高中数学 第二章 推理与证明阶段质量检测B卷（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精第二章 推理与证明(时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,共50分）1命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(）a使用了归纳推理b使用了类比推理c使用了三段论，但大前提使用错误d使用了三段论，但小前提使用错误解析：选d应用了三段论推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误2用演绎推理证明函数yx3是增函数时的小前提是(）a增函数的定义b函数yx3满足增函数的定义c若x1x2，则f(x1）x2，则f（x1)f（x2）解析：选b三段论中,根据其特征,大前提是增函数的定义，

2、小前提是函数yx3满足增函数的定义，结论是yx3是增函数，故选b.3下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()a由an2n1，求出s112，s222,s332,，推断：数列an的前n项和snn2b由f（x)xcos x满足f(x）f(x)对xr都成立，推断：f（x)xcos x为奇函数c由半径为r的圆的面积sr2,推断单位圆的面积sd由(11）221，(21)222，（31）223，,推断：对一切nn，（n1)22n解析:选a选项a：为归纳推理，且an2n1,an是等差数列，首项a11，公差d2，则snn2n2,故a正确;选项b：为演绎推理；选项c:为类比推理;选项d：为归纳推理，当n7时，（n

3、1)282640）的面积为sr2，由此类比椭圆1(ab0)的面积最有可能是(）aa2 bb2cab d（ab）2解析:选c圆的方程可以看作是椭圆的极端情况，即ab时的情形，因为s圆r2，可以类比出椭圆的面积最有可能是sab。7若p，q（a0)，则p,q的大小关系是（）apq bpqcpq d由a的取值确定解析：选cp2（）22a72，q2（）22a72，p2q2.又p0，q0，pq.8已知a，br，若ab，且ab2,则()a1ab bab1cab1 d.ab0）上，则的最小值为_解析：因为函数ya1x的图象所过的定点为a(1，1)，且点a在直线mxny10上，所以mn1。又因为mn0，所以必有

4、m0，n0，于是（mn）222 4.答案：413给出以下数对序列：(1，1）(1,2)(2,1)(1,3）(2,2）（3，1)(1,4)（2,3)(3，2）(4，1）记第i行的第j个数对为aij,如a43(3,2),则（1）a54_；(2）anm_.解析:由前4行的特点，归纳可得:若anm（a，b），则am，bnm1,a54(4，541)（4，2)，anm（m，nm1）答案：(1)（4，2）（2）(m，nm1）14请阅读下面材料：若两个正实数a1，a2满足aa1,求证：a1a2。证明：构造函数f（x)(xa1)2(xa2）22x22(a1a2)x1，因为对一切实数x，恒有f（x）0，所以0，从

5、而得4（a1a2)280，所以a1a2.根据上述证明方法，若n个正实数满足aaa1时，你能得到的结论是_解析：类比给出的材料，构造函数f(x）（xa1）2（xa2)2(xan)2nx22（a1a2an）x1,由对一切实数x，恒有f（x）0，所以0,即可得到结论故答案为a1a2an。答案：a1a2an三、解答题（本大题共4小题，共50分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15（本小题满分12分）若x,yr，且满足(x2y22)(x2y21)180.(1)求x2y2的取值范围；（2）求证：xy2.解:(1)由(x2y2)2(x2y2）200得（x2y25）(x2y24)0。因为x2y250，

6、所以有0x2y24，即x2y2的取值范围为0,4(2)证明：由(1）知x2y24，由基本不等式得xy2，所以xy2.16（本小题满分12分）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2）如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行解：（1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交结论是正确的证明如下：设，且a,则必有b，若与不相交，则必有.又，与a矛盾，必有b.（2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行结论是错误的，这两个平面也可能相交17(本小题满

7、分12分)已知：sin2 30sin2 90sin2 150，sin2 5sin2 65sin2 125，通过观察上述两等式的规律,请你写出对任意角度都成立的一般性的命题，并给予证明解：一般形式为:sin2sin2（60)sin2（120）。证明：左边cos 2cos(2120）cos(2240)(cos 2cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 240sin 2sin 240）cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2右边将一般形式写成sin2(60)sin2sin2(60）也正确18(本小题满分14分)如右图,设抛物线y22px（p0）的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a,b两点，点c在抛物线的准线上，且bcx轴求证：直线ac经过原点o。证明：因为抛物线y22px（p0）的焦点为f，所以经过点f的直线ab的方程可设为xmy，代入抛物线方程，可得y22pmyp20。设a（x1，y1)，b（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2p2.因为bcx轴，且点c在准线x上，所以点c的坐标是，故直