弹塑性力学应力分析

1、2-1 2-1 斜截面上的应力斜截面上的应力 2-2 2-2 应力状态的坐标变换应力状态的坐标变换 2-3 2-3 应力状态的主应力和主方向应力状态的主应力和主方向 2-4 2-4 应力张量的分解应力张量的分解 2-5 2-5 平衡微分方程平衡微分方程 2-6 2-6 应力边界条件应力边界条件 x y z A B C O N x z y xy xz zx zy yz yx N p z p y p x p yz yz zy y z zx x xz xy x y z 2-1 2-1 斜截面上的应力斜截面上的应力 已知物体在任一点已知物体在任一点O的六个应力分量的六个应力分量 , 求经求经 过过O点

2、的任一斜截面上的应力点的任一斜截面上的应力 ij 123 cos,cos,cos,lxlylzNNN 令平面令平面ABC的外法线为的外法线为N，其方向余弦为，其方向余弦为 设斜截面上全应力为：设斜截面上全应力为： N p 沿坐标的分量为：沿坐标的分量为： , xyz ppp 简写为：简写为： i p 设四面体斜面的面积为：设四面体斜面的面积为： N S 则三个直面的面积为：则三个直面的面积为： 1 2 3 dd dd dd xN yN zN SS l SS l SS l 简写为：简写为：dd iN i SS l (1, 2,3)i 考虑四面体微元的平衡考虑四面体微元的平衡 0X dddd0 x

3、Nxxyxyzxz pSSSS 0Y dddd0 yNxyxyyzyz pSSSS 0Z dddd0 zNxzxyzyzz pSSSS x y z O N x z y xy xz zx zy yz yx N p z p y p x p dd0 jNiji pSS dd jNij iN pSl S 所以所以 jij i pl 即即 123 123 123 xxyxzx yxyyzy zxzyzz plll plll plll Cauchy定理定理 已知一点应力状态，可求过该点任意斜截面上的全应力在三已知一点应力状态，可求过该点任意斜截面上的全应力在三 个（正交）坐标轴上的分量个（正交）坐标轴上的

4、分量 或或 iji j pl 若该斜截面是外边界的一点，其上作用的面力为若该斜截面是外边界的一点，其上作用的面力为 xyz ppp, 则则Cauchy公式表明了边界外力（面力）与该点应力的关系公式表明了边界外力（面力）与该点应力的关系 应力边界条件应力边界条件 x y z N N p z p y p x p N N 将将 向外法线和斜面分解为向外法线和斜面分解为 和和 。 N p N N 则则 123Nxyz p lp lp l 即即 Nj j p l 将将Cauchy定理代入：定理代入： Nij i j ll 展开整理得：展开整理得： 222 1231 22 33 1 222 Nxyzxyy

5、zzx llll ll ll l 由由 可求得：可求得： 222 2222 NNN Nxyz p pppp 2222 NxyzN ppp 特例：平面应力状态斜截面应力公式特例：平面应力状态斜截面应力公式 0 0 000 xyx ijxyy x y N y p x p N N yx xy x y cos sin 0 j l cossin cossin 00 xxyx iyij jxyy p ppl 22 cossinsincossincos Nij i jxyyxxy ll 22 cossin2sincos xyxy 11 ()()cos2sin2 22 xyxyxy 222 x NyN pp

6、材料力学中斜截面应力公式为材料力学中斜截面应力公式为 11 ()()cos2sin2 22 1 ()sin2cos2 2 Nxyxyxy Nxyxy 原因？原因？ 1 ()sin2cos2 2 xyxy 例例2-1 物体中一点的应力张量为 , 求作用在过此 点的平面 上的法向和切向应力。 012 120 MPa 201 31xyz 解：解： 平面外法向的方向余弦 1 222 11 11 131 l 2 222 33 11 131 l 3 222 11 11 131 l 11 5 11 j j pl 22 7 11 j j pl 33 3 11 j j pl Nij i j l l 11 1 1

7、12 1 213 1 3 l ll ll l 21 2 122 2 223 2 3 l ll ll l 31 3 132 3 233 3 3 l ll ll l 112233jjjjjj l ll ll l 3231821 000 111111111111 2 2222 25499296 2 11111112111 NxyzN ppp 29 11 若视若视 为外法线的坐标面为为外法线的坐标面为 坐标系下的斜截面坐标系下的斜截面 则该点在则该点在 坐标系下（旋转）的应坐标系下（旋转）的应 力张量力张量 有什么关系？有什么关系？ xz z x y zx zy z y yz yx xy x 2-2

8、2-2 应力状态的坐标变换应力状态的坐标变换 x y z z y z y x y x x y x z z x z y 已知一点的应力状态在已知一点的应力状态在 坐标系下的应力坐标系下的应力 张量为张量为 ， 设两坐标系三轴的方向余弦为设两坐标系三轴的方向余弦为 定义为定义为 ij l x y z x y z 11 l 12 l 13 l 21 l 22 l 23 l 31 l 32 l 33 l Oxyz x 则则 11xij ij l l 同理同理 22yij ij l l 33zij ij l l Oxyz ij Ox y z i j 将该斜截面的全应力分量将该斜截面的全应力分量 分别向分

9、别向 方向方向 投影投影即得即得 。 仍视仍视 为外法线的坐标面为为外法线的坐标面为 坐标系下的斜截面坐标系下的斜截面Oxyz x , xyz ppp ,yz , x yx z 122232212x yxyzjjij ij p lp lp lp ll l 132333313x zxyzjjij ij p lp lp lp ll l 同理同理 21y xij ij l l 23y zij ij l l 31z xij ij l l 32z yij ij l l 所以所以 i jij i ij j ll 此系二阶张量的本质特征此系二阶张量的本质特征 数学上将满足上式的一组量称为二阶张量，即决定一点

10、应力数学上将满足上式的一组量称为二阶张量，即决定一点应力 状态的状态的9个应力分量个应力分量 是一个二阶张量，称为是一个二阶张量，称为应力张量应力张量 ij 2-3 2-3 应力状态的主应力和主方向应力状态的主应力和主方向 定义：定义：1. 当当 P 点的某一斜截面上的切应力为零时，则该斜截面点的某一斜截面上的切应力为零时，则该斜截面 上的正应力称为上的正应力称为 P点的一个点的一个主应力主应力。 2. 该斜截面称为该斜截面称为P点的一个应力主面（点的一个应力主面（主平面主平面）。）。 3. 主平面法线方向称为主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称点一个应力主向，或称主方向主方向。 由定义，

11、在主平面上由定义，在主平面上0 N 则全应力则全应力 NN p 将其向三个坐标投影将其向三个坐标投影 ii pl 由由Cauchy公式公式 ij ji ll 1231 1232 1233 xyxzx xyyzy xzyzz llll llll llll 123 123 123 ()0 ()0 ()0 xyxzx xyyzy xzyzz lll lll lll ()0 ijijj l 一一. . 应力状态的主应力和主方向应力状态的主应力和主方向 主平面方程主平面方程 由由 222 123 10lll 0 xyxzx xyyzy xzyzz det()0 ijij 即即 展开整理，展开整理， ij

12、ji 其中其中 1xyz I 222 2xyyzzxxyyzzx I 222 3 2 xyzxyyzzxxyzyzxzxy I 分别称之为分别称之为P点应力状态的第一、第二和第三点应力状态的第一、第二和第三不变量不变量 为什么称为不变量？为什么称为不变量？ 称之为称之为P点应力状态的点应力状态的特征方程特征方程或或主应力方程主应力方程 32 123 0III并考虑并考虑 得得 也称为体积应力，习惯上用也称为体积应力，习惯上用 表示。表示。 联立联立 求解，得三组方向余弦。即求解，得三组方向余弦。即 求解特征方程得主应力，并按从大到小排序求解特征方程得主应力，并按从大到小排序 123 分别将分别

13、将 回代回代 123 , 222 1( )2( )3( ) 1 kkk lll ()0 ijijj l 11(1)2(1)3(1) :,lll 21(2)2(2)3(2) :,lll 31(3)2(3)3(3) :,lll 一定为实根（可证明），分别称为第一、第二和一定为实根（可证明），分别称为第一、第二和 第三主应力。第三主应力。 123 , 一定相互垂直（可证明），分别称为第一、第一定相互垂直（可证明），分别称为第一、第 二和第三主方向。二和第三主方向。 1( )2( )3( ) , kkk lll 若取若取 为为 坐标轴坐标轴 1( )2( )3( ) , kkk lll,x y z 1

14、23 ,0 xyzxyyzzx 则则 1123 I 2122331 ()I 3123 I 与坐标选取无关与坐标选取无关 （取两式）（取两式） 特例特例1 1：平面应力状态主应力及主方向：平面应力状态主应力及主方向 0 0 000 xxy ijxyy 1 2 2 3 0 xy xyxy I I I 代入特征方程代入特征方程 32 ()()0 xyxyxy 解方程（若按大小排序其解为）解方程（若按大小排序其解为） 2 2 1 22 xyxy xy 2 2 2 22 xyxy xy 3 0 将将 回代回代 1 ()0 ijijj l 11(1)2(1) 1(1)12(1) 1 3(1) ()0 ()

15、0 0 xyx xyy ll ll l 联立联立 解之解之 222 1(1)2(1)3(1) 1lll 1(1) 22 1 2(1) 22 1 3(1) () () 0 xy xxy xy yxy l l l 2 21(2)2(2) 1(2)22(2) 2 3(2) ()0 ()0 0 xyx xyy ll ll l 1(3)2(3) 1(3)2(3) 0 0 xyx xyy ll ll 3 222 1(2)2(2)3(2) 1lll 222 1(3)2(3)3(3) 1lll 1(2) 22 2 2(2) 22 2 3(2) () () 0 xy xxy xy yxy l l l 1(3)

16、2(3) 3(3) 0 0 1 l l l 设设 为第一主方向与为第一主方向与x轴的夹角轴的夹角 1(1) cosl 则由三角函数关系可得则由三角函数关系可得 2 tan2 xy xy 例例2-2 已知弹性体内部某点的已知弹性体内部某点的 应力状态为应力状态为 求主应力和主方向。求主应力和主方向。 0 000 0 ij aa aa aa 解：解：不变量的计算不变量的计算 1xyz Ia 22 2 2 xyyzzxzx Ia 2 3 0 xyzyzx I 代入特征方程代入特征方程 322 20aa 解之解之 123 20aa 将将 代入代入 1 2a ()0 ijijj l 联立联立 解之解之

17、222 1(1)2(1)3(1) 1lll 1(1) 1 2 l 2(1) 0l 3(1) 1 2 l 将将 代入代入 2 0 ()0 ijijj l 联立联立 解之解之 222 1(2)2(2)3(2) 1lll 1(2) 1 2 l 2(1) 0l 3(1) 1 2 l 将将 代入代入 3 a ()0 ijijj l 联立联立 解之解之 222 1(3)2(3)3(3) 1lll 1(3) 0l 2(1) 1l 3(1) 0l x y z O 1 2 3 N N 1 2 3 二二. . 最大和最小应力最大和最小应力 设一点的主应力及其主方向已知，现以设一点的主应力及其主方向已知，现以 三主

18、方向取三主方向取Oxyz坐标，如图所示坐标，如图所示 主应力单元体主应力单元体1 2 3 x y z 1 2 3 设任一斜截面设任一斜截面N，其方向余弦为，其方向余弦为l1、l2、l3 则由斜截面正应力公式则由斜截面正应力公式 222 1231 22 33 1 222 Nij i jxyzxyyzzx llllll ll ll l 222 1 12 23 3 lll 2222 1232 23 3 (1)llll 求极值求极值 2122 2 220 N ll l 3133 3 220 N ll l 解之解之 23 0ll 1 1l 222 123 1lll 1N 同理，将同理，将 分别代入可得分

19、别代入可得 222222 213312 11llllll 和和 2N 3N 说明说明主应力为斜截面正应力的极值主应力为斜截面正应力的极值 及及 用类似的方法亦可求出斜截面切应力的极值及其所在平面用类似的方法亦可求出斜截面切应力的极值及其所在平面 应力的极值及其所在平面法线的方向余弦应力的极值及其所在平面法线的方向余弦 0100 l3 0010 l2 0001l1 23 2 31 2 12 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 li 1N 2N 3N 1 2 3 极值 结论：结论： max1 min3 作用平面分别为第一和第三主平面作用平面分别为第一和第三主平面 13

20、max min2 作用平面为第一与第三主平面的角平分面作用平面为第一与第三主平面的角平分面 三三. . 八面体应力八面体应力 1 2 3 x y z 1 2 3 设一点的主应力及其主方向已知，以三设一点的主应力及其主方向已知，以三 主方向取主方向取Oxyz坐标，如图所示坐标，如图所示 现取一特殊的斜面：现取一特殊的斜面： 123 lll 注意到：注意到： 222 123 1lll可求得可求得 123 1 3 lll 1. 1. 八面体斜面上的正应力八面体斜面上的正应力 222 81 12 23 3 lll 8123m 1 3 可见：可见：八面体正应力等于平均应力八面体正应力等于平均应力m 符合

21、上述条件的面有八个，这八个符合上述条件的面有八个，这八个 面构成一面构成一八面体八面体，如图所示。，如图所示。 )( 1 x )( 2 y )( 3 z 1 2 3 （等倾面等倾面） 2. 2. 八面体斜面上的切应力八面体斜面上的切应力 22 88 p 2222 1238 ppp 2222 1 12 23 38 ()()()lll 2222 123123 11 ()() 39 222 8122331 1 ()()() 3 所以所以 四四. . 应力强度应力强度 为让复杂应力状态的受力程度与简单应力状态的受力程度在为让复杂应力状态的受力程度与简单应力状态的受力程度在 强度方面作对比，故定义强度方

22、面作对比，故定义 222222 i 1 ()()()3() 2 xyyzzxxyyzzx 222 122331 1 ()()() 2 8 3 2 2 显然当为单向应力状态时显然当为单向应力状态时 i1 即表明复杂应力状态的即表明复杂应力状态的 i 与单向拉伸应力状态的与单向拉伸应力状态的 i 在某种在某种 意义上具有相同的强度效应。故称为意义上具有相同的强度效应。故称为正应力强度正应力强度或或等效正应力等效正应力 同样，为和纯剪应力状态作对比，定义同样，为和纯剪应力状态作对比，定义 222222 i 1 ()()()() 6 xyyzzxxyyzzx 1 12 0 222 122331 1 (

23、)()() 6 8 6 2 显然当为纯剪应力状态时显然当为纯剪应力状态时 i 1 2 0 3 即表明复杂应力状态的即表明复杂应力状态的 i 与纯剪应力状态的与纯剪应力状态的 i 在某种意义在某种意义 上具有相同的强度效应。故称为上具有相同的强度效应。故称为切应力强度切应力强度或或等效切应力等效切应力 2-4 2-4 应力张量的分解应力张量的分解 一一. . 应力椭球应力椭球 x y z O 1 2 3 N N 1 2 3 设一点的主应力及其主方向已知，仍设一点的主应力及其主方向已知，仍 以三主方向取以三主方向取Oxyz坐标，如图所示。坐标，如图所示。 取任一斜面：取任一斜面： 123 ( ,)

24、N lll 由由 iij j pl得得 11 1 pl 22 2 pl 33 3 pl 代入代入 222 123 1lll得得 222 312 123 1 ppp 此即以此即以 为坐标轴，主半轴为为坐标轴，主半轴为 的椭球方程的椭球方程 123 ,ppp 123 , 故称为故称为应力椭球应力椭球 几何意义：几何意义： 在在 空间中，空间中， 123 Op p p 过过 O 点任一斜截面上的全应力点任一斜截面上的全应力 的矢端均落在此椭球面上的矢端均落在此椭球面上 p 二二. . 应力球张量和应力偏张量应力球张量和应力偏张量 对于应力椭球，若对于应力椭球，若 ，则应力椭球为球面，则应力椭球为球面

25、 123 故定义故定义 m mm m 00 00 00 ij 为为应力球张量应力球张量 力学意义：三向均拉（压）应力状态力学意义：三向均拉（压）应力状态静水压力静水压力 由由 m123 1 () 3 有有 123m 8 1 1 3 I 将应力张量进行分解将应力张量进行分解 ijmijij s 即即 mm mm mm 00 00 00 xxyxzxxyxz yxyyzyxyyz zxzyzzxzyz m m m xxyxzxxyxz ijyxyyzyxyyz zxzyzzxzyz sss ssss sss 称称 为为应力偏张量应力偏张量 应力偏张量为对称二阶张量，与应力张量有类似性质：应力偏张量

26、为对称二阶张量，与应力张量有类似性质： 1. 1. 应力偏张量的主值和主方向应力偏张量的主值和主方向 11m s 22m s 33m s 主方向与应力张量的主方向一致主方向与应力张量的主方向一致 2. 2. 应力偏张量的不变量应力偏张量的不变量 1 0 xyz Jsss 222 2 () xyyzzxxyyzzx Js ss ss ssss 222 3 2 xyzxyyzzxxyzyzxzxy Js s ss s ss ss ss s 222 122331 1 ()()() 6 1 2 3 s s s 333 1m2m3m 1 ()()() 3 () xyyzzx s ss ss s 1 22

27、 33 1 ()s ss ss s 2-5 2-5 平衡微分方程平衡微分方程 在点在点P P 附近取一微元体，附近取一微元体， 如图所示，如图所示， PAdx PBdy PCdz P 点的应力为：点的应力为： xxyxz yxyyz zxzyz 体力分量为：体力分量为： bbb , xyz FFF 由微元体的平衡条件可建立平由微元体的平衡条件可建立平 衡微分方程和切应力互等定理。衡微分方程和切应力互等定理。 x yz yx y xy xz zx zy z x y z O P A B C x d x x x xy d xy x x xz d xz x x d yx yx y y d y y y

28、y d yz yz y y d zy zy z z d z z z z d zx zx z z bz F by F bx F 各应力增量均忽略了高阶项各应力增量均忽略了高阶项 0 x F dd d x x xy z x d d x y z dd d yx yx yz x y d d yx z x dd d zx zx zx y z d d zx x y b d d d0 x Fx y z 将上式同除以将上式同除以 dxdydz，化简得：，化简得： b 0 yx xzx x F xyz 同理，由同理，由0, y F 0 z F 得到得到 y、z 方向的平衡微分方程。方向的平衡微分方程。 x zx

29、 yx y xy xz zx zy z x y z O P A B C d x x x x d yx yx y y d zx zx z z bz F by F bx F b b b 0 0 0 yx xzx x xyyzy y yz xzz z F xyz F xyz F xyz ,b 0 ij ij F 由三个坐标轴的力矩平衡方程由三个坐标轴的力矩平衡方程 0,0,0 xyz MMM 列方程并忽略高阶项可得列方程并忽略高阶项可得 , xyyxyzzyzxxz 切应力互等定理切应力互等定理 平衡微分方程平衡微分方程： 所以有所以有 ijji 应力张量为二阶对称张量应力张量为二阶对称张量 表明了变形固体内一点内表明了变形固体内一点内 力（应力）与外力（体力）力（应力）与外力（体力） 的平衡关系。的平衡关系。 其分量由九个缩减为六个其分量由九个缩减为六个 2-6 2-6 应力边界条件应力边界条件 123 123 123 ()()() ()()() ()()() xSyxSzxSx xySySzySy xzSyzSzSz lllp lllp lllp 设已知外边界设已知外边界S 上上的一点的外法线方向为的一点的外法线方向为 xy