第四节高斯(Gauss)求积公式

1、数值分析数值分析 前面介绍的前面介绍的 n+1个节点的个节点的 Newton -Cotes求积公式，求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。的精度。 n是偶数时，代数精度为是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时，是奇数时， 代数精度为代数精度为n 。 我们知道我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于确度不低于n 。设想：设想：能不能在区间能不能在区间a,b上适当选择上适当选择 n

2、+1个节点个节点 x 0 x1,x2,xn ,使插值求积公式使插值求积公式的代数精的代数精 度高于度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。 第四节第四节 高斯高斯(Gauss)(Gauss)求积公式求积公式 数值分析数值分析 数值分析数值分析 0 ()( ) ( )() n b kk a k I fx f x dxA f x 考虑更一般形式的数值积分问题考虑更一般形式的数值积分问题 定义：定义：若求积公式若求积公式 对一切对一切 不高于不高于

3、m次的多项式次的多项式p(x)都等号成立，即都等号成立，即R(p)=0;=0;而对而对 于某个于某个m+1+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的次多项式等号不成立，则称此求积公式的 代数精度为代数精度为m. . 0 ( ) ( )() n b kk a k x f x dxA f x 一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法 数值分析数值分析 数值分析数值分析 定理定理1：设节点设节点x0, x1,xna,b，则求积公式，则求积公式 的的代数精度最高为代数精度最高为2n+1次。次。 0 ( )( )() n b kk a k x f x dxA f x 分

4、别取分别取 f(x)=1, x，x2，.xr 代入公式，并让其成为代入公式，并让其成为 等式，得：等式，得： A0 + A1 + + An =ab1dx.= b-a x0 A0 + x1 A1+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2 . x0 rA0 + x1 rA1+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1) (r+1) ( )1,x 取取特特殊殊情情形形证证明明： 数值分析数值分析 数值分析数值分析 事实上事实上,取取 2n+2次多项式次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x- xn)2 代入求积公式代入求积公式,这里这里 x0, x1,x

5、n是节点，是节点，有有 0 ( ) ( )0()0 n b kk a k x g x dxA g x 左左，右右 左左 右右,故等式不成立故等式不成立,求积公式求积公式的的代数精度最高为代数精度最高为 2n+1次。次。 证毕证毕. 上式共有上式共有 r +1个个 等式，等式，2n+2个待定系数个待定系数(变元变元),要想如要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是下面证明代数精度只能是2n+1. 数值分析数值

6、分析 数值分析数值分析 定义定义: 使求积公式使求积公式 达到最高代数精度达到最高代数精度2n+1的求积公式称为的求积公式称为Guass求积公式。求积公式。 Guass求积公式的节点求积公式的节点xk称为称为Guass点点,系数系数Ak称为称为 Guass系数系数. 0 ( )( )() n b kk a k x f x dxA f x 因为因为Guass求积公式也是插值型求积公式求积公式也是插值型求积公式,故有故有 结论结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足：满足： n d 2n+1。 数值分析数值分析 数值分析数值分析 1 1122 1 (

7、 )()()(1)f x dxc f xc f x 例：例：选择系数与节点，使求积公式（选择系数与节点，使求积公式（1） 成为成为Gauss公式。公式。 解：解：n=1, 由定义，若求积公式具有由定义，若求积公式具有3次代数精度，则次代数精度，则 其是其是Gauss公式。公式。 为此，分别取为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让代入公式，并让 其成为等式，得其成为等式，得 c1 + c2=2 c1 x1+ c2 x2=0 c1 x12+ c2 x22 =2/3 c1 x13+ c2 x23 =0 求解得：求解得： 12 12 1, 33 , 33 cc xx 1 1 33

8、 ( )()() 33 f x dxff 所求所求Gauss公式为：公式为： (1) 用待定系数法构造高斯求积公式用待定系数法构造高斯求积公式 数值分析数值分析 数值分析数值分析 设设Pn(x)，n=0,1,2,为正交多项式序列，为正交多项式序列， Pn(x) 具有如下性质：具有如下性质： 1）对每一个）对每一个n ,Pn(x)是是 n 次多项式。次多项式。 n=0,1, 2） ( )( )( )0,() b ij a x P x Px dxij (正交性正交性) ( )( )( )0,1 b n a x P x Px dxn 3）对任意一个次数）对任意一个次数n-1的多项式的多项式P(x)，

9、有，有 4）Pn(x)在在(a,b)内有内有n个互异零点。个互异零点。 （2）利用正交多项式构造高斯求积公式）利用正交多项式构造高斯求积公式 数值分析数值分析 数值分析数值分析 定理定理2 设设x0,x1, ,xn 是是n+1次正交多项式次正交多项式Pn+1(x)的的n+1 个零点个零点,则插值型求积公式则插值型求积公式 是是Guass型型求积公式。求积公式。 证明：证明：只要证明只要证明求积公式的代数精确度为求积公式的代数精确度为2n+1,即即对对 任意一个次数任意一个次数2n+1的多项式的多项式求积公式求积公式都精确成立。都精确成立。 00 ( ) ( )(),( ) nn bb i kk

10、k aa ki ki i k xx x f x dxA f xAxdx xx 设设 f(x)为任意一个次数为任意一个次数2n+1的多项式，则有的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足，满足 f(xk)=r(xk) 这里，这里， Pn+1(x)是是 n+1次次正交多项式，正交多项式， q(x)、r(x)均是均是 次数次数n的多项式。的多项式。 1 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) bbb n aaa x f x dxx q x Px dxx r x dx 数值分析数值分析 数值分析数值分析 由性质由性质3）及）及(4)式，有式，有 1 1 ( ) ( )(

11、 ) ( )( )( ) ( ) 0( ) ( )() bbb n aaa n b kk a k x f x dxx q x Px dxx r x dx x r x dxA f x 由于由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低个节点的插值型求积公式的代数精确度不低 于于n，故有，故有 00 ( ) ( )()()(4) nn b kkkk a kk x r x dxA r xA f x 即即对对 f(x)为任意一个次数为任意一个次数2n+1的多项式的多项式求积公式求积公式都都 精确成立精确成立。 证毕证毕 数值分析数值分析 数值分析数值分析 利用正交多项式构造高斯求积公式利用正交多项式

12、构造高斯求积公式的基本步骤：的基本步骤： 高高斯斯点点）， 作作为为积积分分点点次次正正交交多多项项式式的的零零点点以以 ( ,1. 1 10n xxxn n i ii n xfxlxf Lagrangexfxxx 0 10 )()()( )(,.2插插值值多多项项式式作作对对用用高高斯斯点点 代入积分式代入积分式 )()()( ) )()()()()( 0 0 i n i b a i b a n i ii b a xfdxxlx dxxfxlxdxxfx 因此，求积系数为因此，求积系数为 b a ii nidxxlxA), 1 , 0()()( 数值分析数值分析 数值分析数值分析 1 2 1

13、 1( ),.xf x dx 对对于于积积分分 （）试试构构造造两两点点高高斯斯求求积积公公式式例例 2 1 11xx 首首先先在在， 上上构构造造带带权权 （ ）的的解解：正正交交多多项项式式 012 0 110 ( ),( ),( ). ( )1 ( )()( ) xxx x xxxx 0 )1( )1( )(),( )(),( 1 1 2 1 1 2 00 00 1 dxx xdxx xx xxx 5 2 )( 2 2 xx 同同理理求求出出 201 22 (), 55 xxx 的的 零零 点点 为为 数值分析数值分析 数值分析数值分析 201 22 ( ), 55 xxx 以以的的零零

14、点点作作为为高高斯斯点点。 其其成成为为等等式式。依依次次代代入入上上式式两两端端，令令将将 形形如如次次代代数数精精度度，求求积积公公式式应应有有两两点点高高斯斯公公式式 xxf xfAxfAdxxfx n , 1)( )()()()1( 3, 1 1 1 1100 2 ) 5 2 () 5 2 ()1( )1( 10 1 1 2 10 1 1 2 AAxdxx AAdxx 3 4 10 AA联联立立解解出出 ) 5 2 () 5 2 ( 3 4 )()1( 1 1 2 ffdxxfx 为为得得到到两两点点高高斯斯求求积积公公式式 数值分析数值分析 数值分析数值分析 常用的高斯求积公式常用的

15、高斯求积公式 1.Gauss - Legendre 求积公式求积公式 (1) 其中高斯点为其中高斯点为Legendre多项式的零点多项式的零点 1 1 0 ()() n kk k fx dxAfx Guass点点xk, Guass系数系数Ak都有表可以查询都有表可以查询. 数值分析数值分析 数值分析数值分析 数值分析数值分析 数值分析数值分析 1 1 0 ( )() n kk k f x dxA f x 1 1 0,( )2 (0)nf x dxf 1 1 1 ( )( 0.5773502692)(0.5773502692) n f x dxff 1 1 2 ( )0.555555556 (

16、0.7745966692) 0.888888889 (0)0.555555556 (0.7745966692) n f x dxf ff 数值分析数值分析 数值分析数值分析 1 1 : 1.5xdx 运运用用三三点点高高斯斯- -勒勒让让德德求求积积公公式式与与辛辛卜卜生生求求积积 公公式式计计算算积积分分 例例 1 1 1.5 0.555556( 0.7254032.274596)0.888889 1.5 2.39970 : 9 xdx 由由三三点点高高斯斯- -勒勒让让德德求求积积公公式式有有解解 1 1 1 1.5( 0.54 1.52.5)2.395742 3 xdx 由由三三点点辛辛

17、卜卜生生求求积积公公式式有有 1 1 1.52.399529xdx 该该积积分分的的准准确确值值 数值分析数值分析 数值分析数值分析 一般区间的一般区间的Gauss - Legendre Gauss - Legendre 求积公式求积公式 如果积分区间是如果积分区间是a,b，用线性变换，用线性变换 1 1 ( )() 222 b a babaab f x dxftdt 这样就可以用这样就可以用Gauss - LegendreGauss - Legendre求积公式计算一求积公式计算一 般区间的积分般区间的积分. 将积分区间从将积分区间从a,b变成变成-1,1,由定积分的换元积由定积分的换元积

18、分法有分法有 22 baab xt 数值分析数值分析 数值分析数值分析 1 1 ( )( 0.577)(0.577)GaussLegendreF t dtFF 由由两两点点求求积积公公式式 1 0 0101 1 0011 0 ( )1 , ( )()() f x dxnGaussLegendre GaussxxA A f x dxA f xA f x Gauss 对对积积分分， 试试利利用用的的两两点点 求求积积公公式式构构造造型型求求积积公公式式。 例例 即即确确定定和和 使使 为为型型求求积积公公式式。 111 011 1111 ()()(1), 2222 111 ( )(1)( ) 22

19、2 xabba ttdxdt f x dxft dtF t dt 先先作作变变量量代代换换 于于是是 解解： 11 01 111111 ( )( (1)( (1 0.577)( (1 0.577) 222222 f x dxft dtff 得得 数值分析数值分析 数值分析数值分析 1 1 1 0123 0123 1 ( ) ( )( )( )( )( ) F t dtGaussLegendre F t dtA F tA F tA F tA F t 对对积积分分用用四四点点求求积积公公式式 1 0 0123 0123 1 00112233 0 ( )3 , , ( )()()()() f x d

20、xnGaussLegendre Gaussxxxx A A A A f x dxA f xA f xA f xA f x Gauss 对对积积分分， 试试利利用用的的四四点点 求求积积公公式式构构造造型型求求积积公公式式。即即确确定定和和 使使 为为型型求求 例例 积积公公式式。 111 011 1111 ()()(1), 2222 111 ( )(1)( ) 222 xabba ttdxdt f x dxft dtF t dt 先先作作变变量量代代换换 于于是是 解解： 数值分析数值分析 数值分析数值分析 ,(0,1,2,3)i i tAi 可可查查表表得得到到 和和 原原积积分分 11 0

21、1 0123 0123 012 012 3 3 1 ( )( ) 2 1 ( )( )( )( ) 2 1111 ( (1)( (1)( (1) 2222 1 ( (1) 2 11 (1)0,1,2,3 22 i iii f x dxF t dt A F tA F tA F tA F t A ftA ftA ft A ft xtAAi 即有即有 数值分析数值分析 数值分析数值分析 1 0 ( )0.173927 (0.069432) 0.326073 (0.330009) 0.326073 (0.669991) 0.173927 (0.930518) f x dxf f f f 于于是是 01

22、23 0.8611360.3399810.3399810.861136 0.3478550.6521450.6521450.347855 0.0694320.3300090.6699910.930568 0.1739270.3260730.3260730.173927 i i i i i t A x A 列列表表如如下下： 11 (1)0,1,2,3 22 i iii xtAAi 数值分析数值分析 数值分析数值分析 例例 利用高斯求积公式计算利用高斯求积公式计算 解解: 令令x=1/2 (1+t), 则则 用用高斯高斯-Legendre求积公式计算求积公式计算.取取n=4 积分精确值为积分精确

23、值为 I=ln2=0.69314718 由此可见，高斯公式精确度是很高的由此可见，高斯公式精确度是很高的. 1 0 1 dx x 11 01 13 dxdt I xt 0.69314719I 数值分析数值分析 数值分析数值分析 例例:分别用不同方法计算如下积分分别用不同方法计算如下积分,并做比较并做比较 各种做法比较如下：各种做法比较如下： 1、用、用Newton-Cotes公式公式 当当n=1时，即用梯形公式，时，即用梯形公式，I0.9270354 当当n=2时时, 即用即用Simpson公式公式, I 0.9461359 当当n=3时时, I 0.9461090 当当n=4时时, I 0.

24、9460830 当当n=5时时, I 0.9460830 1 0 sinx Idx x I准 准=0.9460831 =0.9460831 数值分析数值分析 数值分析数值分析 1 0 sin (0)2( )(7 )(1) 2 0.94569086 xh dxff hfhf x 2:用复化梯形公式用复化梯形公式 令令h=1/8=0.125 3：用复化辛卜生公式：用复化辛卜生公式 令令h=1/8=0.125 1 0 sin (0) 4( )(7 )2(2 )(6 )(1) 3 0.9460833 x dx x h ff hfhfhfhf I准 准=0.9460831 数值分析数值分析 数值分析数值

25、分析 4、用用Romberg公式公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 I准 准=0.9460831 数值分析数值分析 数值分析数值分析 1 sin(0.77459071) 2 0.5555556 0.77459071 I 5、用、用Gauss公式公式 解：解：令令x=(t+1)/2, 9460411.0 15773503.0 )15773503.0( 2 1 sin 15773503.

26、0 )15773503.0( 2 1 sin I 1 sin 2 0.8888889 01 1 sin(0.77459071) 2 0.55555560.9460831 0.77459071 1 1 sin(1)/ 2 1 t Idt t I准 准=0.9460831 （2）用）用3个节点的个节点的Gauss公式公式 （1）用）用2个节点的个节点的Gauss公式公式 数值分析数值分析 数值分析数值分析 算法比较算法比较 n此例题的精确值为此例题的精确值为0.9460831. n由例题的各种算法可知：由例题的各种算法可知： n对对Newton-cotes公式，当公式，当n=1时只有时只有1位有效

27、位有效 数字，当数字，当n=2时有时有3位有效数字，当位有效数字，当n=5时有时有7 位有效数字。位有效数字。 n对复化梯形公式有对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜位有效数字，对复化辛卜 生公式有生公式有6位有效数字。位有效数字。 n用复合梯形公式，对积分区间用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了二分了11 次用次用2049个函数值，才可得到个函数值，才可得到7位准确数字。位准确数字。 n用用Romberg公式对区间二分公式对区间二分3次，用了次，用了9个函个函 数值，得到同样的结果。数值，得到同样的结果。 n用用Gauss公式仅用了公式仅用了3个函数值，就得到结果。个函数值，就得到结果

28、。 数值分析数值分析 数值分析数值分析 2.Gauss-Chebyshev2.Gauss-Chebyshev公式公式 1 12 0 ( ) () 1 n ii i f x dxA f x x (0) (0,1,)1 21 cos(0,1, ) 2(1) i i x innChebychev i xin n 其其中中是是阶阶多多项项式式的的零零点点 (0,1, ) 1 i Ain n 求求积积系系数数是是 2 1 ( ),1,1 1 xx x 权权 常用的高斯求积公式常用的高斯求积公式 数值分析数值分析 数值分析数值分析 3.Gauss-Laguerre3.Gauss-Laguerre公式公式

29、0 0 ()() n x ii i efx dxA fx 0 000 0 0( ) ( )( )( ) ()()( ) xxx n x iii i f x dx f x dxee f x dxeF x dx A F xF xe f x 求求某某一一个个无无穷穷区区间间，上上的的积积分分 , ,其其中中 ( (1 1) ) 95,( ),0,. x xex 积积分分点点和和求求积积系系数数查查表表权权 () 00 ,)(0)( ) , ,)0,) ( )()() x a xa tat a aaef x dx xatxat GaussLaguerre ef x dxef at dteef at d

30、t 对对区区间间上上的的积积分分， 通通过过变变量量代代换换将将变变为为， 再再用用求求积积公公式式计计算算 (2)(2) 积积分分 数值分析数值分析 数值分析数值分析 4.Gauss-Hermite4.Gauss-Hermite公式公式 2 0 ( )() (0,1, )96 n x ii i ii ef x dxA f x xA in 同同前前，求求积积分分 其其中中，积积分分点点 和和求求积积系系数数可可查查表表 数值分析数值分析 数值分析数值分析 (22) 0 (22) 2 1 101 1( ), ( ) ( )() ( ) ( )( )( ) (22)! ( , ),( )()()

31、3 ) n n b kk a k n b n a nn fxa b x f x dxA f x f R fx wx dx n a b wxxxxxxx （）若若在在上上连连续续，则则高高斯斯求求积积公公式式 的的截截断断误误差差为为： 其其中中 定定理理 ： 01 21 21 21 21 ,( ) 21( ), ()()(0,1, ) ()()(0,1, ) n n nii nii nn xxxf xHermite nHx Hxf xin Hxfxin 因因为为 阶阶高高斯斯求求积积公公式式有有次次代代数数精精度度， 因因此此，用用点点对对作作插插值值， 得得到到次次插插值值多多项项式式并并且

32、且满满足足： 证证明明： 二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析 数值分析数值分析 数值分析数值分析 已知已知HermiteHermite插值误差是插值误差是 (22) 2 21 0 (22) 2 21 0 ( ) ( )( )() (22)! ( ) ( ) ( )( )( )( )() (22)! nn ni i nn bbb ni aaa i f f xHxxx n f x f x dxx Hx dxxxxdx n 因为对因为对2n+12n+1次多项式求积公式准确成立，即次多项式求积公式准确成立，即 n i ii n i ini b a n xf

33、AxHAdxxHx 00 1212 )()()()( 代入上式代入上式 b a n i i nn i ii b a dxxxx n f xfAdxxfx 0 2 )22( 0 )()( )!22( )( )()()( 即有即有 b a b a n i i nn i ii dxxxx n f xfAdxxfxfR 0 2 )22( 0 )()( )!22( )( )()()()( 数值分析数值分析 数值分析数值分析 以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正 ( ) ( )0 b ii a Ax l x dx 即即： 0 22 22 0 ( ) ( )() ( )( )( )2, ( ) ( )() b n kk k a ii b n ik iki k a x f x dxA f x f xlxlxn x lx dxA lxA 在在高高斯斯求求积积公公式式 中中，取取，为为次次多多项项式式，求求积积公公式式等等式式成成立立 2 ( ) ( )( )( )0 bb iii aa Ax lx dxx lx dx 0 ( )1,( ) b n k k a f xx dxA 取取有有 数值分析数值分析 数值分析数值分析 0 (