第十章_相似原理和量纲分析

1、第十章第十章 相似性原理和因次分析相似性原理和因次分析 本章主要介绍流体力学中的本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验法相似原理，模型实验法及及量纲分析法量纲分析法。 解决流体解决流体 力学问题力学问题 的方法的方法 数学分析数学分析 实验研究实验研究 模型实验模型实验 量纲分析法量纲分析法 对于许多流体力学问题，单纯依靠对于许多流体力学问题，单纯依靠理论理论 分析分析是不能求的解答的，而多要依靠是不能求的解答的，而多要依靠试验试验来来 解决，这就需要知道解决，这就需要知道如何进行试验如何进行试验以及以及如何如何 把试验结果应用到实际问题中把试验结果应用到实际问题中。相似原理相似原理就就

2、是试验的是试验的理论基础理论基础，同时也是对流体力学现，同时也是对流体力学现 象进行分析的一个重要手段。象进行分析的一个重要手段。 10.1 10.1 10.1 10.1 表征表征 流动流动 过程过程 的物的物 理量理量 描述几何形状的描述几何形状的 如长度、面积、体积等 描述运动状态的描述运动状态的 如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的描述动力特征的 如质量力、表面力、动量等 按性按性 质分质分 应应 满满 足足 的的 条条 件件 模型与原型的全部对应线形长度的比例相等模型与原型的全部对应线形长度的比例相等. . L L 长度比例尺长度比例尺 n l m l l 10.1 10.1 面

3、积比例尺面积比例尺 2 2 2 nn Al mm Al Al 体积比例尺体积比例尺 3 3 3 nn Vl mm Vl Vl 满足这满足这3 3个条件，流动才能几何相似个条件，流动才能几何相似。 式中：式中：l ln n原型尺寸，原型尺寸， l lm m为模型尺寸为模型尺寸。 模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速 方向相同而流速大小的比例相等。方向相同而流速大小的比例相等。 n v m v v l t v 2 121 vv avtvl tl 速度比例尺速度比例尺 加速度比例尺加速度比例尺 时间比例尺时间比例尺 10.1 10.1 3 2 l

4、Qlv t 体积流量比例尺体积流量比例尺 运动粘度比例尺运动粘度比例尺 角速度比例尺角速度比例尺 2 l lv t v l 10.1 10.1 模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的 各种同名力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。各种同名力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。 F g F P F a P F g F F amFi F g F P F a P F g F F amFi pn nGnInEn F mpmGmImEm F FFFF FFFFF 力的比例尺力的比例尺 pGIE FFFFF 、 、 、 分别表示分别表示 粘性力、压力、重力

5、、惯性力粘性力、压力、重力、惯性力 和弹性力。和弹性力。 10.1 10.1 式中：式中： 例如惯性力例如惯性力 3222 . Innn FIlltlv Immm Fm a Fm a 动力相似是决定运动相似的主导因素。动力相似是决定运动相似的主导因素。 几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型 流场相似的重要特征。流场相似的重要特征。 几何相似是流动力学相似的前提条件。几何相似是流动力学相似的前提条件。 运动相似是几何相似和动力相似的表现。运动相似是几何相似和动力相似的表现。 10.1 10.1 一、由动力相似的定义推导相似准则一、由动力相似的定

6、义推导相似准则 10.2 10.2 对于作用在流体上的作用力，一般从流体的对于作用在流体上的作用力，一般从流体的物理性质物理性质进进 行分类，如行分类，如万有引力万有引力特性产生特性产生重力重力，流体的，流体的粘滞性粘滞性产生的产生的 粘滞力粘滞力，压缩性压缩性产生的产生的弹性力弹性力以及以及表面张力表面张力等。另外还有等。另外还有 惯性惯性产生的产生的惯性力惯性力。 除除惯性力惯性力外，外，其他各力其他各力都是都是企图改变流体的运动状态企图改变流体的运动状态， 而而惯性力惯性力则是去则是去尽量维持流体的原有运动状态尽量维持流体的原有运动状态，所以流体，所以流体 运动状态的变化和发展是运动状态

7、的变化和发展是惯性力惯性力和其他和其他各种作用力各种作用力相互作相互作 用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力用的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力 为一方来相互比较。为一方来相互比较。 在两种相似的流动里，这种比例关系应当保持不变。在两种相似的流动里，这种比例关系应当保持不变。 一、由动力相似的定义推导相似准则一、由动力相似的定义推导相似准则 10.2 10.2 动力相似准数：动力相似准数：在两相似的流动中，在两相似的流动中，各种力各种力与与惯性力惯性力 之间保持固定不变的比例关系。之间保持固定不变的比例关系。 惯性力：惯性力： 34222 2 . I l Fmall

8、 tl v t 则则 22 22 22 . n FIlv m l v l v 22 e F N l v 一般称一般称 为牛顿数为牛顿数. . 一、由动力相似的定义推导相似准则一、由动力相似的定义推导相似准则 10.2 10.2 完全的动力相似，要求完全的动力相似，要求惯性力惯性力与其他力与其他力比值都相比值都相 等，但实际上不可能达到，所以常选一个等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起对流动起 决定作用的力决定作用的力给予满足。给予满足。 1. 1.雷诺（雷诺（粘滞力粘滞力）准则）准则 3 2 / Re / mal v tvl du l v l A dy 惯性力 粘滞力 当粘滞力起主要作

9、用时，动力相似有：当粘滞力起主要作用时，动力相似有： ReRe1 vl nm 或 一、由动力相似的定义推导相似准则一、由动力相似的定义推导相似准则 10.2 10.2 1. 1.雷诺（雷诺（粘滞力粘滞力）准则）准则 ReRe1 vl nm 或 适用范围：适用范围：主要受主要受水流阻力水流阻力即即粘滞力作用粘滞力作用的流体流动，凡是的流体流动，凡是 有压流动有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这 类液流相似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜类液流相似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜 体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也

10、是以雷诺数相等体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等 保证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流保证液流动力相似。如层流状态下的管道、隧洞中的有压流 动和潜体绕流问题等。动和潜体绕流问题等。 填空填空：如模型长度比尺为：如模型长度比尺为1:201:20，考虑粘滞力占主要因，考虑粘滞力占主要因 素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为 50m/s50m/s，则原型中的流速为，则原型中的流速为 m/sm/s。 问题问题1 1： 进行水力模型实验，要实现有压管流的动力进行水力模型实验，要实现有压管流的动力 相似，应选的相似准

11、则是：（相似，应选的相似准则是：（ ） A.A.雷诺准则；雷诺准则； B.B.弗劳德准则；弗劳德准则； C.C.欧拉准则；欧拉准则； D. D.其他准则。其他准则。 问题问题2 2：压力输水管模型实验，长度比尺为：压力输水管模型实验，长度比尺为8 8，模型水，模型水 管的流量应为原型输水管流量的：（管的流量应为原型输水管流量的：（ ） A.1A.12 2；B.1B.14 4； C.1 C.18 8； D.1 D.11616。 一、由动力相似的定义推导相似准则一、由动力相似的定义推导相似准则 10.2 10.2 2.2.弗汝德（弗汝德（重力重力）准则）准则 32 3 /l v tv Fr glg

12、l 惯性力 重力 当重力起主要作用时，动力相似有：当重力起主要作用时，动力相似有： 2 1 v nm gL FrFr 或 适用范围：适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的 各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔 口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞 流动等。流动等。 10.2 10.2 问题问题1 1： 明渠水流模型实验，长度比尺为明渠水流模型实验，长度比尺为4 4，模，模 型流量应为原型流量的型流量应为原型流量的:( ):( )

13、 A.1A.12 2； B.1B.14 4； C.1C.18 8； D. 1D. 13232 问题问题2 2： 设模型长度比尺为设模型长度比尺为1:1001:100，符合重力相，符合重力相 似准则，如果模型流量为似准则，如果模型流量为1000cm1000cm3 3/s/s，则原型流，则原型流 量为多少量为多少cmcm3 3/s/s？ （ ） A.0.01A.0.01； B.108 B.108； C.10C.10； D.10000 D.10000 一、由动力相似的定义推导相似准则一、由动力相似的定义推导相似准则 10.2 10.2 3. 3.欧拉准则欧拉准则 222 2 l vv Eu plp

14、惯性力 压力 当动水压差起主要作当动水压差起主要作 用时，动力相似有：用时，动力相似有： 2 1 v nm p EuEu 或 适用范围：适用范围：流体流动以动水流体流动以动水 压差为主要作用力的情况。压差为主要作用力的情况。 4. 4.马赫准则马赫准则 222 22 l vv M Klc 惯性力 弹性力 当弹性力起主要作用时，当弹性力起主要作用时， 如水击，空气动力学中的亚如水击，空气动力学中的亚 音速或超音速运动等，动力音速或超音速运动等，动力 相似有：相似有： 1 v nm c MM 或 例例1 1：有一直径为有一直径为15cm15cm的输油管，管长的输油管，管长5m5m，管，管 中要通过

15、的流量为中要通过的流量为0.18m0.18m3 3/s/s, ,现用水来作模型现用水来作模型 试验，当模型管径和原型一样，水温为试验，当模型管径和原型一样，水温为1010 （原型中油的运动粘度（原型中油的运动粘度n n=0.13cm=0.13cm2 2/s/s），问），问 水的模型流量应为多少时才能达到相似？水的模型流量应为多少时才能达到相似？ 例例2 2：溢流坝的最大下泄流量为溢流坝的最大下泄流量为1000m1000m3 3/s/s, ,用用 缩小比尺缩小比尺 的模型进行试验。的模型进行试验。 1 1）试求模型中的最大流量为多少？）试求模型中的最大流量为多少？ 2 2）如模型中的测得坝上水头

16、）如模型中的测得坝上水头 ，测，测 得模型坝址处收缩断面流速得模型坝址处收缩断面流速 ， 试求原型情况下相应的坝上水头和收缩试求原型情况下相应的坝上水头和收缩 断面处的流速各为多少？断面处的流速各为多少？ 60 l 8 m Hcm 1/ m vm s 一、因次分析的概念和原理一、因次分析的概念和原理 10.4 10.4 单位（单位（unitunit）：量度各种物理量数值大小的标准量，：量度各种物理量数值大小的标准量， 称单位。如长度单位为称单位。如长度单位为m m或或cmcm等。为等。为“量量”的表征。的表征。 如表面张力系数的单位是如表面张力系数的单位是N/mN/m。 因次（量纲）（因次（量

17、纲）（dimensiondimension）：是指撇开单位的大小后，）：是指撇开单位的大小后， 表征物理量的性质和类别。表征物理量的性质和类别。 如长度因次为如长度因次为 l l 。 为为 “质质”的表征。的表征。 其一般由其一般由基本量纲基本量纲和和诱导量纲诱导量纲组成：组成： 一、因次分析的概念和原理一、因次分析的概念和原理 10.4 10.4 1.1.基本量纲基本量纲（fundamental dimensionfundamental dimension）：具有独立）：具有独立 性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量 纲。一般取长度、时间、

18、质量、温度，即纲。一般取长度、时间、质量、温度，即 L L- -M M-t-t-T T 2.2.诱导量纲诱导量纲（derived dimensionderived dimension）: :是指由基本量纲是指由基本量纲 导出的量纲。导出的量纲。 3.3.量纲公式量纲公式: 000 ,000 000 xL tM 、 、 几何学量纲 运动学量纲 动力学量纲、 一、因次分析的概念和原理一、因次分析的概念和原理 10.4 10.4 3.3.量纲公式量纲公式: 000 ,000 000 xL tM 、 、 几何学量纲 运动学量纲 动力学量纲、 无量纲数无量纲数（纯数纯数）：）：=0,=0,=0,0,=0

19、=0，即，即 x x=1=1。 其主要特点为：其主要特点为： 1 1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； 2 2）具有客观性；）具有客观性； 3 3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中， 均应用无量纲数。均应用无量纲数。 问题问题： 速度速度v v, , 长长 度度l l, ,时间时间t t的无量的无量 纲集合是：（纲集合是：（ ） 2 : /: / : /: / v ltt vl l vtv A l B DtC ； ；。 二、因次分析法二、因次分析法 10.4 10.4 量纲和谐原理量纲和谐原理（the

20、ory of dimensional homogeneitytheory of dimensional homogeneity）：）： 凡是正确反映凡是正确反映客观规律客观规律的的物理方程物理方程，其各项的，其各项的量纲量纲都必须是都必须是 一致一致的，即只有的，即只有方程两边量纲相同方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为，方程才能成立。这称为 量纲和谐原理量纲和谐原理。量纲和谐原理的重要性为：。量纲和谐原理的重要性为： 1 1）一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验）一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验 公式的正确性和完整性公式的正确性和完整性 2 2）量纲和谐原理可用来确

21、定公式中物理量的指数。）量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 3 3）可用来建立物理方程式的结构形式。）可用来建立物理方程式的结构形式。 二、因次分析法二、因次分析法 10.4 10.4 1. 1. 定理定理布金汉（布金汉（BuckinghamBuckingham）法）法 定理：定理：对于某个物理现象，如果存在对于某个物理现象，如果存在n n个变量互为函数，个变量互为函数， 即：即： f f( (x x1 1，x x2 2,x xn n)=0)=0。 而这些变量中含有而这些变量中含有m m个基本量，则可排列这些变量个基本量，则可排列这些变量 成成（n-mn-m）个无量纲数的函数关系：个无

22、量纲数的函数关系： (1 1，2 2,n-m n-m)=0 )=0 即可合并即可合并n n个物理量为个物理量为（n-mn-m）个无量纲个无量纲数。数。 二、因次分析法二、因次分析法 10.4 10.4 1.1.定理定理布金汉（布金汉（BuckinghamBuckingham）法法 2.2.定理的解题步骤定理的解题步骤： （1 1）确定关系式）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定：根据对所研究的现象的认识，确定 影响这个现象的各个物理量及其关系式影响这个现象的各个物理量及其关系式: : 12 ,0 n f x xx （2 2）确定基本量）确定基本量：从：从n n个物理量中选取所包含的个物理

23、量中选取所包含的m m个基个基 本物理量作为基本量纲的代表，一般取本物理量作为基本量纲的代表，一般取m m=3=3。在管。在管 流中，一般选流中，一般选d d，v v，三个作基本变量。三个作基本变量。 （3 3）确定）确定数的个数数的个数N N（）= =（n n- -m m），并写出其，并写出其 余物理量与基本物理量组成的余物理量与基本物理量组成的表达式表达式 : : 123. 1,2, xyz i x x x x inm 二、因次分析法二、因次分析法 10.4 10.4 1.1.定理定理布金汉（布金汉（BuckinghamBuckingham）法）法 2.2.定理的解题步骤定理的解题步骤：

24、（4 4）确定无量纲）确定无量纲参数：参数：由量纲和谐原理解联立指数方由量纲和谐原理解联立指数方 程，求出各程，求出各项的指数项的指数x x，y y，z z，从而定出各无量，从而定出各无量 纲纲参数。参数。参数分子分母可以相互交换，也可以参数分子分母可以相互交换，也可以 开方或乘方，而不改变其无因次的性质。开方或乘方，而不改变其无因次的性质。 （5 5）写出描述现象的关系式）写出描述现象的关系式 12 ,0 n m f 可求得一个因变量的表达式。可求得一个因变量的表达式。 二、因次分析法二、因次分析法 10.4 10.4 1.1.定理定理布金汉（布金汉（BuckinghamBuckingham

25、）法法 2.2.定理的解题步骤定理的解题步骤： 3.3.选择基本量时的注意原则：选择基本量时的注意原则： 1 1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M M，L L，T T） 为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出为三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出 现两个，则基本变量同样只须选择两个。现两个，则基本变量同样只须选择两个。 2 2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要 选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多 数

26、项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 3 3）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之， 基本变量应在每组量纲中只能选择一个。基本变量应在每组量纲中只能选择一个。 例例1 1：管中紊流，单位管长沿程水头损失管中紊流，单位管长沿程水头损失 ， f h l 取决于下列因素：流速取决于下列因素：流速 , ,管径管径D D，重力，重力g g， 粘度粘度，管壁粗糙度，管壁粗糙度和密度和密度，试用，试用 定理分析确定方程的一般形式。定理分析确定方程的一般形式。 例例2 2：液体在水平等直径的管内流动，液体在水平等直径的管内流动， 设两点压强差设两点压强差p p与下列变量有与下列变量有 关：关：d d, , , ,l l, ,以及管壁粗以及管壁粗 糙度糙度，试求，试求p p的表达式。的表达式。 例例3 3：用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应 力的表达式力的