直线与方程复习课件

1、 2 1.直线的倾斜角：理解直线的倾直线的倾斜角：理解直线的倾 斜角的概念要注意三点：斜角的概念要注意三点： （1）直线向上的方向；直线向上的方向； （2）与与x轴的正方向；轴的正方向； （3）所成的最小正角，其范围所成的最小正角，其范围 是是0,）. 3 2.直线的斜率：直线的斜率： （1）定义：倾斜角不是定义：倾斜角不是90的直线它的直线它 的倾斜角的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜的正切值叫做这条直线的斜 率，常用率，常用k表示，即表示，即 k=tan. =90的直线的直线斜率不存在斜率不存在； （2）经过两点经过两点P（x1,y1）,Q（x2,y2） 的直线的斜率公式的直线的斜率公式 （

2、其中（其中x1x2）. 21 21 yy k xx 4 直线方程归纳 名名 称称 已已 知知 条条 件件 标准方程标准方程 适用范围适用范围 kyxP和斜率，点)( 111 )( 11 xxkyy 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 轴上的截距和斜率yk bkxy 轴的直线不垂直于x 轴的直线不垂直于x )()( 222111 yxPyxP，和点，点 21 1 21 1 xx xx yy yy 轴的直线、不垂直于yx by ax 轴上的截距在 轴上的截距在 1 b y a x 不过原点的直线 轴的直线、不垂直于yx 两个独立的条件 0CByAx 不同时为零、BA 5 L1:y=k1x+b1

3、 L2:Y=K2x+b2 （K1,k2均存在）均存在） L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0 （A1、B1 , A2 、 B2 均不同均不同 时为时为0） 平行平行K1=K2且且b1b2 重合重合K1=K2且且b1=b2 相交相交K1K2 垂直垂直K1k2=-1 0 2121 BBAA 判断两条直线的位置关系判断两条直线的位置关系 0 1221 BABA 0 1221 BABA 1 22 1 0BC BC 0 1221 BABA 1 22 1 0BC BC 6 方程组：方程组： A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0的解的解 一组一组 无数解无数解无解无解

4、 两条直线两条直线L1,L2的公共点的公共点 直线直线L1,L2间的位置关系间的位置关系 一个一个无数个无数个零个零个 相交相交重合重合 平行平行 直线的交点个数与直线位置的关系直线的交点个数与直线位置的关系 7 22 122121 |()()PPxxyy 2 2 21 0 21 0 yy y xx x 1 1、两点间的距离公式两点间的距离公式 2,中点坐标公式中点坐标公式 3.点到直线的距离公式：点到直线的距离公式： 22 00 BA CByAx d 关于距离的公式关于距离的公式 两平行直线间的距离公式：两平行直线间的距离公式： 22 21 BA CC d 1.直线直线 x-y+1=0的倾斜

5、角等于（的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 3 2 3 3 5 6 6 B 2.已知已知R，直线，直线xsin-y+1=0的斜的斜 率的取值范围是（率的取值范围是（ ） A.（-,+）B.（0,1 C.-1,1 D.（0,+） C 10 3. 设直线设直线l1的方程为的方程为xy2， 直线直线l2的方程为的方程为axy1. (1)当当 时，时， l1与与l2相交；相交； (2)当当 时，时， l1与与l2平行，平行， (3)当当 时，时， l1与与l2垂直垂直. 它们间的距离为它们间的距离为 ； 11 3. 设直线设直线l1的方程为的方程为xy2， 直线直线l2的方程为的方程为axy1

6、. (1)当当 时，时， l1与与l2相交；相交； (2)当当 时，时， l1与与l2平行，平行， a1 (3)当当 时，时， l1与与l2垂直垂直. 它们间的距离为它们间的距离为 ； 12 3. 设直线设直线l1的方程为的方程为xy2， 直线直线l2的方程为的方程为axy1. (1)当当 时，时， l1与与l2相交；相交； (2)当当 时，时， l1与与l2平行，平行， a1 a1 (3)当当 时，时， l1与与l2垂直垂直. 它们间的距离为它们间的距离为 ； 13 3. 设直线设直线l1的方程为的方程为xy2， 直线直线l2的方程为的方程为axy1. (1)当当 时，时， l1与与l2相交

7、；相交； (2)当当 时，时， l1与与l2平行，平行， a1 a1 2 2 (3)当当 时，时， l1与与l2垂直垂直. 它们间的距离为它们间的距离为 ； 14 3. 设直线设直线l1的方程为的方程为xy2， 直线直线l2的方程为的方程为axy1. (1)当当 时，时， l1与与l2相交；相交； (2)当当 时，时， l1与与l2平行，平行， a1 a1 a1 2 2 (3)当当 时，时， l1与与l2垂直垂直. 它们间的距离为它们间的距离为 ； 4.若直线若直线ax+2y-6=0与与x+(a-1)y-(a2-1)=0 平行，则点平行，则点P（-1，0）到直线）到直线ax+2y- 6=0的距

8、离等于的距离等于. 因为两直线平行，因为两直线平行， 所以有所以有a(a-1)=2，即，即a2-a-2=0， 解得解得a=2或或a=-1， 但当但当a=2时，两直线重合，不合题意，故只时，两直线重合，不合题意，故只 有有a=-1， 所以点所以点P到直线到直线-x+2y-6=0的距离等于的距离等于 易错点：判断两直线平行时要检验是否重合易错点：判断两直线平行时要检验是否重合. 5 5 重点突破：直线的倾斜角与斜率重点突破：直线的倾斜角与斜率 已知点已知点A（-3，4），），B（3，2），过点），过点P （2，-1）的直线）的直线l与线段与线段AB有公共点，求直有公共点，求直 线线l的斜率的斜率k

9、的取值范围的取值范围. 从直线从直线l的极端位置的极端位置PA，PB入手，分入手，分 别求出其斜率，再考虑变化过程斜率的变化别求出其斜率，再考虑变化过程斜率的变化 情况情况. 直线直线PA的斜率的斜率k1=-1，直线，直线PB的斜率的斜率 k2=3，所以要使，所以要使l与线段与线段AB有公共点，直线有公共点，直线l 的斜率的斜率k的取值范围应是的取值范围应是k-1或或k3. 直线的倾斜角和斜率的对应关系是一直线的倾斜角和斜率的对应关系是一 个比较难的知识点，建议通过正切函数个比较难的知识点，建议通过正切函数 y=tanx在在0,）（,）上的图象变化）上的图象变化 来理解它来理解它. 2 2 已

10、知点已知点A（-3，4），），B（3， 2），过点），过点P（2，-1）的直线）的直线l与线段与线段 AB没有公共点，则直线没有公共点，则直线l的斜率的斜率k的取的取 值范围为值范围为. 可用补集思想求得可用补集思想求得-1k3. -1k3 重点突破：直线方程的求法重点突破：直线方程的求法 ()求经过点求经过点A(-5，2)且在且在x轴上的截距轴上的截距 等于在等于在y轴上的截距的轴上的截距的2倍的直线方程；倍的直线方程； ()若一直线被直线若一直线被直线4x+y+6=0和和3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条 直线方程直线方程. (

11、)讨论截距为零和不为零两种情讨论截距为零和不为零两种情 况，分别设出直线方程，代入求解况，分别设出直线方程，代入求解 ()当横截距、纵截距均为零时，设所求的直当横截距、纵截距均为零时，设所求的直 线方程为线方程为y=kx，将，将(-5，2)代入得代入得k=- ,此时直此时直 线方程线方程y=-x,即即2x+5y=0； 当横截距、纵截距都不是零时，设所求的直线当横截距、纵截距都不是零时，设所求的直线 方程为方程为将将(-5，2)代入得代入得a=-，此时，此时 直线方程为直线方程为x+2y+1=0. 综上所述，所求直线方程为综上所述，所求直线方程为2x+5y=0或或 x+2y+1=0. 2 5 2

12、 5 1 2 xy aa ， 1 2 21 重点突破：直线方程的求法重点突破：直线方程的求法 ()若一直线被直线若一直线被直线4x+y+6=0和和3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条 直线方程直线方程. ()设所求直线与已知一直线的交点坐标设所求直线与已知一直线的交点坐标 A(a,b)，与另一直线的交点，与另一直线的交点B，因为原点为，因为原点为 AB的中点，所以点的中点，所以点B(-a,-b)在相应的直线上，在相应的直线上， 联立方程组求解联立方程组求解. （）设所求直线与直线设所求直线与直线4x+y+6=0,3x-5y- 6=0分

13、别相交于分别相交于A，B. 设设A(a,-4a-6)，则由中点坐标公式知，则由中点坐标公式知B(-a,4a+6) 将将B(-a,4a+6)代入代入3x-5y-6=0， 得得3(-a)-5(4a+6)-6=0，解得，解得a= 从而求得从而求得 所以所求所以所求 直线方程为直线方程为 36 . 23 366366 , 23 232323 AB（）（）， 1 -. 6 yx 应用直线方程的几种形式应用直线方程的几种形式 假设直线方程时须注意其应用的假设直线方程时须注意其应用的 适用条件；选用恰当的参变量，适用条件；选用恰当的参变量， 可简化运算量可简化运算量. 24 求满足下列条件的直线方程：求满足

14、下列条件的直线方程： (1)经过点经过点P(2，-1)且与直线且与直线2x+3y+12=0平行；平行； (2)经过点经过点Q(-1，3)且与直线且与直线x+2y-1=0垂直；垂直； (3)经过点经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；且在两坐标轴上截距相等； (4)经过点经过点M(1，2)且与点且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；距离相等； (5) 经过点经过点N(-1,3)且在且在x轴的截距与它在轴的截距与它在y轴上的截轴上的截 距的和为零距的和为零. 2x+3y-1=0 2x-y+5=0 x+y-1=0或3x+2y=0 4x+y-6=0或3x+2y-7=0 03 yx04 yx

15、或 . 求适合下列条件的直线方程求适合下列条件的直线方程. 过点过点Q（0，-4），且倾斜角为直线），且倾斜角为直线 x+y+3=0的倾斜角的一半的倾斜角的一半.3 易得直线易得直线 x+y+3=0的斜率为的斜率为- ,则则 倾斜角为倾斜角为 ，所以所求直线的倾斜角，所以所求直线的倾斜角 为为 ，故斜率为，故斜率为 , 由点斜式得所求的直线方程为由点斜式得所求的直线方程为y= x-4. 3 3 2 3 3 3 3 已知点已知点P（2，-1），过），过P点作直线点作直线l. （）若原点若原点O到直线到直线l的距离为的距离为2，求，求l 的方程；的方程； （）求原点求原点O到直线到直线l的距离取最

16、大值的距离取最大值 时时l的方程，并求原点的方程，并求原点O到到l的最大距离的最大距离. ()当当lx轴时，满足题意，轴时，满足题意， 所以所求直线方程为所以所求直线方程为x=2； 当当l不与不与x轴垂直时，直线方程可设为轴垂直时，直线方程可设为 y+1=k(x-2)，即，即kx-y-2k-1=0. 由已知得由已知得 解得解得k=. 所以所求直线方程为所以所求直线方程为3x-4y-10=0. 综上，所求直线方程为综上，所求直线方程为x=2或或3x-4y-10=0. ()结合几何图形，结合几何图形， 可知当可知当l直线直线OP时，距时，距 离最大为离最大为5，此时直线，此时直线l的方程为的方程为

17、2x-y-5=0. 2 12 2 1 k k ， 3 4 29 y x 如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的中心为的中心为E(-1,0)，一边，一边 AB所在的直线方程为所在的直线方程为x-3y-5=0，求其他各边所在，求其他各边所在 的直线方程。的直线方程。 E A B C D 30 3、点点 和和 关于直线关于直线l对称，则对称，则l的方程为的方程为 （ ） A、 B、 C、 D 、 (0,1)A(2,0)B 2430 xy 4230 xy 2430 xy 4230 xy 1、已知点已知点A(5,8),B(4,1)，则，则A点关于点关于B点的对称点为点的对称点为 _。 2、求直线求直

18、线3x-y-4=0关于点关于点P(2,1)对称的直线对称的直线l的的 方程为方程为_。 (3,-6) 3x-y-6=0 B 31 5、设入射光线沿直线设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线射向直线 y=x, 则则 被被y=x 反射后反射后,反射光线所在的直线方程是反射光线所在的直线方程是( ) Ax-2y-1=0 Bx-2y+1=0 C3x-2y+1=0 Dx+2y+3=0 4、光线通过点光线通过点A（2，3），经直线），经直线xy10反反 射，其反射光线通过点射，其反射光线通过点B（1，1），求入射光线和），求入射光线和 反射光线所在的直线方程。反射光线所在的直线方程。 y x A B A, A 总结：四类对称关系。 32 0y 012 yx 例例3 3：在在ABC中，中，BC边上的高所在的直线的方程边上的高所在的直线的方程 为为 ，A的平分线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为 ， 若点若点B的坐标为（的坐标为（1，2），求点），求点 A和点和点 C的坐标的坐标 y x B A C 33 例例4 4：已知已知A(2，0)，B(2，2)