数数 r(t) c(t) t 0 1 C(t) r(t) 微微 分分 环环 节节 的的 传传 递递 函函 数数 4 t K dt td Ktu t )( )( )()(ssKsU t sK s sU sG t )( )( )( 输入量取角度时的 传递函数即为微分 环节。 表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电 机输出电压与输入角速度之间的关系为 进行拉氏变换得到 那么该元件的传递函数为 微微 分分 环环 节节 的的 传传 递递 函函 数数 5 )()()( )()()( )( 1 )( )()( 112 21 211 1 RtiRtitu

6、 tititi dtti C Rti Rtitu c r R RR K 21 ( ) 21 21 RR CRR T )() 1()(sUTsKsU rc ) 1( )( )( )(TsK sU sU sG r c 积积 分分 环环 节节 的的 传传 递递 函函 数数 3 惯惯 性性 环环 节节 的的 传传 递递 函函 数数 2 C(t) r(t) 振振 荡荡 环环 节节 的的 传传 递递 函函 数数 6 延延 迟迟 环环 节节 的的 传传 递递 函函 数数 7 2.3.1 动态结构图动态结构图 是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各 元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中 各变量

7、所进行的运算。 动动 态态 结结 构构 图图 的的 组组 成成 1）信号线 带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线 上写明该信号的拉氏变换表达式。 2）综合点 3）引出点 4）方 框 在信号线上的“”，表示信号引出的位置。 方框中为元部件或系统的传递函数，方框的输 出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积。 它完成两个以上信号的加减运算，以O 表示。 如果输入的信号带“”号，就执行加法；带 “”号就执行减法。 动态结构图建立步骤是 建立系统各元部件的微分建立系统各元部件的微分 方程。要注意，必须先明确系方程。要注意，必须先明确系 统的输入量和输出量，还要考统的输入量和输出量，还要考 虑相邻元件

8、间的负载效应。虑相邻元件间的负载效应。 按照系统中各变量传递顺按照系统中各变量传递顺 序，依次连接序，依次连接3）中得到的结）中得到的结 构图，系统的输入量放在左端，构图，系统的输入量放在左端， 输出量放在右端，即可得到系输出量放在右端，即可得到系 统的动态结构图。统的动态结构图。 将得到的系统将得到的系统 微分方程组进行拉微分方程组进行拉 氏变换。氏变换。 按照各元部件的输按照各元部件的输 入、输出，对各方程进入、输出，对各方程进 行一定的变换，并据此行一定的变换，并据此 绘出各元部件的动态结绘出各元部件的动态结 构图。构图。 1234 C R2 R1 U1U2 I1 I2 I R2 U2(

9、S) 步骤一 列写方程组 步骤二 画出对应方程的部分结构图 1R1 U2(S) U1(S) _ U (S) CS 步骤三 依次连接得到系统结构图 C R i r u c u 例：2.3-1 画出该系统的动态结构图 解：该系统的输入量为ur，输 出量为uc，根据电路其微分方 程为： rc c uR iu du i=C dt 取拉氏变换 rc c U (s)RI(s)U (s) I(s)CsU (s) rc c U (s)U (s) I(s) R I(s) U (s) Cs 即 动态结构图如下： 例2.3-2 画出两级RC滤波网络的动态结构图 ( (a a) ) 电电路路图图 r u1 i 2 i

10、 1 R 2 R c u 1 C 2 C 解：该系统的输入量为ur，输出量 为uc，根据电路其微分方程为： rc1 1 1 c1c 2 2 c112 1 c2 2 uu i R uu i R 1 u(ii )d t C 1 ui d t C 取拉氏变换取拉氏变换 )4( )( )( )3( )()( )( )2( )()( )( )1( )()( )( 2 2 2 2 1 21 1 1 1 1 1 sC sI sU R sUsU sI sC sIsI sU R sUsU sI c cC C Cr 动态结构图 - - - - - - C C B B A A （c c）方方块块图图 1 1 sC

11、2 1 sC )( 1 sUC )(sUr )( 1 sI )(sUc )(sUc )( 2 sI 1 1 R 2 1 R )( 1 sUC 2.4 系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式 2.4.1 系统结构图的等效变换系统结构图的等效变换 原则：变换前后保持系统中各信号间的传递关系不变 一、三条基本法则： 1、串联环节的等效传递函数为各环节传递函数之积 12 ( ) ( )( )( ) ( ) C s G sG s G s R s 即 )()( 1 sGsG n i i 对于n个环节串联，则有 2、并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数的

12、代数和 G1(s) G2(s) 1 C(s) 2 C(s) C(s)R(s) G(s) R(s) C(s) 1212 12 C(s)=C (s)+C (s)=R(s)G (s)+R(s)G (s) C(s) G(s)=G (s)G (s) R(s) 若若G2(s)为负反馈，为负反馈， 12 G(s)=G (s)-G (s)则 对于n个环节并联，则有 n i i sGsG 1 )()( 3、反馈联接（闭环） G(s) H(s) (+) R(s) E(s) C(s) B(s) (s) R(s) C(s) C(s)E(s)G(s) E(s)R(s)B(s)( B(s)C(s)H(s) C(s)G(s

13、)R(s)-C(s)H(s) C(s)1+G(s)H(s)=G(s)R(s) C(s)G(s) (s)= R(s)1G(s)H(s) 负反馈时） 整理得 E(s)R(s)B(s)( C(s)G(s) (s)= R(s)1G(s)H(s) 同理 正反馈时） (s) 1 闭环传递函数的通式为 前向通道的传递函数 闭环的开环传递函数 负反馈时，分母项取负反馈时，分母项取“+”；正反馈时，取；正反馈时，取 “-” （1）前向通道：G(s) （2）反馈通道：H(s) （3）闭环的开环传递函数： K B(s) G(s =G (s)H (s) R (s) ） （4）单位反馈系统：H(s)=1 任意一个非单位

14、反馈系统，总可等效地变换成单位反馈系统任意一个非单位反馈系统，总可等效地变换成单位反馈系统 G(s) H(s) R(s) E(s) C(s) B(s) H(s)G(s) 1 H(s) R(s) C(s) Hm(s) (s) Gc(s) Gv(s)Go(s) Cm(s) E(s)U(s) D(s) C(s) God(s) R(s) 1 a 2 a 1 C (s)2 C (s) 1 cv01 r cv0m r(t)d(t)D(s)=0 C(s)C (s) G (s)G (s)G (s)C (s)C(s) (s) R(s)R(s)1+G (s)G (s)G (s)H (s) 只考虑，不考虑时，即 1

15、cv0m2od 12 od d cv0m d(t),r(t)R(s)=0 C (s)G (s)G (s)G (s)H (s)C(s)C (s)G (s)D(s) C(s)C (s)C (s) G (s)C(s) (s) R(s)1+G (s)G (s)G (s)H (s) 只考虑不考虑，即 ， 二、其他等效变换法则 1、连续综合点或引出点之间的次序可任意交换，但相邻的综合点与 引出点之间不能任意简单交换（P44图2.4-2） 2 X (s) 1 X (s) 4 X (s) 3 X (s) Y(s) 2 X (s) 1 X (s) 4 X (s) 3 X (s) Y(s) 2 X (s) 1 X

16、 (s) 4 X (s) 3 X (s) Y(s) 2 X (s) 1 X (s) 3 X (s) 4 X (s) Y(s) 2 X (s) 1 X (s) 3 X (s) 4 X (s) Y(s) 2 X (s) 1 X (s) 3 X (s) 4 X (s) Y(s) Y(s) 2 X (s) 1 X (s) 3 X (s) Y(s) 2 X (s) 1 X (s) 3 X (s) Y(s) 2 X (s) 1 X (s) 3 X (s) 2 X (s) 2、综合点或引出点只能在紧靠环节的前后两端移动，移动时中间不 得夹杂引出点或综合点，并要等效。 综合点前移，所加的方框为移过方框的传递函

17、数的倒数所加的方框为移过方框的传递函数的倒数， 如图（a）所示。 综合点后，所加的方框为移过方框的传递函数所加的方框为移过方框的传递函数，如图（ b）所示。 引出点前移，所加的方框为移过方框的传递函数所加的方框为移过方框的传递函数，如图（a） 所示。 引出点后移，所加的方框为移过方框传递函数的倒数所加的方框为移过方框传递函数的倒数，如图 (b)所示。 3、通常综合点应有由综合点的方向移动，引出点应向引出点的方向移动 例2.4-1求下面系统结构图的的传递函数 1 1 R 1 1 C s 2 1 R 2 1 C s 123 a b c 解： 该结构图有三个闭环相互交叉，不能直接应用三条基本法则，先

18、要移动其 综合点或引出点，接触交叉。这里有1、2、3三个综合点和a、b、c三个引出点 1、将综合点2移至综合点1之前 综合点前移，所加方框为移过方框传递函数的倒数，相邻综合 点可以任意交换 2、引出点b移至引出点c后面 引出点后移，所加方框为移过方框传递函数的倒数，相邻引出 点可以任意交换 C(s) R(s) 1 1 R 1 1 C s 2 1 R 2 1 C s 1 2 3a b c 1 R 2 C s 等效为：等效为： 1(s) 2(s) 11 1 1111 1/R 1/C s1 (s) 1+1/R 1/C sR C s 1 22 2 2222 1/R 1/C s1 (s) 1+1/R 1

19、/C sR C s 1 c12 r1212112212 U (s)G (s)G (s)1 U (s)1G (s)G (s)R C s(R C s1)(R C s1)+R C s R(s) C(s) 例2.4-2 已知系统结构图如下，试用等效变换法求传 递函数(s) 1 G (s) 2 G (s) 5 G (s) 4 G (s) H(s) 3 G (s) R(s) a 解：a既是综合点又是引出点，应把a点分成综合点a1和引出点a2，如下 C(s) 1 a 1 G (s) 2 G (s) 5 G (s) 4 G (s) H(s) 3 G (s) R(s) C(s) H(s) 1 2 2 a 思考题

20、思考题1： 化简所示的系统的结构图，求传递函数。 解：解：化简的方法是，先通过移动引出点和综合点，消 除交叉连接，使用权动态结构图变成独立的回路，然 后再进行串联、并联及反馈的等效变换，最后求得系 统的传递函数。 )()()()()(1 )()()( )( )( 3212 321 sGsGsGsHsG sGsGsG sR sC 思考题思考题2: 用方块图的等效法则，求所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。 R R( (s s) ) A A - - B B C C( (s s) ) 1 G 2 G 3 G 4 G 1 H 2 H - - C 解：解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它

21、作 适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变 换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移 至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化 简。 R R( (s s) ) - - - - C C( (s s) ) 1 G 2 H 5 G 6 G 7 G 21G H 5 1 G 4325 GGGG 串联和并联 25 5 6 1HG G G 反馈公式 a 5 1 aC G 将 移至，所在分支乘上 21125 51 25 211 25 51 5 2161 61 7 1 1 1 1 1 1 GHGHG GG HG GHG HG GG G GHGG GG G 715 7521121

22、5 1234 23412112 ( ) ( ) ( )11 () 1 ()() GGGC s G s R sGG HG H GGG G G GG G GGGHG H G 思考题3：化简 1 2 - - - - - - 1 R sC 2 1 1 R 2 1 R sC 1 1 sC 2 1 )(sU c)(sU r 解：解：综合点1和2交换 - - - - sCR 11 1 sCR 22 1 sCR 21 )(sUr)(sUc - - - - sCR 21 ) 1)(1( 1 2211 sCRsCR )(sUr )(sUc 1)( 1 212211 2 2121 sCRCRCRsCCRR )(sU

23、r)(sU c 2.4.2信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式 信号流图的基本概念及绘制信号流图的基本概念及绘制 节点节点用以表示变量或信号的点称为节点，用符号 表示， 相当于结构图上的信号线。 传输传输两节点间的增益或传递函数称为传输。 支路支路联接两个节点并标有信号流向的定向线段称为支路。 输出支路输出支路背向节点的支路 输入支路输入支路指向节点的支路 源点源点只有输出支路而无输入支路的节点称为源点或输入节点。 阱点阱点只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输出节点。 混合节点混合节点既有输入支路也有输出支路的节点称为混合节点。 结构图变为信号流图的不同处结构图变为信号流图的不同处 P4

24、9 表表2.4-2 例2.4-4 已知两级RC滤波网络的动态结构图如下所示，试 画出相应系统的信号流图 解：在结构图上用小圆圈表示各变量对应的节点。综合点之后，引出综合点之后，引出 点之前必须设置一个节点。点之前必须设置一个节点。 1234567 由结构图上的信号的传递关系，自左到右，依次画出各节点间的支路， 并表明相应的增益 增益为1可以省略，节点7处增加一条增益为1的输出支路，并增画节点8，表示 系统的输出点 例2.4-5 根据结构图画信号流图 1 2345 概念：概念： 前向通路前向通路如果在从源点到阱点的通路上，通过任何节点不多于一 次，则该通路称为前向通路。前向通路中各支路传输的乘积

25、，称为前 向通路总增益。用Pk表示第K条前向通路的总增益。例2.3-4中，前向 通道只有1条：12345678， 例2.3-5中，前向通路有3条：123456，12456， 12356；P1=G1(s)G2(s)，P2=G2(s)G3(s)，P3=G1(s)G4(s) 2 11212 P1/R R C C s 单独回路单独回路起点与终点在同一个节点上，且信号通过任一节点的次 数不大于一次的回路。回路增益用La表示。例2.3-4中，单独回路有 三个，它们分别是：2342，La1= -1/R1C1s；34563， La2= -1/R2C1s；5675，La3= - 1/R2C2s。例2.3-5中，

26、单独回 路有2个，分别是：242，La1= -G1(s)H(s)；2342， La2= -G2(s)H(s) 不接触回路不接触回路如果回路间没有任何公共节点。例2.3-4中的La1与La3 2、梅逊公式、梅逊公式 n kk k 1 abcdef abcdef C(s)1 G(s)P R(s) 1LL LL L L a a bc bc def def k k L L L L L L PK KK 1 所有单独回路增益之和 所有两两互不接触回路增益之和 所有每三个互不接触回路增益之和 第 条前向通路的总增益 第 条前向通路的余因子（ 中除去与第 条通路接触 的有关 前向通路与所有回 回路所在项后，余

27、下 路接触时，余因 的分） 子必为 部 例2.4-6 利用梅逊公式求传递函数 （1） 单独回路： 1：2342，La1= -1/R1C1s； 2：34563，La2= -1/R2C1s； 3：5675，La3= - 1/R2C2s。 三个单独回路中只有1和3两两互不接触，没有三个互不接触的回 路，所以LbLc=La1La3，LdLeLf=0 2 1121221212 1La1+La2+La3 +La1La3 1111 1 R C sR C sR C sR R C C s （） 前向通道 12345678， 前向通路 与三个单独回路都有接触。 2 112121 P1/R R C C s1 ， 2

28、 1212 kk 2 1121221212 2 1212222111 1 RR CCs1 G(s)P 1111 1+ RCsR CsR CsRR CCs 1 RR CCsR Cs+R Cs+RCs+1 （2） 单独回路： 1：242，La1= -G1(s)H(s)； 2：2342， La2= -G2(s)H(s) 两个单独回路相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0 12 1La1+La2 1 G (s)H(s)+G (s)H(s) （） 前向通道 1：123456， P1=G1(s)G2(s) 2：12456， P2=G2(s)G3(s) 3：12356， P3=G1(s)G4(s) 1

29、= 2=3=1 112233 132314 12 1 G(s)(PPP) G (s)G (s)G (s)G (s)G (s)G (s) 1+G (s)H(s)+G (s)H(s) 例2.4-7根据系统结构图画出系统的信号流图，并用梅逊公式求传递函数 12 6 5 3 4 单独回路： 1：3453，La1= -G1(s)； 2：23462，La2= - G1(s) 3：234562， La3= - G1(s) G2(s) 单独回路两两相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0 a112 1L12G (s)G (s)G (s) 7 前向通道 1：1234567， P1=G1(s)G2(s)，1=

30、1 2：1567，P2=G2(s) , 2=1 3：123467，P3=G1(s) , 3=1 4：153467， P3 = -G1(s) ，4=1 7 4 122 kk k 1 112 G(s) G (s)G (s)1 G(s)=P 12G (s)G (s)G (s) 例2.4-8 用梅逊公式求传递函数 单独回路： 1：454，La1= -G2(s)H1(s)； 2：3453，La2= G1(s)G2(s)H1(s) 3：4564， La3= - G2(s) G3(s)H2(s) 单独回路两两相互接触，所以LbLc=0，LdLeLf=0 a21121232 1L1G (s)H (s)G (s

31、)G (s)H (s)G (s)G (s)H (s) 前向通道 1：12345678， P1=G1(s)G2(s)G3(s)，1=1 2：1278，P2=G4(s) , 该前向通路与三个单独回路都不 接触，所以2= 123 4 21121232 G (s)G (s)G (s) G(s)=G (s) 1+G (s)H (s)-G (s)G (s)H (s)G (s)G (s)H (s) c 0 od m G (s) G (s) G (s) H (s) 控制装置的传递函数 包括了执行调节机构在内的广义被控对象控制通道的传递函数 被控对象的干扰通道传递函数 检测变送装置的传递函数 2.5系统的典型传

32、递函数及自动控制系统的典型环节系统的典型传递函数及自动控制系统的典型环节 一、控制系统的典型传递函数一、控制系统的典型传递函数 m mm rc0 rd dod E(s)R(s)C (s) C (s)C(s)H (s) C (s)G (s)G (s)E(s) C(s)C (s)C (s) C (s)G(s)D(s) 根据信号传递关系 常用闭环系统传递函数常用闭环系统传递函数 c0r cr c0m dod cd c0m C s G (s)G (s)C sC s 1sD(s)0 R sR s1+G (s)G (s)H (s) C sG (s)C s 2sR(s)0 D sD s1+G (s)G (s

33、)H (s) 若系统输出量是 ( ) ( )( ) 、( )= ( )( ) ( )( ) 、( )= ( )( ) r er c0m dodm ed c0m E s E sE s1 3sD(s)0 R sR s1+G (s)G (s)H (s) E s- G (s)H (s)E s 4sR(s)0 D sD s1+G (s)G (s)H (s) 若系统输出量是 ( ) ( )( ) 、( )= ( )( ) ( )( ) 、( )= ( )( ) rdcrcd rdered R(s)D(s) C(s)=C (s)+C (s)=R(s)(s)+D(s)(S) E(s)=E (s)+E (s)=R(s)(s)+D(s)(S) 当和同时作用时 cm0od crcd mcm m mm mm |G (s)H (s)|1G (s)=G (s) 11 (s)(s)0 H (s)G (s)H (s) R(s)R(s) C(s)0C(s)H (s)R(s) H (s)H (s) E(s)R(s)C (s)R(s)C(s)H (s)0 当满足，时 ， 即，或 表示了表示了cm(t)能很好地跟踪能很好地跟踪r(t)变化，使跟踪误差变化，使跟踪误差e(t)=0， 即跟踪准确、及时即跟踪准确、及时 二、自动控制系统的典型环节二、自动控制系统