材料力学之拉压

1、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 本章要点本章要点 （1）横截面上正应力计算公式）横截面上正应力计算公式 （2）拉压虎克定律）拉压虎克定律 （3）拉压静不定问题求解）拉压静不定问题求解 重要概念重要概念 平面假设、轴力、拉压虎克定律、拉压静不定问题、平面假设、轴力、拉压虎克定律、拉压静不定问题、 应力集中、拉压变形能应力集中、拉压变形能 11 目录目录 2-1. 轴向拉伸轴向拉伸和和压缩压缩的概念的概念 2-2. 轴向拉压轴向拉压时时横截面上横截面上的的内力内力和和应力应力 2-3. 直杆轴向拉伸直杆轴向拉伸或或压缩压缩时时斜截面斜截面上的上的应力应力 2-4. 材料材料在在拉伸拉伸和

2、和压缩压缩时的时的力学性能力学性能 2-5. 许用应力许用应力, 安全系数安全系数, 拉压强度拉压强度 2-6. 轴向拉伸轴向拉伸或或压缩时压缩时的的变形变形 2-7. 直杆轴向拉伸直杆轴向拉伸或或压缩压缩时的时的变形能变形能 2-8. 应力集中应力集中的的概念概念 2-9. (拉压拉压) 静不定问题静不定问题 12 2-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 1. 轴向拉伸和压缩：轴向拉伸和压缩： 作用于作用于杆件杆件上的上的外力外力或或外力合力外力合力的的作用线作用线与与杆件杆件的的 轴线轴线重合重合时时, 杆件杆件沿着沿着轴线方向轴线方向发生发生伸长伸长或或缩短缩短, 横向横向 发

3、生发生缩小缩小或或增大增大, 这种这种变形变形称为称为轴向拉伸轴向拉伸和和压缩压缩。 基本概念：基本概念： F 拉杆拉杆 F F 压杆压杆 F 1). 受力特点受力特点: 外力外力或或外力合力外力合力的的作用线作用线与与杆轴线重合杆轴线重合 2). 变形特点变形特点: 轴向轴向伸长伸长或或缩短缩短, 横向横向缩小缩小或或增大增大 。 13 2-2 轴向拉压时横截面上轴向拉压时横截面上 的内力和应力的内力和应力 一一. 轴力及轴力图轴力及轴力图 1. 轴力轴力的的概念概念 1). 举例举例 N F N F F F F F FFFFX NN 00 用用截面法截面法将将杆件杆件分成分成左右左右两部分

4、，两部分， x利用利用 轴方向轴方向的的平衡平衡可得可得 ： 结论：结论：因因力力 FN 的的作用线作用线与与杆件杆件的的轴线轴线重合重合, 由由杆件杆件 处于处于平衡状态平衡状态可知可知, 内力合力内力合力的的作用线作用线也必然与也必然与 杆件杆件的的轴线轴线相相重合重合。 2). 定义定义: 截面截面上上分布内力分布内力的的合力合力 FN 称为称为轴力轴力。 14 2. 轴力正负号规定：轴力正负号规定： 规定规定: 引起引起杆件拉伸时的轴力杆件拉伸时的轴力为为正正, 即即拉力拉力为为正正； 压缩时压缩时的的轴力轴力为为负负, 即即压力压力为为负负。 FN 正正 FN 负负 作法：作法： b

5、). 选一个选一个坐标系坐标系, 用其用其横坐标横坐标表示表示横截面横截面的的位置位置， 纵坐标纵坐标表示表示相应截面相应截面上的上的轴力轴力； a). 用用截面法截面法求出求出各段轴力各段轴力的的大小大小； 3. 轴力图轴力图: 用用图线图线表示表示轴力轴力沿沿杆件轴线杆件轴线变化的规律变化的规律 c). 拉力拉力绘在绘在坐标轴的坐标轴的上侧上侧, 压力压力绘在绘在坐标轴的坐标轴的下侧下侧。 15 1. 求求支反力支反力 R ： 由由杆杆的的整体整体平衡方程平衡方程 解：解： 例：例：计算计算图示杆件各段图示杆件各段的的内力内力并画出并画出内力图内力图 CABD 600300500400 E

6、 40kN55kN 25kN20kN CABDE 40kN55kN 25kN20kN R kN1 10 00 02 20 02 25 55 55 54 40 00 0 RRF xkN1 10 00 02 20 02 25 55 55 54 40 00 0 RRF x kN1 10 00 02 20 02 25 55 55 54 40 00 0 RRF x R FN1 0 0 1 1 RFN )()(RF kN N 1 10 0 1 1 2. 求求 AB 段段内的内的轴力轴力 16 R 40kN FN20 04 40 0 2 2 RFN )()(RF kN N 50504040 2 2 CABD

7、E 40kN55kN 25kN20kN R 3. 同样的同样的方法方法求求 BC , CD , DE 段段内的内的轴力轴力 FN3 20kN25kN0 02 20 02 25 5 3 3 N F )()kN( N 5 5 3 3 F 20kNFN4 )()(F kN N 2 20 0 4 4 BC 段段 C D段段 DE 段段 17 单位：单位：KN x 选一个选一个坐标系坐标系, 用其用其横坐标横坐标 表示表示横截面横截面的的位置位置, 纵坐标纵坐标 表示表示相应截面相应截面上的上的轴力轴力。 拉力拉力绘在绘在 x 轴轴的的上侧上侧, 压力压力绘在绘在 x 轴轴的的下侧下侧。 0 4. 根据

8、根据轴力图轴力图的的作法作法即可画出即可画出轴力图轴力图 FN 50 10 5 20 + + CABDE 40kN55kN 25kN20kN R 18 二二. 应力应力 1. 平面假设平面假设 1). 实验观察：实验观察： 受受轴向拉伸轴向拉伸的的等截面直杆等截面直杆, 在在外力外力施加之前，施加之前， 先画上两条先画上两条互相平行互相平行的的周向线周向线 ab、cd , 然后然后观察观察 该该两横向线两横向线在在杆件杆件受力受力后的后的变化情况变化情况。 变形变形前前, 我们在我们在横向横向所作的所作的两条平行两条平行的的周向线周向线 ab , cd , 在在变形变形后后, 仍然仍然保持保持

9、为为平行平行的的周向线周向线, 且仍然且仍然垂直垂直于于轴线轴线, 只是只是分别移至分别移至 ab、cd 位置位置。 2）. 实验现象实验现象 19 变形变形前为前为平面平面的的横截面横截面, 变形变形后仍后仍保持保持为为平面平面。 平面截面假设平面截面假设 3). 实验结论实验结论:（把把周向线周向线看成看成横截面）横截面） F N F F N F 2. 由由平面假设平面假设推论推论 ： 拉杆拉杆所有所有纵向纤维纵向纤维的的伸长相等。伸长相等。 由由材料材料的的均匀性均匀性 各各纵向纤维纵向纤维的的性质性质相同相同 各各纵向纤维纵向纤维受力受力相同相同 横截面横截面上上内力内力 是是均匀分布

10、均匀分布的的 FN= A dAAF N （2-1） A FN 20 对于对于等直杆等直杆, 当当杆杆内内轴力轴力有有变化变化时，时， 最大轴力最大轴力所对应的所对应的截面截面 危险截面。危险截面。 危险截面危险截面上的上的正应力正应力 最大工作应力，最大工作应力， 其其计算公式计算公式应为：应为： A F Nmax max A 横截面横截面面积面积 横截面横截面上的上的应力应力 拓展拓展 应力应力正负号正负号规定规定 规定规定拉应力拉应力为为正正, 压应力压应力为为负负（同（同轴力相同轴力相同） 。 A FN 21 2. 公式公式 ( 2-1 ) 的的应用范围：应用范围： 1). 外力外力的的

11、合力合力作用线作用线必须与必须与杆件轴线杆件轴线重合重合 。 2). 不适用不适用于于集中力作用点集中力作用点附近的附近的区域区域 。 3). 当当杆件杆件的的横截面横截面沿沿轴线方向轴线方向变化缓慢变化缓慢, 而且而且外力外力 作用线作用线与与杆件轴线杆件轴线重合时重合时, 也可也可近似地近似地应用该应用该公式公式。 如如左图左图 xA xF x N 22 公式公式 ( 2 -1) 的的适用范围适用范围表明：表明： 公式公式不适用于不适用于集中力集中力作用点作用点附近的附近的区域区域。 因为因为作用点作用点附近附近横截面横截面上的上的应力分布应力分布是是非均匀非均匀的。的。 随着随着加载方式

12、加载方式的不同的不同, 这这点附近点附近的的应力分布方式应力分布方式就会就会 发生发生变化变化。 理论理论和和实验实验研究表明：研究表明： 加载方式加载方式不同不同, 只对只对力作用点力作用点附近区域附近区域的的应力分布应力分布 有有显著影响显著影响, 而在距而在距力作用点力作用点稍远处稍远处, 应力应力都趋于都趋于均匀均匀 分布分布, 从而得出如下从而得出如下结论结论, 即即圣维南原理圣维南原理。 3. 圣维南原理圣维南原理 (1) 问题的提出问题的提出 23 作用于作用于弹性体弹性体上某一上某一局部区域局部区域内的内的外力系外力系, 可以用可以用 与它与它静力等效静力等效的的力系力系来来代

13、替代替, 其结果其结果只对只对原力系原力系作用作用 区域附近区域附近有有显著影响显著影响, 但对但对较远处较远处, 其其影响影响即可即可不计不计。 由由圣维南原理圣维南原理可知：可知： 下图下图中的中的 (b)、(c)、(d) 都可以用同一都可以用同一计算简图计算简图 (a) 来来代替代替, 而在离而在离杆端杆端稍远处稍远处应力应力都相同。都相同。 (2). 圣维南原理圣维南原理 (3). 圣维南原理圣维南原理应用应用 （a） (b) (c) (d) 24 已知：已知：一一横截面横截面为为正方形正方形的的砖柱砖柱分为上下分为上下两段两段， 其其受力受力情况情况, 各段长度各段长度如图所示如图所

14、示, 横截面尺寸横截面尺寸为为 A1=240240mm ，A2=370370mm , F=50KN , 试求试求: 荷载荷载引起的引起的最大工作应力最大工作应力。 4 . 例：例： 解：解： 1 . 截面法截面法求求内力内力并并 作作轴力图轴力图, 如如图图所示。所示。 FN1 F FN2=150KN R=150KN 370 240 F A B C F F 3000 4000 2 1 50kN 150kN R=150KN 25 2. 计算应力计算应力 由于此由于此柱柱为为变截面杆变截面杆, 上段上段轴力轴力小小, 截面积截面积也小也小, 下段下段 轴力轴力大大, 截面积截面积也大也大, 故故两

15、段横截面两段横截面上的上的正应力正应力都必须都必须 求出求出, 从而确定从而确定最大最大的的正应力正应力。 6 3 1 1 10240240 1050 1 A FN 26 /1087. 0mN（压应力）（压应力） 6 3 2 2 2 10370370 10150 A FN 26 /101 . 1mN（压应力）（压应力） 由上述由上述结果结果可见可见, 砖柱砖柱的的最大工作应力最大工作应力在在柱柱的的下段下段, 其值为其值为 1.1MPa , 是是压应力压应力。 =0.87MPa =1.1MPa 26 2-3 直杆轴向拉伸或压缩时直杆轴向拉伸或压缩时 斜截面上的应力斜截面上的应力 上节上节中我们

16、分析了中我们分析了拉拉 (压压) 杆杆横截面横截面上的上的正应力正应力, 这是这是 特殊截面特殊截面上的上的应力应力。现在我们来。现在我们来研究研究更更一般一般的情况的情况, 即即 任意方向任意方向截面截面上的上的应力应力, 对不同对不同材料材料的的实验表明实验表明： 拉拉 ( 压压 ) 杆杆的的破坏破坏并不都沿并不都沿横截面横截面发生，发生， 有时却是沿某个有时却是沿某个斜截面斜截面发生的。发生的。 . 斜截面上应力公式推导：斜截面上应力公式推导： 横截面横截面 是指是指垂直杆轴线方向垂直杆轴线方向的的截面截面； 斜截面斜截面 与与杆轴线不相垂直杆轴线不相垂直的的截面截面。 1. 基本概念基

17、本概念 27 coscos 0 A F p 2 coscos p 2sin 2 sin 0 p 1). 全应力：全应力： 2). 正应力：正应力： 3）切应力：）切应力： 2. 公式推导：公式推导： 由由截面法截面法 F F K K F N F p （2-3） （2-4） p 2cos1 2 FP 由由试验试验可知可知平面假设平面假设仍适用仍适用 28 二二. 讨论上述公式讨论上述公式 从从上式上式可知可知 、 均是均是 的的函数函数， 01. 当当 时，时，斜截面斜截面 k - k 成为成为横截面横截面。 达达最大值，最大值， max （2-6） 达到达到最大值最大值， 0 452. 当当

18、时，时， 2 max 3. 当当 时，时， 0 90 0 0 表明沿表明沿轴线轴线的的纵向截面纵向截面上上无任何应力无任何应力。 所以所以斜截面斜截面的的方位方位不同不同, 截面上截面上的的应力应力也不同。也不同。 0 min 同时达同时达最小值最小值 2cos1 2 2sin 2 0 29 材料材料的的力学性能力学性能是指：是指： 在在外力外力作用下作用下, 材料材料在在强度强度.变形变形方面所表现出的方面所表现出的性能性能, （或（或材料材料的的承载能力承载能力）。）。 这些这些力学性能力学性能是是材料材料本身本身物质结构物质结构所决定的，所决定的， 是是材料材料的的宏观性质宏观性质, 只

19、能通过只能通过材料力学实验材料力学实验来来测定测定。 2-4.材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 重要内容重要内容 工程工程中中常用常用的的材料材料： 金属材料金属材料: 包括包括低碳钢低碳钢和和铸铁铸铁 非金属材料非金属材料: 包括包括混凝土、木材混凝土、木材及及玻璃钢玻璃钢 一一. 材料的力学性能及实验测定材料的力学性能及实验测定 30 1. 低碳钢低碳钢 (C0.3%) 拉伸实验及力学性能拉伸实验及力学性能 颈缩阶段颈缩阶段 标准试件（标准试件（低碳钢、铸铁低碳钢、铸铁） p比例极限比例极限 e弹性极限弹性极限 s屈服极限屈服极限 b强度极限强度极限 典型典型的的塑

20、性材料塑性材料 工作段长度工作段长度 l do lo=10do 或或 5do O e p s b 线弹性阶段线弹性阶段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 拉伸曲线拉伸曲线 二二. 材料材料拉伸实验拉伸实验 标距标距 lo 31 试验设备：试验设备： 万能试验机万能试验机：用来强迫试样变形并用来强迫试样变形并 测定试样抗力的机器。测定试样抗力的机器。 变形仪变形仪：用来将试样的微小变形放大到用来将试样的微小变形放大到 试验所需精度范围内的仪器。试验所需精度范围内的仪器。 32 1. 延伸率延伸率 %100 0 01 l ll 2. 断面收缩率断面收缩率 %100 0 10 A AA 5%塑性材

21、料塑性材料 5%脆性材料脆性材料 塑性指标塑性指标 l1 试件试件拉断后拉断后的的标距长度标距长度 A1试件试件拉断后拉断后断口处断口处的的 最小最小横截面面积横截面面积 l0 试件试件标距长度标距长度 33 冷作硬化现象冷作硬化现象 构件处于构件处于强化阶段强化阶段实施实施卸载卸载。如。如卸载后卸载后重新加载重新加载， 曲线曲线将沿将沿卸载曲线卸载曲线上升。上升。 如对如对试件试件预先加载预先加载, 使其达到使其达到强化阶段强化阶段, 然后然后卸载卸载, 当当再加载再加载时时, 试件试件的的线弹性阶段线弹性阶段将将增加增加, 同时其同时其塑性降低塑性降低。 称为称为冷作硬化现象冷作硬化现象

22、冷作硬化冷作硬化 O e ps b线线 弹弹 性性 阶阶 段段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 颈缩阶段颈缩阶段 34 1 2 3 4 102030 e e(%) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 (MPa) 1. 锰钢锰钢 2. 硬铝硬铝 3. 退火球墨铸铁退火球墨铸铁 4. 低碳钢低碳钢 材料性质：材料性质： 较大较大, , 属属塑性材料。塑性材料。 2. 其它金属材料拉伸时的力学性能其它金属材料拉伸时的力学性能 35 O e e A 0.2% S 0.2 0.2 上述这些上述这些金属材料金属材料无明显无明显屈服阶段屈服阶段， 规定：规定：以以

23、塑性应变塑性应变 e es=0.2% 所所对应对应的的应力应力作为作为 名义屈服极限名义屈服极限, 记作记作 0.2 36 3. 测定灰铸铁拉伸机械性能测定灰铸铁拉伸机械性能 s b 0 A Pb b 强度极限强度极限： O P D L Pb 1). sb 拉伸强度极限拉伸强度极限 ( 脆性材料脆性材料唯一唯一拉伸力学性能指标拉伸力学性能指标 ) 2). 拉伸曲线拉伸曲线中中应力应变应力应变不成不成正比例正比例, 且无且无屈服屈服, 颈缩颈缩现象现象, 总变形量总变形量很小且很小且 sb 很低很低。 典型的典型的脆性材料脆性材料 37 二二 . 金属材料压缩时的力学性能金属材料压缩时的力学性能

24、 比例极限比例极限 spy , 屈服极限屈服极限 ssy ， 弹性模量弹性模量 Ey 基本与基本与拉伸拉伸时相同时相同。 1. 低碳钢压缩实验：低碳钢压缩实验： e s(MPa) 200 400 0.10.2O 低碳钢压缩应力低碳钢压缩应力 应变曲线应变曲线 低碳钢拉伸低碳钢拉伸 应力应变曲线应力应变曲线 38 s e O sbL 灰铸铁的灰铸铁的 拉伸曲线拉伸曲线 sby 灰铸铁的灰铸铁的 压缩曲线压缩曲线 sbysbL, 铸铁抗压性能铸铁抗压性能远远大于远远大于抗拉性能，抗拉性能， 断裂面断裂面为与为与轴向轴向大致成大致成 45o55o 的的滑移面滑移面破坏。破坏。 2. 铸铁压缩实验：铸

25、铁压缩实验： 39 塑性材料塑性材料 断裂断裂前前变形大变形大，塑性指标塑性指标高，高，抗拉能力抗拉能力强。强。 常用指标常用指标屈服极限屈服极限，一般，一般拉拉和和压压时的时的 S S 相同。相同。 脆性材料脆性材料 断裂断裂前前变形小变形小，塑性指标塑性指标低。低。 常用指标常用指标是是 b、 、 bc 且 且 b bc 。 三三. 塑性和脆性材料变形和破坏特点塑性和脆性材料变形和破坏特点 40 四四. 非金属材料的力学性能非金属材料的力学性能 1. 混凝土混凝土 近似近似均质均质 , 各向同性材料各向同性材料 , 属属脆性材料脆性材料。 工程工程中一般用于中一般用于受压构件受压构件的的制

26、作制作。 2. 木材木材 各向异性材料各向异性材料。 3. 玻璃钢：玻璃钢： 玻璃纤维玻璃纤维与与热固性树脂热固性树脂粘合粘合而成的而成的复合材料复合材料。 也是也是各向异性材料各向异性材料, 其其优点优点是：是： 重量轻重量轻, 强度高强度高, 工艺简单工艺简单, 耐腐蚀耐腐蚀。 41 思考题思考题 2 . 低碳钢低碳钢的同一的同一圆截面试样圆截面试样上上, 若同时画有若同时画有两种标距两种标距, 试问试问所得所得伸长率伸长率 d10 和和 d5 哪一个大？哪一个大？ 1 . 强度极限强度极限 sb 是否是是否是材料材料在在拉伸过程拉伸过程中所承受的中所承受的 最大应力？最大应力？ 42 2

27、-5 许用应力许用应力 安全系数安全系数 拉压强度拉压强度 O e p s b 线弹性阶线弹性阶 段段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 颈缩阶段颈缩阶段 b强度极限强度极限 1. 塑性材料塑性材料屈服极限屈服极限 作为作为塑性材料塑性材料的的极限应力极限应力。 s 2. 脆性材料脆性材料强度极限强度极限 作为作为脆性材料脆性材料的的极限应力极限应力。 b 一一. 极限应力极限应力 构件构件在在外力外力作用下作用下, 当当内力内力达到一定达到一定数值数值时时, 材料材料就就 会会发生破坏发生破坏, 这时这时, 材料内材料内破坏点处破坏点处对应的对应的应力应力就称为就称为 危险应力危险应力或或

28、极限应力极限应力。 二二. 强度条件：强度条件： 1. 塑性材料塑性材料的的构件构件在在荷载荷载作用下作用下 正常正常工作条件工作条件是：是： s s s n 最大工作应力最大工作应力 43 上式上式中，令中，令 s s n 则：则： 许用应力许用应力 其中其中 2. 脆性材料脆性材料的的构件构件在在荷载荷载作用下作用下正常工作条件正常工作条件是：是： b b n 由此由此, 我们得我们得材料材料的的强度条件强度条件为：为： （2-12） 式中式中 nb ns 大于大于, 2.5 3.0， 甚至甚至 4 14. 式中式中： 大于大于 1 的的系数系数, 称为称为安全系数安全系数, 1.25 2

29、.5 。 s n 44 确定确定安全系数安全系数要兼顾要兼顾经济与安全经济与安全, 考虑以下几考虑以下几方面方面： （1）考虑强度储备。）考虑强度储备。 （2）荷载的变异；）荷载的变异； （3）构件横截面尺寸的变异；）构件横截面尺寸的变异； （4）计算简图计算简图与与实际结构实际结构的的差异差异； （5）极限应力极限应力的的差异差异； 安全系数安全系数反映了反映了标准强度标准强度与与许用应力许用应力的的比值比值, 是是构件构件 工作工作的的安全储备。安全储备。 3. 安全系数安全系数的的选择：选择： 45 三三. 强度计算强度计算 对于对于轴向拉压轴向拉压构件构件, 因因 ， 于是根据于是根据

30、强度条件强度条件, 我们可以解决我们可以解决三类问题三类问题： AF N / max max A FN 2. 设计截面设计截面 ( 构件构件安全工作安全工作时的时的合理截面的合理截面的形状形状和和大小大小 ) 已知已知: 载荷载荷, 材料材料, 杆件截面杆件截面 求求: 校核强度校核强度 max N F A 3. 许可载荷的确定许可载荷的确定 ( 构件构件最大承载能力最大承载能力的的确定确定 ) max AFN 1. 强度校核强度校核 ( 判断判断构件构件是否是否破坏破坏 ) 已知已知: 载荷载荷, 材料材料， 求求: 选择截面尺寸选择截面尺寸 已知已知: 材料材料, 杆件截面杆件截面 求求:

31、 确定许可载荷确定许可载荷 46 例例1 已知已知: 图示图示空心圆截面杆空心圆截面杆, 外径外径 D18mm , 内径内径 d15mm , 承受承受轴向荷载轴向荷载 F22kN 作用，作用， 材料材料的的屈服应力屈服应力s235MPa , 安全因数安全因数 n=1.5。 求求: 试试校核杆校核杆的的强度强度。 解解: 杆件横截面杆件横截面上的上的正应力正应力为为: MPa283Pa10283 0.015mm180.0 N10224 6 22 3 F F D d 1. 强度校核强度校核: 22 4 dD F 材料材料的的 许用应力许用应力为为: 显然显然, 工作应力工作应力大于大于许用应力许用

32、应力, 说明说明杆件杆件不能够不能够安全工作安全工作。 156MPaPa10156 1.5 Pa10235 6 6 s s n MPa283Pa10283 0.015mm180.0 N10224 6 22 3 156MPaPa10156 1.5 Pa10235 6 6 47 2. 截面设计截面设计 例例2 如图如图所示所示, 钢木组合桁架钢木组合桁架的的尺寸尺寸及及计算简图计算简图如如图图 a 所示。所示。已知已知: P=16KN , 钢钢的的许用应力许用应力 =120MPa , 试求试求: 选择选择钢拉杆钢拉杆 DI 的的直径直径 d 。 解解: 1). 求求拉杆拉杆 DI 的的轴力轴力 F

33、N ： 用一用一假想载面假想载面 m-m 截取截取桁架桁架的的 ACI 部分（图部分（图b），）， 并研究其并研究其平衡平衡： N R m m N F N F N F 48 24 6 10667. 0 )(10120 )(10008 m P N a A F F A 从而：从而： mmm A d2 . 91092. 0/ 10667. 0 4 4 24 取：取：d=9.2mm 考虑到考虑到实际工程实际工程中，用于中，用于圆拉杆圆拉杆的的圆钢圆钢的的最小直径最小直径 为为 10mm , 故可选用故可选用 d=10mm KN P F N 8 2 0 A M03F6 N P N R N F N F N

34、 F mmm A d2 . 91092. 0/10667. 04 4 24 49 3. 许可载荷的确定许可载荷的确定 例例3. 图示结构图示结构中中 杆杆是是直径直径为为 32mm 的的圆杆圆杆， 杆杆为为 2No.5 槽钢槽钢。材料材料均为均为 Q235 钢钢, E=210GPa 。 求求: 该该托架托架的的许用荷载许用荷载 F 。 1.8m 2.4m C A B F 解：解：1. 取取 B 为为研究对象研究对象， 并作并作受力图受力图如图所示。如图所示。 F 1N F 2N F B FF FF N N 33. 1 67. 1 2 1 2. 计算计算各杆轴力各杆轴力 0sin 0cos 1

35、21 FF FF N NN 00 YX FF 50 kN9 .57 67.1 1 11 AF kN9.57 1 F AB 杆杆： 4. 确定许用荷载确定许用荷载 3. 强度校核强度校核 kN125 33.1 1 22 AFBC 杆杆： FN11.67FA1 FN21.33F2 min 21 FFF， 51 2-6 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形 一一. 等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形 直杆直杆在在外力外力 F 作用后的作用后的变形情况变形情况如如图中图中所示：所示： 1. 轴向变形轴向变形lll 1 轴线方向轴线方向线应变线应变： l l e横截面横

36、截面上上应力应力： A FN 52 2. 胡克定律：胡克定律： e E （2-13） 公式公式 (2 -13 ) 为用为用应力应变应力应变表示的表示的(单向拉压单向拉压) 胡克定律胡克定律 当当应力应力不超过不超过比例极限比例极限时时, 杆件杆件的的伸长伸长 l 与与外力外力 F 和和杆件杆件的的原长度原长度成正比成正比, 与与横截面面积横截面面积 A 成成反比反比。 式中式中: E 材料材料的的弹性模量弹性模量, 反映反映材料材料抵抗变形抵抗变形的的能力。能力。 为为材料材料本身的本身的性质性质, 由由实验实验测定测定 。 EA 杆件杆件的的抗拉抗拉 ( 压压 ) 刚度刚度, EA 越大越大

37、, l 越小。越小。 A lF l N AE lF l N 或或 A F E l N 1 E e E e 53 2. 横向变形：横向变形： 从从图图中可看出，中可看出，横向应变横向应变为：为： c cc c c a aa a a b bb b b e 实验表明：实验表明：当当应力应力不超过不超过比例极限比例极限时，时， 横向应变横向应变 e e与与轴向应变轴向应变 e e 之比的之比的绝对值绝对值为一为一常数常数, 即：即： e e 称为称为横向变形系数横向变形系数或或泊松比泊松比， 是是无量纲无量纲的的量量。 a a b b c c c cc c c a aa a a b bb b b e

38、c cc c c a aa a a b bb b b e 54 2). 因因 e e 和和 e e 的的符号符号总是总是相反相反的的, 故故可知可知: ee 几种几种常用材料常用材料的的 值值请见请见 表表 2-2 , 书书 P43 3. 讨论讨论 1). 在公式在公式 EA lF l N 中，中， FN 和和 A 是所是所计算杆件计算杆件或或杆中某一段杆中某一段的的内力内力和和面积面积， 且都是且都是常量常量, 即上式适用于即上式适用于等截面等截面, 常内力常内力的情况。的情况。 55 LS x dd LS xLS d d dd Ld S d d LS S 1 1 1 21 2 1 2 图所

39、示图所示, 截面尺寸截面尺寸沿沿轴线轴线变化变化缓慢缓慢, 且且外力作用线外力作用线与与 轴线轴线重合重合, 我们在我们在杆件杆件中取出中取出 dx 微段微段, 由于由于 dx 非常非常 微小微小, 故在故在 dx 内内, FN (x ) 和和 A(x) 可看成可看成常量常量。 则则 dx 一段一段杆杆的的变形变形为：为： ExA dxxF ld N 二二. 变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形 l N ExA dxxF l（2-16） 整个杆件整个杆件的的变形变形 由由几何关系几何关系找出找出 FN 和和 A 随随 x 变化的变化的规律规律: 56 三三. 等直杆

40、在自重作用下的变形等直杆在自重作用下的变形 如如图图, 等直杆等直杆, 外力外力为为 F , 自重集度自重集度为为 q , 长度长度为为 L , 容重容重为为 , 弹性模量弹性模量为为 E , 容许应力容许应力为为 。 求：求：伸长伸长 l 。 l F )()(xdFxF NN )(xFN dxAx F Ax x AxFxFN)( 解解: 由由截面法截面法可知可知, 截面上截面上的的 内力内力随随 x 而而变化变化。是。是变内力变内力 的问题。仍须取的问题。仍须取微段杆微段杆计算。计算。 （ 略去略去 dFN 的的影响影响） EA dxxF d N EA L W F dxx A F E l l

41、 2 2EEA F1 2 0 dxx A F E 1 对对上式上式两边按两边按件长度件长度进行进行积分积分 EA L W F dxx A F E l l 2 2EA A EA F 2EEA F1 2 0 EA W F dxx A F E l l 2 2EEA F1 2 0 57 叠加原理叠加原理 几个几个(组组)外力外力共同作用下共同作用下在在弹性体中弹性体中所引起的所引起的效应效应, 等于等于每组外力每组外力分别单独作用下分别单独作用下引起的引起的效应效应的的代数和代数和 或或几何合几何合。 叠加原理叠加原理应用的条件应用的条件： 小变形小变形, 线弹性线弹性, 载荷载荷与所引起的与所引起的

42、效应效应成成线性关系线性关系。 AxFxFN)( x A F A xF x EA L W F l 2 由上面的由上面的计算结果计算结果 可以可以看出看出： 其中其中每一项每一项都可以看成都可以看成 F 和和自重自重分别单独分别单独作用下作用下 引起的引起的结果之和结果之和。 58 解解: (1). 对对 B 点点作作受力分析受力分析, 如如图图 (b)。 由由 故故 (2). 根据根据静力学平衡方程静力学平衡方程求求未知应力未知应力。 例例: 图示图示为一为一简单托架简单托架, BC 杆杆为为圆钢圆钢, 横截面直径横截面直径 d=20mm , BD 杆杆为为 8号号 槽钢槽钢。若；。若； 22

43、 /200,/160mGNEmMN 试求试求: 校核校核托架托架的的强度强度, 并并求求 B 点点的的位移。设位移。设 F=60KN )(7560 55 )(4560 4 3 4 35 5 3 KNFF KNFFF BDN BCN 0 0 y x F F BDNBDNBCN FFF 5 3 sin FFF BDN 5 cos/ BCN F BDN F F (b) F BD cosF N 4m 3m D C B F B3 B1 B2 (a) 22 /200,/160mGNEmMN 59 B2 B1 B B3 B4 (c) 4m 3m D CB F B3 B1 B2 (a) /2 . 73 101

44、024 1075 2 6 3 2 mMN A F BDN BD /143 1020 4 1045 4 2 2 3 3 2 mMN d F BCN BC 由由书书后的后的型刚表型刚表可查到可查到 8号号型钢型钢的的面积面积为为 2 1024 mm 3). 求求 B 点点的的位移位移 B2 B1 B B3 B4 (c) LCB LDB B /143 1020 4 1045 4 2 2 3 3 2 mMN d F BCN BC /2 .73 101024 1075 2 6 3 2 mMN A F BDN BD 60 由由胡克定律胡克定律求求 BC、BD 杆杆的的变形变形： m EA LF BC 3

45、69 3 1015. 2 1031410200 31045 4 3 EA LF L BDBDN BD m EA LF BD 3 69 3 1083. 1 10102410200 51075 4 5 EA LF L BCBCN BC 再由再由几何关系几何关系即可求得即可求得 B 点点的的水平水平和和垂直位移垂直位移及及总位移总位移 2 2 VH CB DB V CBH BBB tgL con L B LB B2 B1 B B3 B4 (c) LCB LDB 61 2-7直杆轴向拉伸或压缩时的变形能直杆轴向拉伸或压缩时的变形能 一一. 基本概念基本概念 弹性体弹性体在在外力外力作用下会产生作用下会

46、产生变形变形。在。在变形过程变形过程中中, 外力所作的功外力所作的功将转变为将转变为储存于弹性体内的能量储存于弹性体内的能量。 当当外力外力逐渐逐渐减小减小, 变形变形逐渐逐渐消失消失时时, 弹性体弹性体又是将又是将 释放能量释放能量而而作功作功。这种。这种能量能量, 因为是在因为是在弹性体变形弹性体变形 过程中过程中产生的产生的, 因此我们就称其为因此我们就称其为 变形能变形能 。 1. 定义定义 在在外力作用外力作用下下, 弹性体弹性体因因变形变形而而储存储存于于体内体内的的能量能量, 称为称为 变形能变形能 或或 应变能应变能 。 62 11 LkF LkF tgk 则：则： 设设直线直

47、线的的斜率斜率为为 k 2. 变形能的计算变形能的计算 图示图示杆件杆件的的上端上端固定固定, 下端下端作用一作用一外力外力 F , F 由由零零逐渐增加到逐渐增加到 F 。在。在比例极限比例极限的的范围范围之内之内, 关系关系如图如图。 LF F F F 1 F F F F 1 F F 63 当当外力外力加到加到 F1 时时, 杆件杆件的的伸长量伸长量用用 L1 表示。表示。 当当外力外力加到加到 F+ F1 时时, 杆件杆件的的伸长量伸长量为为 L1+d( L1) 。 由于由于 F1 为为无穷小量无穷小量, 在在区间区间 ( a , b ) 内可近似地认为内可近似地认为 F1 为为常量常量

48、, 则在这个则在这个区间区间内内外力外力作的作的功功为：为： 11 LdFdW 22 2 LF l k 11 LdLk 11 LdFW 则则拉力拉力 F 所作的所作的总功总功 W 即：即： LFW 2 1 F F 1 F F F F 1 F F 64 由胡克定律由胡克定律： EA FL L 可知：可知： EA LF U 2 2 （2-18） 由于由于整个杆件整个杆件内各内各点点的的受力受力是均匀的是均匀的, 故每故每单位体积单位体积内内 储存储存的的变形能变形能都相同都相同, 即即比能比能相等相等, 通常通常比能比能用用 u 表示。表示。 AL LF V U u 2 比能比能 由由 eE有有

49、2 2 1 eEu （线弹性范围内线弹性范围内） 单位：单位：比能比能的的单位单位为为： e 2 1 在在加载过程加载过程中中, 外力外力在在相应变形相应变形上所上所作的功作的功 在在数值上数值上等于等于杆件杆件所所储存储存的的变形能变形能。 （ 缓慢加载缓慢加载, 忽略其它忽略其它能量损耗能量损耗。）。） 杆件杆件的的变形能变形能用用 U 表示表示, 则：则： LFWU 2 1 （2-17） 3 /mJ 功能原理功能原理： 65 J67.64mmN1067.64 )mm25( 4 )MPa10210( )mm102() 30cos2 N1010 ( ) cos2 ( 2 2 3 23 32

50、3 2 2 1 EA l F EA lF U N 解：解： 例：例： 已知已知: F =10 kN , 杆长杆长 l =2m , 杆径杆径 d =25mm , =30, 材料材料的的弹性模量弹性模量 E =210GPa 。 求：求：图示图示杆系杆系的的应变能应变能， 并按并按弹性体弹性体的的功能原理功能原理求求结点结点 A 的的位移位移 A 。 cos2 21 F FF NN F A BC a a 12 J67.64mmN1067.64 )mm25( 4 )MPa10210( )mm102() 30cos2 N1010 ( ) cos2 ( 2 2 3 23 32 3 2 2 1 EA l F

51、 EA lF U N J67.64mmN1067.64 )mm25( 4 )MPa10210( )mm102() 30cos2 N1010 ( ) cos2 ( 2 2 3 23 32 3 2 2 1 EA l F EA lF U N 66 ) (mm293. 1 N10100 mmN1067. 6422 3 3 F U A UFA 2 1 J67.64mmN1067.64 3 U 而而 F A BC 12 A )(mm293.1 N10100 mmN1067.6422 3 3 F U A )(mm293.1 N10100 mmN1067.6422 3 3 F U A 67 思考题思考题 1.

52、1.应变能应变能的的计算计算不能使用不能使用力力的的叠加原理。叠加原理。 想一想想一想原因原因是什么？是什么？ 2.2.如果如果杆件杆件因为因为荷载荷载或或截面尺寸截面尺寸连续改变等连续改变等原因原因 而发生不均匀而发生不均匀轴向变形轴向变形, ,比如比如等直杆等直杆受受自重荷载自重荷载 作用时作用时, ,如何计算如何计算杆件杆件的的应变能？应变能？ 68 2-8 应力集中的概念应力集中的概念 应力集中现象应力集中现象: 由于由于构件截面构件截面突然变化突然变化而引起的而引起的 局部应力局部应力 发生发生骤然改变骤然改变的的现象现象。 F F d b max F F F max 69 静载静载

53、下下, 塑性材料塑性材料可不考虑，可不考虑，脆性材料脆性材料 （ 除特殊的除特殊的, 如如铸铁铸铁 ）应考虑。应考虑。 动载动载下下, 塑性塑性和和脆性材料脆性材料均需考虑均需考虑。 应力集中程度应力集中程度与与外形外形的的突变程度突变程度直接相关直接相关 突变突变越越剧烈剧烈, 应力集中程度越剧烈应力集中程度越剧烈。 理想应力集中系数理想应力集中系数: nom max k 其中：其中： 最大局部应力最大局部应力 名义应力（平均应力）名义应力（平均应力） nom max 70 一一. 静定与静不定的概念：静定与静不定的概念： 1. 静定问题静定问题 仅利用仅利用静力学平衡方程静力学平衡方程就可

54、求解出就可求解出全部未知力全部未知力的的问题问题 称为称为静定问题静定问题。相应的结构称。相应的结构称静定结构静定结构。 2. 静不定问题静不定问题 仅利用仅利用静力学平衡方程静力学平衡方程无法确定无法确定全部未知力全部未知力的的问题问题 称为称为静不定问题静不定问题或或超静定问题。超静定问题。相应的相应的结构结构称称静不定静不定 结构结构或或超静定结构超静定结构。 2-9 拉（压）静不定问题拉（压）静不定问题 特点特点: 未知力未知力的的个数个数等于等于独立独立的的平衡方程数目。平衡方程数目。 特点特点：未知力未知力的的个数个数多于多于独立独立的的平衡方程平衡方程数目数目。 71 二二. 实

55、例实例 如图如图所示所示: 当把当把螺母螺母旋进旋进 圈圈以后以后, 螺栓螺栓必然受到必然受到 拉力拉力, 而而 FN1 而使而使筒筒受到受到压力压力 FN2 , 求求 FN1 , FN2 。 由于在这里求解由于在这里求解 FN1 , FN2 的的静力平衡方程静力平衡方程只有一个：只有一个： 2121 0 NNNN FFFF 故不能求解出故不能求解出 FN1 和和 FN2 , 因此该因此该问题问题属属静不定问题。静不定问题。 1N F 2N F 72 三三. 静不定次数：静不定次数： 静不定次数静不定次数 = 未知力数目未知力数目 - 独立平衡方程独立平衡方程的的数目。数目。 四四. 求解步骤

56、：求解步骤： 1. 通过分析通过分析多余未知力多余未知力的的数目数目和和独立平衡方程独立平衡方程的的数目数目, 判明是否属判明是否属静不定问题静不定问题, 若是若是静不定问题静不定问题, 属属几次几次 静不定问题静不定问题。 2. 建立建立静力学平衡方程静力学平衡方程。 3. 根据根据构件构件之间的之间的变形关系变形关系, 找出找出几何方程几何方程。 4. 根据根据胡克定律胡克定律建立建立物理方程。物理方程。 5. 根据根据静力平衡方程、几何方程、物理方程静力平衡方程、几何方程、物理方程求解出求解出 全部全部未知力未知力。 73 五五. 静不定问题的解法举例：静不定问题的解法举例： 1. 建立

57、建立静力学平衡方程静力学平衡方程0PRR BA 2. 寻找寻找几何方程几何方程 0 BCAC 3. 建立建立物理方程物理方程 (1) 1 2 F 11A E 22A E B B R A R A C (3) (2) 1 2 F A B 11A E 22A E C 1 2 F C 11A E 22A E BB R A 22 2 22 22 AE R AE F BN BC 11 1 11 11 AE R AE F AN AC RB B RF RBF 11 1 AE F F 22 2 11 1 R B AE R AE R B B 物理方程物理方程代入代入几何方程几何方程 74 0 22 2 11 1

58、AE R AE R BA (4) 5. 联立联立方程方程（1）（4）, 即可求解即可求解未知力未知力 122211 122 2 122211 211 1 AEAE APE R AEAE APE R 4. 几何方程几何方程 代入代入 物理方程物理方程 得到得到补充方程补充方程 由由上式上式可看出可看出: 静不定问题静不定问题的的内力内力与与杆件各段杆件各段的的刚度刚度 有关有关, 刚度大刚度大则则内力大内力大。 这种求解这种求解静不定问题静不定问题的的方法方法称为称为“几何几何-物理物理-力学力学”方方 法法 75 变性比较法：变性比较法： 解除解除多余约束多余约束, 代以代以多约束反力多约束反

59、力, 比较比较多余约束处多余约束处的的 变形条件变形条件, 从而得到从而得到变性几何关系变性几何关系的的方法方法。 A B l1 l2 F 11A E 22A E B l l l F1 F2 EA F B R EA F EA F F 2 21 EA R B R 3 B 11 1 AE F F F B R RB RB 22 2 11 1 RB AE F AE F BB RBF , F RB 分为分为外力外力和和 RB 单独作用单独作用下在下在 B 端端引起的引起的位移。位移。 76 1. 如如图图所示所示结构结构中中, 1 , 2 杆杆的的抗拉刚度抗拉刚度为为 E1A1 , 3 杆杆的的 抗拉刚

60、度抗拉刚度为为 E1A1 。求：求：各各杆杆的的内力。内力。 解：解：1）取取 A 结点结点研究研究, 作作受力图受力图。 （1） 由于由于未知力未知力个数个数是是 3个个 ( FN1， ， FN1，和 和 FN3 ) 而而平衡方程数平衡方程数只有只有 1个个， 故为故为一次一次静不定问题静不定问题。 三三. 例题例题 A 12 3 F L F 1N F 2N F 3N F 2）建立建立静力学平衡方程静力学平衡方程。 0 y F （2） 由由对称性对称性可知：可知： FN1=FN2 FFF NN 31 cos2 0 x F或或（ ） 77 3) 几何方程几何方程 由由结构、材料、荷载结构、材料