第四章：扭转

1、第四章：扭第四章：扭 转转 扭转扭转 余余 辉辉 扭转扭转 工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如：工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如： 以横截面绕轴线作相对转动为主要特征的变形。以横截面绕轴线作相对转动为主要特征的变形。 扭转变形扭转变形: 4-1 引引 言言 扭转扭转 扭转变形的特点：扭转变形的特点： 受力特点：受力特点： 变形特点：变形特点： 圆杆受到一对大小相等、转向相反、圆杆受到一对大小相等、转向相反、 作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动 实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯实

2、际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯 曲、拉压等其他变形。以扭转变形为主的杆件称为曲、拉压等其他变形。以扭转变形为主的杆件称为 轴轴 e M e M 扭转扭转 一、传动轴的外力偶矩的计算一、传动轴的外力偶矩的计算 已知：传动轴的转速已知：传动轴的转速n ，所传递的功率所传递的功率P (kW) ；则；则 e e M ddW PM dtdt kW e N m r min 9549 P M n 外力偶矩为：外力偶矩为： 电机每秒输入功：电机每秒输入功： 3 10WP 外力偶每秒作功外力偶每秒作功： 60 2 n MW e 4-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 扭转扭转

3、主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。 Me1 Me2 Me3 n 从动轮 主动轮 从动轮 扭转扭转 二、扭矩与扭矩图二、扭矩与扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用 符号符号T表示。表示。 求法：截面法求法：截面法 e M e M e M e M 0 x M e 0TM e TM 得：得： 取左端，由于矩平衡取左端，由于矩平衡 符号：用右手螺旋法则用矢量表示扭矩，若矢量方向与符号：用右手螺旋法则用矢量表示扭矩

4、，若矢量方向与 横截面外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负。横截面外法线方向一致时扭矩为正，反之扭矩为负。 扭矩图扭矩图横截面上扭矩沿杆轴线变化规律情况的图线横截面上扭矩沿杆轴线变化规律情况的图线 扭转扭转 解：（解：（1）计算外力偶矩）计算外力偶矩 例例4-1 图示传动轴，转速图示传动轴，转速 ，主动轮，主动轮A输输 入功率入功率 ，从动轮，从动轮B 与与C ，输出功率分别为，输出功率分别为 、 。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 500 /minnr 10kW A P 6kW B P 4kW C P A B C eB M eA M eC M eB M eA M eC M eB M 1 T

5、 eC M 2 T T/Nm 76.4 114.6 x e 9549191.0N m A A P M n e 76.4N m B M e 114.6N m C M （2）分段计算扭矩）分段计算扭矩 1e 0 B TM 2 114.6N mT 2e 0 C TM 1 76.4N m T （3）画扭矩图）画扭矩图 扭转扭转 解：（解：（1）计算外力偶矩）计算外力偶矩 例例4-2 所示，钻探机的输入功率所示，钻探机的输入功率 ，转速，转速 ，钻杆钻入土层的深度，钻杆钻入土层的深度 。如土壤。如土壤 对钻杆的阻力是均匀分布的力偶，试作钻杆的扭矩图。对钻杆的阻力是均匀分布的力偶，试作钻杆的扭矩图。 12

6、kWP 180r minn 50ml x 636.6 T /Nm e M l e m e m ( )T x x e 9549636.6N m P M n （2）计算分布力偶矩集度）计算分布力偶矩集度 e e 636.6 N m m12.7N m m 50 M m l （3）作扭矩图）作扭矩图 e T xm x 扭矩扭矩 T 与与 x 为线性关系为线性关系 扭转扭转 一、薄壁圆筒的扭转切应力一、薄壁圆筒的扭转切应力 薄壁圆筒薄壁圆筒通常指通常指 的空心圆轴的空心圆轴110R （1）圆周线的形状、大小不变；圆周线的形状、大小不变； 两相邻圆周线的距离不变，只是两相邻圆周线的距离不变，只是 发生相对

7、转动。发生相对转动。 （2）各纵向线仍都倾斜了相同各纵向线仍都倾斜了相同 角度角度 ；由纵向线和周向线构成；由纵向线和周向线构成 的矩形变成了平行四边形。的矩形变成了平行四边形。 1、变形现象观察：、变形现象观察： Dt 20/ tD 4-3 扭转圆轴横截面上的应力扭转圆轴横截面上的应力 扭转扭转 2、变形现象分析推断：、变形现象分析推断： （1 1）由两相邻圆周线的距离不变，说明横截面上）由两相邻圆周线的距离不变，说明横截面上 无正应力，只有切应力。无正应力，只有切应力。 （3 3）因壁很薄，近似认为筒内与筒表面的变形相同，）因壁很薄，近似认为筒内与筒表面的变形相同， 即切应力沿壁厚方向均匀

8、分布。即切应力沿壁厚方向均匀分布。 （2 2）各纵向线仍互相平行，但都倾斜了相同角度）各纵向线仍互相平行，但都倾斜了相同角度 ， 说明沿圆周上各点的切应力相同；说明沿圆周上各点的切应力相同； 扭转扭转 3、薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：、薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式： A dAR = T由静力学条件由静力学条件: : 因薄壁圆环因薄壁圆环, ,横截面上各点处的切应力相等横截面上各点处的切应力相等 T 0 x M e MT 得：得： e 22 22 MT RR 2ARTAR R 扭转扭转 二、切应力互等定理二、切应力互等定理 取单元体如图取单元体如图 由于微体处于平衡状态，则由于微体处于

9、平衡状态，则 ddddyxxy 纯剪切纯剪切单元体上只有切应力，而无正应力单元体上只有切应力，而无正应力。 切应力互等定理切应力互等定理在单元体两个互相垂直的平面上，在单元体两个互相垂直的平面上， 切应力必然成对出现，其大小相等；方向垂直于两平切应力必然成对出现，其大小相等；方向垂直于两平 面的交线，共同指向或背离此交线。面的交线，共同指向或背离此交线。 扭转扭转 三、切应变与剪切胡克定律三、切应变与剪切胡克定律 切应变切应变 直角的改变量又称角应变 直角的改变量又称角应变 R l 当切应力不超过材料的剪切比例极当切应力不超过材料的剪切比例极 限，切应力与切应变成正比，即：限，切应力与切应变成

10、正比，即： G u 剪切胡克定律：剪切胡克定律： 对各向同性材料，对各向同性材料，E, , G 之间关系：之间关系： )1 (2 E G G 剪变模量剪变模量 扭转扭转 圆周线圆周线形状、大小、形状、大小、 间距不变，各圆周线绕轴间距不变，各圆周线绕轴 线相对转动了一个角度。线相对转动了一个角度。 纵向线纵向线倾斜了同一倾斜了同一 个角度，小方格变成了个角度，小方格变成了 平行四边形。平行四边形。 2、平面假设：圆轴扭转变形时，横截面仍保持为、平面假设：圆轴扭转变形时，横截面仍保持为 平面，形状、大小与间距均不变。平面，形状、大小与间距均不变。 据此假设，据此假设，横截面上横截面上无正应力，只

11、有切应力无正应力，只有切应力且圆且圆 周上各点处切应力的数值相等，方向与圆周相切。周上各点处切应力的数值相等，方向与圆周相切。 四、圆轴扭转时的应力四、圆轴扭转时的应力 1、实验现象：、实验现象： M e Me 扭转扭转 l 变形几何关系变形几何关系 3、横截面上切应力计算公式、横截面上切应力计算公式 dd tan dd dd adxx 式中式中， 相对扭转角相对扭转角 d 取微段楔形体取微段楔形体 相对扭转角沿杆长的变化率，对于给相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量。定的横截面为常量。 xd d 距圆心为距圆心为 处处 扭转扭转 l 物理关系物理关系 d d GG x 根据剪切

12、胡克定律：根据剪切胡克定律： G 切应力沿半径线性分布切应力沿半径线性分布 横截面上任意一点处的切应力横截面上任意一点处的切应力 与与 成正比，方向垂直于半径。成正比，方向垂直于半径。 T max max 扭转扭转 p d d GI T x 得得: l 静力学方面静力学方面 x G d d 令令:横截面的极惯性矩横截面的极惯性矩 A dAI 2 p p I T dTA A 22 AA dd GdAGdAT dxdx 即即 x G d d 切应力公式切应力公式 扭转扭转 4、圆轴扭转时横截面上的最大切应力、圆轴扭转时横截面上的最大切应力 max max ppp TTRT IIIR max t T

13、 W 抗扭截面系数抗扭截面系数 pt /=I RW 取取 max max 注意：注意： 以上公式只适合于扭转圆轴，以上公式只适合于扭转圆轴， 且材料服从胡克定律。且材料服从胡克定律。 最大切应力：最大切应力： 发生在横截面周边上各点处发生在横截面周边上各点处 max 扭转扭转 极惯性矩极惯性矩Ip和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wt都是截面图形的都是截面图形的 几何性质，它们取决于截面的形状与大小。几何性质，它们取决于截面的形状与大小。 p 2 3 t /16 d I W d A AId 2 p )d2( 2 0 2 d d2dA 32 4 d 2 / 4 0 2 () 4 d 实心圆截面实心圆截

14、面： O d d 5. Ip， Wt值的计算值的计算 扭转扭转 空心圆截面空心圆截面： d2dA D d O d D d D dD AI D d A 其中 4 4 44 2 2 32 p 1 32 32 d2d 3 4 P t (1) 216 ID W D 注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面 3 3 t (1) 16 D W 扭转扭转 解：（解：（1）计算极惯性矩）计算极惯性矩 IP与抗扭截面系数与抗扭截面系数Wt 8 363 P t 3 60 10 m24 10 m 225 10 I W D 例例4-3 某扭转实心圆轴，已知直径某扭转实心圆轴，已知直径 ，扭矩，扭矩 。试求距圆心。试求

15、距圆心 12.5mm 处处 A 点的切应力点的切应力 以及横截面上的最大切应力以及横截面上的最大切应力 。 max 1kN mT 50mmd A 4 4 3484 P 50 10m61.3 10 m 3232 d I 扭转扭转 A点的切应力点的切应力 3 6 8 P 1000 12.5 10 Pa20.4 10 Pa20.4MPa 61.3 10 AA T I 6 max 6 t 1000 Pa41.7 10 Pa41.7MPa 24 10 T W 横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力 （2）求）求 与与 max A 扭转扭转 例例4-4 如图所示，圆轴如图所示，圆轴 AB的的 AC 段为

16、空心，段为空心，CB段为实段为实 心。已知心。已知 、 ；圆轴传递的功率；圆轴传递的功率 ，转速，转速 。试求。试求 AC及及CB段的段的 最大与最小切应力。最大与最小切应力。 3cmD 2cmd 7.5kWP 360r/minn dD e M ACB e M 解：（解：（1）计算扭矩）计算扭矩 e 7.5 95499549N m198.9N m 360 P TM n AC段：段： 44444 P1 484 32cm 3232 6.38cm6.38 10m IDd （2）计算极惯性矩）计算极惯性矩 扭转扭转 （3）计算切应力）计算切应力 2 max 8 P1 1993 10 Pa46.8MPa

17、 26.38 102 AC TD I CB段：段： 44 484 P2 3 cm7.95 10m 3232 D I 2 min 8 P1 1992 10 Pa31.2MPa 26.38 102 AC Td I 2 max 8 P2 1993 10 Pa37.5MPa 27.95 102 CB TD I min 0 CB 扭转扭转 一、强度失效一、强度失效 塑性材料受扭时，先发生屈服，试样表面沿横向、塑性材料受扭时，先发生屈服，试样表面沿横向、 纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。 脆性材料受扭时，变形很小，最后沿脆性材料受扭时，变形很小，最后沿45 0螺旋面

18、被拉断。 螺旋面被拉断。 4-4 扭转圆轴的强度计算扭转圆轴的强度计算 扭转扭转 max t max T W 二、强度条件二、强度条件 塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 su bu 对等截面圆轴对等截面圆轴 max max t T W 许用切应力许用切应力 u n 圆轴强度计算可解决工程中的三类问题：圆轴强度计算可解决工程中的三类问题： 强度校核强度校核；截面设计截面设计；确定许用载荷。确定许用载荷。 扭转扭转 例例4-5 如图阶梯轴，如图阶梯轴， 、 ；外力偶矩；外力偶矩 、 、 ； 材料的许用切应力材料的许用切应力 。试校核该轴强度。试校核该轴强度。 1 5kN mM 2 3.2kN m

19、M 1 80mmd 3 1.8kN mM 2 50mmd 60MPa AB C 1 M 2 M 3 M 1 8 0 0 5 0 0 0 /N mT x 解：（解：（1）计算）计算扭矩扭矩作扭矩图作扭矩图 AB段：段：1 1 5000N mTM 23 1800N mTM BC 段：段： 扭转扭转 （2）校核强度）校核强度 AB段：段： 3 1 1max 3 P1 16 5 10 Pa49.7MPa 1 3 = 2、离短边稍远处，可认为切应力沿厚度、离短边稍远处，可认为切应力沿厚度d 按直线规律变化按直线规律变化。 三、狭长矩形截面杆自由扭转时的应力和变形三、狭长矩形截面杆自由扭转时的应力和变形 u切应力的分布特点切应力的分布特点() p 1、长边各点的切应力值均接近相等，在、长边各点的切应力值均接近相等，在 靠近短边处迅速减小直至为零靠近短边处迅速减小直至为零 ； max t T W 其中其中 2 t 1 3Wh扭转截面系数扭转截面系数 3 t 1 3Ih相当极惯性矩相当极惯性矩 t Tl GI 扭转扭转 例例4-15 材料、横截面面积与长度均相同的两根轴，一为圆材料、横截面面积与长度均相同的两根轴，一为圆 形截面，另一为正方形截面。