第六章曲线与曲面的投影

1、第 六 章 曲线与曲面的投影 6-16-1曲线概述曲线概述 6-26-2圆与椭圆圆与椭圆 6-36-3曲面概述曲面概述 6-46-4一般回转体一般回转体 6-56-5螺旋线与螺旋面螺旋线与螺旋面 一、一、曲线的形成曲线的形成 工程上常用的曲线大都可认为是：工程上常用的曲线大都可认为是： 点运动时的点运动时的轨迹轨迹； 平面与曲面或曲面与曲面的平面与曲面或曲面与曲面的交线交线； 曲线或直线在平面内运动时所得线族的曲线或直线在平面内运动时所得线族的包络线包络线。 平面曲线平面曲线 空间曲线空间曲线 曲线曲线 二、曲线的分类二、曲线的分类 曲线一般可分为：曲线一般可分为： 规则曲线规则曲线-如圆、椭

2、圆、双曲线、如圆、椭圆、双曲线、 抛物线等。抛物线等。 不规则曲线不规则曲线-任意平面曲线。任意平面曲线。 规则曲线规则曲线- -如螺旋线。如螺旋线。 不规则曲线。不规则曲线。 三、曲三、曲 线线 投投 影影 的的 一一 般般 性性 质质 曲线投影时有如下的性质：曲线投影时有如下的性质： 1、曲线的投影一般仍为曲线。、曲线的投影一般仍为曲线。 2、二次曲线的投影一般仍为二次曲线。、二次曲线的投影一般仍为二次曲线。 平面二次曲线一般方程：平面二次曲线一般方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 3、曲线的切线，它的投影一般仍与曲线的同面投影相切。、曲线的切线，它的投影一般仍与曲线的同面投

3、影相切。 4、曲线的二重点（自身的交点）投影后的性质不变。、曲线的二重点（自身的交点）投影后的性质不变。 圆与椭圆圆与椭圆 一、圆与椭一、圆与椭 圆投影的一圆投影的一 般性质般性质 1、圆或椭圆的、圆或椭圆的 中心投射后仍为中心投射后仍为 中心，且中心等中心，且中心等 分所有的直径分所有的直径 （指过圆或椭圆（指过圆或椭圆 中心的弦）。中心的弦）。 图图6-3 6-3 圆的投影圆的投影 X a b c d O H PH P V A B C D O 2、圆的投影一般为椭圆。当圆所在的平面为投、圆的投影一般为椭圆。当圆所在的平面为投 影面平行面时，它在该投影面的投影仍为圆。影面平行面时，它在该投影

4、面的投影仍为圆。 O O X 另外的投影为平行投影轴的另外的投影为平行投影轴的 直线，长度等于圆的直径。直线，长度等于圆的直径。 O O X 当圆垂直投影面时，它在该面的投影为倾斜于投影轴的直线，当圆垂直投影面时，它在该面的投影为倾斜于投影轴的直线， 长度等于圆的直径长度等于圆的直径。另外的投影为椭圆，椭圆由它的长短轴决定，。另外的投影为椭圆，椭圆由它的长短轴决定， 长轴是投影面垂直线，短轴是投影面平行线，均过圆心长轴是投影面垂直线，短轴是投影面平行线，均过圆心。 d 3、圆与椭圆的一对共轭直径投影后仍为共轭直径。、圆与椭圆的一对共轭直径投影后仍为共轭直径。 a b c O H PH P V

5、A B C D 4 4、圆的投影为椭圆圆的投影为椭圆 时，对于某一投影来时，对于某一投影来 说，圆上只有一对相说，圆上只有一对相 互垂直的直径投射后互垂直的直径投射后 为椭圆的一对相互垂为椭圆的一对相互垂 直的共轭直径：长、直的共轭直径：长、 短轴。短轴。 长轴平行投影面，长轴平行投影面， 反映实长（等于圆的反映实长（等于圆的 直径），短轴与长轴直径），短轴与长轴 垂直（为最大斜度垂直（为最大斜度 线），实长等于圆的线），实长等于圆的 直径，投影长由作图直径，投影长由作图 来决定。来决定。 5 5、椭圆的投影一般还是椭圆，空间椭圆的长短轴在投射、椭圆的投影一般还是椭圆，空间椭圆的长短轴在投射

6、后一般为投影椭圆的一对共轭轴。后一般为投影椭圆的一对共轭轴。 图图6-46-4 二、圆或椭圆投射时的作图二、圆或椭圆投射时的作图 作圆的投影时，一般是根据圆的一对共轭直径求椭圆的长作圆的投影时，一般是根据圆的一对共轭直径求椭圆的长 短轴，然后按照已知长短轴作椭圆的方法画出椭圆。短轴，然后按照已知长短轴作椭圆的方法画出椭圆。 1、求出椭圆的长短轴后画椭圆、求出椭圆的长短轴后画椭圆 a b d c o X a b c d o 圆半径圆半径 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 o o 3 3 3 3 4 4 44 4 4 例：知平面例：知平面 内圆的半径，内圆的半径， 求它的两面求它的两面 投影

7、投影 短半短半 轴长轴长 短半短半 轴长轴长 2、根据共轭轴求长短轴、根据共轭轴求长短轴 A B C D O D1 M K L OK2=ok K2 K1 L1 OL1=oL L2 M为为D1B中点中点 MK=ML=MB 短轴平行短轴平行BL 长轴平行长轴平行KB 曲面可认为是动线运动时的轨迹，动线也叫曲面可认为是动线运动时的轨迹，动线也叫 母线母线。母线为。母线为直线直线时所形成的曲面叫做时所形成的曲面叫做直纹面直纹面， 为曲线时所形成的曲面叫做为曲线时所形成的曲面叫做曲纹面曲纹面。 母线作母线作规则运动规则运动时所形成的曲面叫做时所形成的曲面叫做规则曲规则曲 面面。控制母线运动的点、线、面叫

8、做。控制母线运动的点、线、面叫做定点定点、导线导线 和和导面导面。 一、曲面的形成一、曲面的形成 a b c a1 b1 c1 H m M N n A B C A1 B1 C1 素线：素线：母线在某母线在某 一时刻的位置。一时刻的位置。 导线导线 母线母线 素线素线 例例1 1、圆柱面的几种形成方法。、圆柱面的几种形成方法。 动画演示 动画演示 曲面的形成可以是多种多样的曲面的形成可以是多种多样的 例例2 2、圆锥面的形成，如图、圆锥面的形成，如图6-96-9。 圆锥面可看作由 直母线绕和它相交 的轴线回转而成。 动画演示 圆锥面可看 作由变径圆母 线沿过圆心的 轴线平移而成。 二、曲二、曲

9、面面 的的 分分 类类 根据母线的性质，形成方法等，曲面可分为：根据母线的性质，形成方法等，曲面可分为： 可展可展- -如圆柱、圆锥。如圆柱、圆锥。 不可展不可展- -如单叶双曲回转面。如单叶双曲回转面。 可展可展-如椭圆锥、椭圆柱、盘旋面。如椭圆锥、椭圆柱、盘旋面。 不可展不可展- - -如双抛物面、正螺旋面、如双抛物面、正螺旋面、 柱状面、锥状面。柱状面、锥状面。 回转面回转面 非回转面非回转面 直纹面直纹面 回转面回转面-如圆球面、圆环面、抛物回转面等。如圆球面、圆环面、抛物回转面等。 定母线定母线 变母线变母线-三轴椭球面。三轴椭球面。 非回转面非回转面 曲纹面曲纹面 其它曲面（自由曲

10、面）其它曲面（自由曲面） 曲面曲面 三、曲三、曲 面面 的的 表表 示示 方方 法法 用投影表示曲面时，一般应画出形成曲面的用投影表示曲面时，一般应画出形成曲面的导线导线、导面导面、 定点定点和和母线母线等几何元素以及等几何元素以及曲面轮廓线曲面轮廓线的投影。的投影。 图图6-10 6-10 曲面投影的表示法曲面投影的表示法 m n m n X a b c a1 b1 c1 a1 b1 c1 a b c 6-4 6-4 一般回转面一般回转面 一、形成和特点一、形成和特点 母线绕轴线旋转所形母线绕轴线旋转所形 成的曲面，叫做成的曲面，叫做回转面回转面。 母线上任意点回转时的母线上任意点回转时的

11、轨迹是个圆周，这个圆轨迹是个圆周，这个圆 叫做叫做纬圆纬圆（垂直旋转（垂直旋转 轴）轴）。 二、投影画法二、投影画法 回转面必须回转面必须用点划线画出轴线用点划线画出轴线 的投影，然后画出投影的轮廓线或某的投影，然后画出投影的轮廓线或某 些些极限位置素线极限位置素线的投影和的投影和纬圆纬圆的投影。的投影。 对单个的回转面一般使轴线为投对单个的回转面一般使轴线为投 影面垂直线，这样在平行于轴线的投影面垂直线，这样在平行于轴线的投 影面上的投影，即为左右、前后中上影面上的投影，即为左右、前后中上 下极限位置素线的投影；在垂直于轴下极限位置素线的投影；在垂直于轴 线投影面上的投影为一个或多个同心线投

12、影面上的投影为一个或多个同心 圆，其中最大的一个圆叫圆，其中最大的一个圆叫赤道圆赤道圆，最，最 小的一个圆叫小的一个圆叫喉圆喉圆。 三、回转面上的点三、回转面上的点 作辅助线求回转面上的点。作辅助线求回转面上的点。 a (a1 ) a a1 6-5 6-5 螺旋线与螺旋面螺旋线与螺旋面 螺旋线是空间曲线。以圆柱为导面时形成螺旋线是空间曲线。以圆柱为导面时形成圆柱螺圆柱螺 旋线旋线，以圆锥面或圆弧面为导面时形成，以圆锥面或圆弧面为导面时形成圆锥螺旋线圆锥螺旋线或或 圆弧面螺线圆弧面螺线。 一、螺旋线一、螺旋线 （一）圆柱螺旋线（一）圆柱螺旋线 1 1、形成、形成：一动点在圆柱一动点在圆柱 表面上

13、绕其轴线作表面上绕其轴线作等角速等角速 度回转运动度回转运动，同时沿圆柱，同时沿圆柱 的轴线方向作的轴线方向作匀速直线运匀速直线运 动动，则动点在圆柱表面上，则动点在圆柱表面上 的运动轨迹为的运动轨迹为圆柱螺旋线。圆柱螺旋线。 动点在柱面回转一周动点在柱面回转一周 时，沿圆柱轴线走过的距时，沿圆柱轴线走过的距 离称为离称为导程导程S S。螺旋线分。螺旋线分左左、 右右旋。圆柱螺旋线形成的旋。圆柱螺旋线形成的 三个基本要素：三个基本要素：导圆柱面导圆柱面 的直径的直径、导程导程和和旋向旋向。 S 2、投影画法、投影画法 例：圆柱螺旋线投影的画法和螺旋线的展开。例：圆柱螺旋线投影的画法和螺旋线的展

14、开。 按螺线的形按螺线的形 成原理作图成原理作图 二、螺二、螺 旋旋 面面 螺旋面是螺旋面是直母线直母线 作螺旋运动作螺旋运动时的轨迹。时的轨迹。 螺旋面有螺旋面有正螺旋面正螺旋面、 斜螺旋面斜螺旋面和和可展螺旋可展螺旋 面面等。等。 （一）、正螺旋面（一）、正螺旋面 以圆柱螺旋线及其以圆柱螺旋线及其 轴线为导线，直母线沿轴线为导线，直母线沿 此两条导线滑动时始终此两条导线滑动时始终 垂直于轴线所得的轨迹，垂直于轴线所得的轨迹， 即为即为正螺旋面正螺旋面。 按照正螺旋面的形成规律，可以得到如下两个结论：按照正螺旋面的形成规律，可以得到如下两个结论： 1 1、以垂直于轴线的平、以垂直于轴线的平 面截正螺旋面，截交线面截正螺旋面，截交线 是直线是直线。 2 2、过轴线的平面与正、过轴线的平面与正 螺旋面的截交线也是直螺旋面的截交线也是直 素线。素线。 例如：例如： 1 1）水平面）水平面P P与正螺旋与正螺旋 面的截交线是直素线面的截交线是直素线 ABAB。 2 2）正平面）正平面Q Q与正螺旋与正螺旋 面交于