材料力学PPT第三章 (2)

1、汽车传动轴汽车传动轴 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 工程实例工程实例 汽车方向盘汽车方向盘 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 工程实例工程实例 3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 轴：轴：工程中以工程中以扭转扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。石油钻机中的钻杆等。 扭转的受力特点：扭转的受力特点：外力的合力为一力偶外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与，且力偶的作用面与 直杆的轴线垂直，杆发生的变形为直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形扭转变形。 A B O mm O B A 3

2、.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 扭转角（扭转角（ ）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（剪应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。 mm O B A 3.2 3.2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力 将一薄壁圆筒表面用纵向平行将一薄壁圆筒表面用纵向平行 线和圆周线划分；线和圆周线划分；两端施以大小两端施以大小 相等方向相反一对力偶矩相等方向相反一对力偶矩。 圆周线大小形状不变，各圆圆周线大小形状不变，各圆 周线间距离不变；周线间距离不变；纵向平行线纵向平行线 仍然保持为直线

3、且相互平行，仍然保持为直线且相互平行， 只是倾斜了一个角度。只是倾斜了一个角度。 观察到：观察到： 结果说明横截面上没有正应力结果说明横截面上没有正应力 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚 0 10 1 rt （r0：为平均半径） 1、实验：、实验： （1）实验前：）实验前： 绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶施加一对外力偶 m。 （2）实验后）实验后 圆周线不变；圆周线不变； 纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。 （4）横截面上的应力特征）横截面上的应力特征 只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点的切应力相同；只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点的切应力相同； 对于薄壁圆筒，可认为

4、切应力沿壁厚均匀分布；对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； 横截面上无正应力。横截面上无正应力。 （3）表面变形特征）表面变形特征 圆周线只是绕圆筒轴线转动圆周线只是绕圆筒轴线转动,形状及尺寸不变；形状及尺寸不变； 纵向直线在小变形情况下保持为直线纵向直线在小变形情况下保持为直线,但发生倾斜但发生倾斜; 圆周线之间的距离保持不变。圆周线之间的距离保持不变。 与与 的关系：的关系： lr r l a cd dx b dy 无正应力无正应力 横截面上各点处，只产横截面上各点处，只产 生垂直于半径的均匀分布的剪生垂直于半径的均匀分布的剪 应力应力 ，沿周向大小不变，方，沿周向大小不变，方 向与

5、该截面的扭矩方向一致。向与该截面的扭矩方向一致。 （5）微小矩形单元体如图所示）微小矩形单元体如图所示 2、薄壁圆筒剪应力、薄壁圆筒剪应力 大小大小 tA T tr T TtrrAr TrA A A 2 2 2d d 0 2 0 000 0 A0：平均半径所作圆的面积。平均半径所作圆的面积。 3、剪应力互等定理、剪应力互等定理 0 故 dxdytdxdyt mz 上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方

6、向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。 a cd dx b dy t z 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。 T=m )( ) 2( 0 R L tA T 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。 4、剪切虎克定律、剪切虎克定律 G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的

7、G值可通过实验确定，钢 材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。 2(1) E G （1）直接计算）直接计算 1.1.外力偶矩外力偶矩 3.3 3.3 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 （2）传动轴的外力偶矩）传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系： 输入功率：输入功率：P(kW) 转速转速：n(转转/分分) 1分钟输入功：分钟输入功： PPW6000

8、0100060 1分钟分钟me作功作功 eee nMnMMW2) 12( WW )(9550mN n P M e T （3）扭矩的符号规定：）扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则右手螺旋规则为正，为正， 反之为负。反之为负。 2 2、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 （1）扭矩：）扭矩：构件受扭时，横截面上的构件受扭时，横截面上的内力偶矩内力偶矩，记作，记作“T”。 （2）截面法求扭矩）截面法求扭矩 mm m T mT mT mx 0 0 x （4 ）扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。）扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律

9、的图线。 目 目 的的 扭矩变化规律； |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。 x T 解解: : (1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩 例题例题3.13.1 传动轴传动轴, ,已知转速已知转速 n=300r/min,n=300r/min,主动轮主动轮A A输入功率输入功率P PA A=45kW,=45kW, 三个从动轮输出功率分别为三个从动轮输出功率分别为 P PB B=10kW,P=10kW,PC C=15kW,P=15kW,PD D=20kW.=20kW.试绘轴试绘轴 的扭矩图的扭矩图. . 9549/ e MP n 由公式由公式 (2)(2)计算扭矩计算扭矩 (3)(3)

10、扭矩图扭矩图 max 1432TN m 传动轴上主、从传动轴上主、从 动轮安装的位置不动轮安装的位置不 同，轴所承受的最同，轴所承受的最 大扭矩也不同。大扭矩也不同。 B M C M A A B B C CD D A M D M 3 1432 A TMN m A A A M 3 T 318N318N. .m m 795N795N. .m m 1432N1432N. .m m 1 1、横截面上的应力、横截面上的应力几何关系、几何关系、物理关系、物理关系、静力学关系静力学关系 表面表面 变形变形 情况情况 推断推断 横截面横截面 的变形的变形 情况情况 ( (问题的问题的几何方面几何方面) ) 横

11、截面横截面 上应变上应变 的变化的变化 规律规律 应力应力- -应变关系应变关系 横截面上横截面上 应力变化应力变化 规律规律 ( (问题的问题的物理方面物理方面) ) 内力与应力的关系内力与应力的关系 横截面上应力横截面上应力 的计算公式的计算公式 ( (问题的问题的静力学方面静力学方面) ) 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面； 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。 等直圆杆扭转实验观察：等直圆杆扭转实验观察： （1）几何关系）几何关系 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 变形几何关系

12、的数学描述变形几何关系的数学描述 xx GG d d d tg 1 xd d 距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。 xd d 扭转角沿长度方向变化率。 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 （2）物理关系）物理关系 虎克定律： 代入上式得： G x G x GG d d d d x G d d 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 （3） 静力学关系静力学关系 O dA A x G A x G AT A A A d d d d d d d 2 2 AI Ap d 2 令 x GI T p d d p GI T x d d

13、 代入物理关系式 得： x G d d p I T 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 p I T 横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。 （4）公式讨论）公式讨论 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 单位：单位：mm4，m4。AI Ap d 2 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应

14、力 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。 4 4 2 0 2 2 10 32 d2 d D. D AI D Ap 对于实心圆截面： D d O 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 对于空心圆截面： )1 (10)1 ( 32 )( 32 d2 d 444 4 44 2 2 2 2 D. D dD AI D d Ap )( D d d D O d 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 应力分布应力分布 （实心截面）（空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻

15、， 结构轻便，应用广泛。 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 确定最大剪应力：确定最大剪应力： p I T 由 知：当 max , 2 d R ) 2 ( 2 2 max d IW W T d I T I d T p t p p 令 t W T max Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 33 2016D.DRIW pt 对于空心圆截面：)-(12016)1 ( 4343 D.DRIW pt 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 2、圆轴扭转时的强度计算、圆轴扭转时的强度计算 强度条件：强度条件： 对于等截面圆轴：对于

16、等截面圆轴： max max t W T ( 称为许用剪应力。) 强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max t W T max T Wt max t WT ）（空： 实： 4 3 3 1 16 16 D D Wt 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 例例3.23.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，由无缝钢管制成的汽车传动轴， 外径外径D=89=89mm、壁厚壁厚 =2.5=2.5mm，使，使 用时的用时的最大扭矩最大扭矩 T= =19301930Nm, , =70=70MPa.MPa.校核此轴的校核此轴的 强度。强度。 3434

17、0.945 0.2(1)0.28.9 (10.945 )29 t d D WD 6 max 6 1930 66.7 10 Pa 29 10 66.7MPa 70MPa t T W 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 例例3.33.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，如把上例中的传动轴改为实心轴， 要求它与原来的空心轴强度相同，试确要求它与原来的空心轴强度相同，试确 定其直径。并比较实心轴和空心轴的重定其直径。并比较实心轴和空心轴的重 量。量。 解：解：当实心轴和空心轴的最大应力同当实心轴和空心轴的最大应力同 为为 时，两轴的许可扭矩分别为时，两轴的许可扭矩分别为 3 11 16 t

18、 TWD 3434 2 (1) (89) (1 0.944 ) 1616 TD 若两轴强度相等，则若两轴强度相等，则T1 1= =T2 2 ， ，于是有于是有 334 1 (90) (1 0.944 )D 1 53.10.0531Dmmm 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 22 42 1 1 (0.0531) 22.2 10 44 D Am 223 23 242 2 ()(90 10 )(85 10 ) 6.87 10 44 ADdm 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比 等于横截面面积之比。等于横截面面积之比。 4 2

19、4 1 6.87 10 0.31 22.2 10 A A 可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的3131% % 。 实心轴和空心轴横截面面积为实心轴和空心轴横截面面积为 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n=100r/min,=100r/min,最大最大 切应力切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的空心圆轴的 内外直径之比内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴长度。二轴长度 相同。相同。求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心和空心 轴的外直

20、径轴的外直径D2；确定二轴的重量之；确定二轴的重量之 比比 解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心轴实心轴 3 1 6 16 716 2 0 045m=45mm 40 10 . .d 例题例题3.43.4 7 5 95499549716 2N m 100 . . x P MT n max1 3 11 16 40MPa P TT Wd 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 空心轴空心轴 d20.5D2=23 mm 3 2 46 16 716 2 0 046m=46mm 1-40 10 . .D max2 34 2 2 16 4

21、0MPa 1 P TT WD 确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比： 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 D d A A 实心轴实心轴 d1 1=45 mm=45 mm 空心轴空心轴 D D2 246 mm46 mm d d2 223 mm23 mm 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 1、扭转时的变形、扭转时的变形 由公式 p GI T x d d 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两

22、截面间相对扭转角 为 值不变）若 ( d d 0 T GI Tl x GI T p l p 3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度计算刚度计算 2、单位扭转角、单位扭转角 (rad/m) d d p GI T x /m)( 180 d d p GI T x 或 3、刚度条件、刚度条件 (rad/m) max p GI T /m)( 180 max p GI T 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。 刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max G T I p max

23、p GIT 有时，还可依据此条件进行选材。 例题例题3.63.6 max t T W 某传动轴所承受的扭矩某传动轴所承受的扭矩T=200NmT=200Nm，轴的直径轴的直径d=40mmd=40mm，材材 料的料的 =40MPa=40MPa，剪切弹性模量剪切弹性模量G=80GPaG=80GPa，许可单位长度转许可单位长度转 角角 / /=1 =1 / /m m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。 传动轴的转速为传动轴的转速为n n=500r/min=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P P1 1=400kW=400kW，从动轮，从动轮 C C，B B 分别输出功率

24、分别输出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。已知。已知 =70MPa=70MPa， =1=1/m/m，G G=80GPa=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和 和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ? 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d 1 11 9549 e P TM n mN7640

25、500 400 9549 231 240 4580N m 400 e TMT 解：解：1. 1.外力偶矩外力偶矩 例题例题3.73.7 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .82 1070 764016 16 3 3 6 3 1 T d 按刚度条件按刚度条件 mm4 .86m104 .86 11080 180764032 18032 3 4 29 4 2 1 G T d 3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件 mN7640 mN4580 mm4 .86 1 d 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d 3 1 max 16 d T 18032

26、4 1 max dG T 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d2d2的选取的选取 按强度条件按强度条件 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d mN7640 mN4580 mm3 .69m103 .69 1070 458016 16 3 3 6 3 2 T d mm76m1076 11080 180458032 18032 3 4 29 4 2 2 G T d mm76 2 d 5.5.选同一直径时选同一直径时 mm4 .86 1 dd 6.6.将主动轮安装在将主动轮安装在 两从动轮之间两从动轮之间 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d mN7640

27、mN4580 2e M C B A 1e M 3e M 1 d 2 d 受力合理受力合理 mN3060 mN4580 e 2 1 MWV 等直圆杆仅在两端受外力偶矩等直圆杆仅在两端受外力偶矩 Me 作用且作用且 时时 p p e GI lM p 2 e 2 1 GI lM p 2 2 1 GI lT 2p 2 1 l GI V 或或 Me Me Me Me 3.6 3.6 扭转变形能扭转变形能 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时 n i ii GI lT V 1 p 2 2 n i i i l GI V 1 2p 2 或或 AB CA M1M3 B A C M2 d lABlAC 纯剪切应力状态下的纯剪切应力状态下的应变能密度应变能密度( ) p xzyWddd 2 1 d zyxddd 2 1 V W V V v d d d d 2 1 ddd ddd 2 1 zyx zyx G G v 2 2 2 2 G v x y z a b O c dx d dy dz O p 扭矩扭矩T为常量时，长为为常量时，长为 l 的等直圆杆的应变能为的等直圆杆的应变能为 等直圆杆的扭转应变能与应变能密度的关系等直圆杆的扭转应变能与应变能密度的关系 V VvVd lA xAvdd A A I T G l d 2 2 2 p 2 p 2 2GI